陕西省西安市第一中学2024届高三第五次模拟文科数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. 复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，网格纸上小正方形边长为1，其中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知中，，且的面积为，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. 4D. 10
6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两个共中心的正方形的边长分别为2和4，在如图所示的阴影中随机取一点，则直线的倾斜角不大于的概率为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
9. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为（ ）
A B. C. D.
11. 已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
14. 若，则______．
15. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
16. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则________．
三、解答题
17. 某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：
（1）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.
附：，其中
18. 已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求．
19. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离．
20. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
21. 已知抛物线的方程为，直线为抛物线的准线，点，且为抛物线上的不同两点，若有与垂直．
（1）求抛物线的方程．
（2）证明：直线过定点．
【选做题】（下面两题中任选一题作答）
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线和曲线普通方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值.
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，正数a，b，c满足，求证．一等品
二等品
合计
设备改造前
120
80
200
设备改造后
150
50
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828