广东省深圳市光明实验学校（集团）2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2. 已知，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、由，可得，进而可得，原不等式成立，符合题意；
C、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
D、由，可得，进而可得，原不等式不成立，不符合题意；
故选：B．
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示．则这个不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：不等式组的解集为．
故选：D．
5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
6. 在△ABC中,AB=AC=4,∠B=15°,则△ABC的面积为( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，根据等边对等角可得∠B＝∠ACB，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解
【详解】如图，
过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°，∴CD＝AC＝×4＝2，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×4×2＝4，故答案选A.
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.
7. 如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，x的取值范围是( )

A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由函数和的图象相交于，两点，根据结合图象的位置关系，即可求出x的取值范围．
【详解】解：由图象可知：当时x的取值范围为：或．
故选D．
【点睛】此题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当时x的取值范围等价于所对应的图像在所对应的图象上方部分图象上点的横坐标的范围．
8. 下列说法中，正确的结论有（ ）个．
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②如果方程会产生增根，那么k的值是4；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，分式方程的增根，逆命题，反证法等知识，综合性比较强．
分别根据“角平分线的性质”，“分式方程的增根”、“逆命题与真假命题”、“反证法”等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故说法正确，符合题意；
②方程去分母得，，
∵方程会产生增根，
∴把代入的，
∴结论错误，不合题意；
③“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，不合题意；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于，说法正确，符合题意．
故选：B
9. 如图，在中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AP，根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质，即可得到，，得出，再根据三角形的内角和定理得到，得到，根据等腰三角形的性质即可求出的度数．
【详解】解：连接AP，如图所示，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上性质并找出角度之间的关系是解本题的关键．
10. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A. B. C. 4.5D. 4.3
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴，
∴GH＝．
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二、填空题（本题共5小题，每空3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，之后利用完全平方公式即可分解因式．
【详解】解： ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是___．
【答案】（﹣1，1）．
【解析】
【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，
原来点M的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1；再向上平移3个单位得到新点的纵坐标为﹣2+3=1．即点N的坐标是（﹣1，1）．
13. 若是关于x一元一次不等式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，已知的周长是10，分别平分和，若的面积为20，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出求出的面积 ，再代入求出答案即可，能熟记角平分线上的点到这个角的两边距离相等是解此题的关键．
【详解】解：过O作于E，于F，连接，如图：
∵分别平分和，
∴，
∴，
∴
＝
＝
＝，
∵周长是10，的面积为20，
∴，
解得：，
故答案为：4．
15. 如图，将沿射线的方向平移得到，连接、，已知，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是________．
【答案】或或8
【解析】
【分析】分三种情况：或或，根据勾股定理和平移的性质进行求解即可．
【详解】解：设平移的距离为x，则，
为等腰三角形，存在以下三种情况：
①如图1，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴平移的距离是；
②如图2，，
∴平移的距离是；
③如图3，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距离是8；
综上，平移的距离是或或8．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解分式方程：．
【答案】（1），数轴见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，解分式方程，掌握相关运算的法则是解决问题的关键．
（1）先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示出来，可得出不等式组的解集；
（2）去分母，将分式方程化成一元一次方程，再求出解，并检验即可．
【详解】（1），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在同一条数轴上表示两个不等式的解集为：
所以不等式组的解集为；
（2）两边都乘以，得
，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验是原方程的解．
17. 先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值
【答案】原式=，当a=1时，原式=﹣1．
【解析】
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．
【详解】解：原式=，
=
=
=，
∵a≠﹣1且a≠0且a≠2，
∴a=1，
则原式==﹣1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，已知点坐标为．

（1）与关于原点成中心对称，请直接写出的坐标_______，并画出．
（2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的．
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心坐标为______．
【答案】（1），画图见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
（2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∵与关于原点成中心对称，，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：∵，，
∴的中点坐标为，的中点坐标为，
∴和的对称中心的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标．
19. 如图，在和中，，延长，交于点M．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）连接，证明，可得，根据角平分线的性质即可证明；
（2）证明，设，可得，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴平分，
∴点A在的平分线上；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴．
20. 买入奉节脐橙、赣南脐橙，奉节脐橙买入价比赣南脐橙买入价低4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
（1）求这两种脐橙的买入价；
（2）某商家购进相同重量的两种脐橙，以10元/kg售价卖出奉节脐橙，若售完全部脐橙后所获利润不低于，赣南脐橙售价至少为多少元？
【答案】（1）奉节脐橙的买入价为8元/kg，赣南脐橙的买入价为12元/kg
（2）赣南脐橙售价至少为14元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为元/kg，利用数量总价单价，结合用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出奉节脐橙的买入价，再将其代入中，即可求出赣南脐橙的买入价；
（2）设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进奉节脐橙，则购进了赣南脐橙，利用总利润销售单价购进数量买入单价购进数量，结合所获利润不低于，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为元/kg，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：奉节脐橙的买入价为8元/kg，赣南脐橙的买入价为12元/kg；
【小问2详解】
解：设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进奉节脐橙，则购进了赣南脐橙，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为14．
答：赣南脐橙售价至少为14元．
21. 有些多项式的某些项可以通过适当地结合，（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将因式分解．
原式．
请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式；
（2）三边，，满足，判断的形状，并说明理由．
（3）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长是4，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．

【答案】（1）
（2）是等腰三角形，理由见解析
（3），16
【解析】
【分析】（1）仿照题意进行因式分解即可；
（2）把原式因式分解变形为，由此求出，则是等腰三角形；
（3）先对所求式子因式分解为，再根据勾股定理和面积法求出，，进一步求出，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形；
【小问3详解】
解：
，
∵直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长是4，小正方形的面积是1，
∴，，
∴，，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，勾股定理，完全平方公式的变形求值，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
22. 综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
（1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①；
②线段，，之间的数量关系为__________；
（2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
（3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）①；②
（2）仍然成立，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解；
②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可；
（2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：①∵绕点顺时针旋转得到，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②绕点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
仍然成立．
证明：∵，
∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合，
∴，，，，
又∵，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：如图所示，当时，
∵，，
∴，，
∴，，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
如图所示，当时，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，则，
由（1）得，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．