贵州省贵阳市七校联考2024届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份贵州省贵阳市七校联考2024届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,则( )
A.0B.1C.2D.2i
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中, 有多少种不同的放法?( )
A.6B.12C.3D.16
4．设函数 为奇函数, 则实数a的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
5．设直线与双曲线相交于A,B两点,P为C上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率分别为,,若C的离心率为,则( )
A.3B.1C.2D.
6．若函数在区间内单调递减, 则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．在锐角中,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设数列满足,且,若,则n的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的 分位数是 7
B.应用最小二乘法所求的回归直线一定经过样本点的中心
C.在残差图中, 残差点分布的水平带状区域越窄, 说明模型的拟合精度越高
D.离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的波动情况
10．已知抛物线的顶点为O,准线为,焦点为F,过F作直线l交抛物线于M,N两点(M在N的左边),则( )
A.
B.若直线经过点,则
C.线段的最小值为2
D.若,则直线l的斜率为
11．函数 的图象如图,则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.
12．骰子通常作为桌上游戏的小道具. 最常见的骰子是六面骰, 它是一个质地均匀的正 方体, 六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6.现有一款闯关游戏, 共有3关, 规则如下: 在第n关要抛掷六面骰n次, 每次观察向上面的点数并做记录, 如果这n次抛掷所出现的点数之和大于 ,则算闯过第n关,,2,3.假定每次闯关 互不影响,则( )
A.挑战第1关通过的概率为
B.直接挑战第2关并过关的概率为
C.连续挑战前两关并过关的概率为
D.若直接挑战第3关,设”三个点数之和等于15”“至少出现一个5点”,则
三、填空题
13．已知向量,,且,则__________.
14．已知底面半径为2,高为 4 的圆锥,用一个平行于底面的平面去截该圆锥得体积相等 的两个几何体,则所截得的圆台的高为________.
15．已知圆,过直线上任意一点P,作圆的两条切线,切点分别为A, B两点,则的最小值为_________.
16．已知函数, 相邻两个零点的距离为,且在区间上有5个不同的零点,则5个零点之和的取值范围是_________.
四、解答题
17．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
(1)求角B的大小;
(2)若, 且AC边上的中线长为4 ,求的面积.
18．已知在正项数列中,,当时,.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知数列满足为数列的前n项和,证明:.
19．为了丰富学生的课外活动,某中学举办羽毛球比赛,经过三轮的筛选,最后剩下甲,乙两人进行最终决赛,决赛采用五局三胜制,即当参赛甲,乙两位中有一位先赢得三局比赛时,则该选手获胜,则比赛结束.每局比赛皆须分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为.
（1）若比赛进行三局就结束的概率为,求的最小值;
（2）记（1）中,取得最小值时,p的值为,以作为p的值,用X表示甲,乙实际比赛的局数,求X的分布列及数学期望.
20．如图,四棱柱的底面ABCD为矩形,,M为BC中点,平面 平面ABCD, 且.
(1)证明:;
(2)若此四棱柱的体积为2,求二面角 的正弦值.
21．已知椭圆经过点.
(1)求C的离心率;
(2)直线l交C于A, B两点, 若直线PA,PB关于直线对称, 求l的斜率.
22．已知函数 在处的切线方程为.
(1)求实数a, b的值;
(2)证明:函数有两个零点,且 .
参考答案
1．答案：C
解析：,则,所以,故选C.
2．答案：B
解析：由,,则,故选B.
3．答案：A
解析：由题意知,故选A.
4．答案：B
解析：由函数的定义域为,且为奇函数,又 为奇函数,则 为偶函数,故,故选B.
5．答案：B
解析：点A,B关于原点对称,设,,,由点差法①,②,①减②得,则,即,又由,则,故选B.
6．答案：C
解析：由函数 在区间上单调递减,则在区间上单调递减, 且,故,故选C.
7．答案：C
解析：，，A,B,C为锐角,,,
,即,,故选C.
8．答案：D
解析：由,则,所以数列为等差数列,即,是单调递减数列,由,得n的最小值为5,故选D.
9．答案：BCD
解析：A.应用百分数的求法应该为 7.5 , 所以错;B.根据定义正确; C. 由在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高即可判断正确; D.按离散型随机变量的方差的性质判断,正确, 故选BCD.
10．答案：ACD
解析：A选项,抛物线的标准方程为,准线为,则,,,,解得,故A正确;又,过F作直线l交抛物线于M,N两点,显然l的斜率存在,设直线l的方程为,联立,整理得,恒成立,设,,则,,,B选项,若直线l经过点,则,,故B错误;C选项,当时,的最小值为2,故C正确;D选项,,,又,,,解得,又因为,所以,故D正确,故选ACD.
11．答案：ABC
解析：由的图象可知在和 上单调递增,在上单调递减, 在处取得极大值,在处取得极小值,又,即和为方程的两根且，由韦达定理得 ,，,，，故A正确,B正确;,故C正确,D错误, 故选ABC.
12．答案：BCD
解析：对于A,挑战第1关时,,满足条件的点数有4,5,6三种情况, 所以挑战 第1关通过的概率为, 故A错误;对于B,直接挑战第2关, 则,所以投掷两次点数之和应大于6 ,即点数为,,,···，共21种情况，故直接挑战第 2 关并过关的概率为 , 故选项B正确; 对于C,连续挑战前两关并过关的概率为, 故选项 C正确; 对于D,由题意可知, 抛掷3次的基本事件有个,抛掷 3次至少出现一个5点的基本事件共有 个,故,而事件AB包括:含5,5,5的1个,含4,5,6的有6个,一共有7个,故,所以,故D正确, 故选BCD.
13．答案：
解析：由,则,由,,则,则.
14．答案：
解析：设所截得的圆锥的底面半径为r, 则截得该圆锥的高为,又,所以,所以,则所截的圆台的高为.
15．答案：
解析：由题知圆的圆心为 , 半径为 1 , 如图所示
，，
当取最小值时,取最小值,此时,,则.
16．答案：
解析：由题知, 所以,即,方程有5个不同实数根,如图,则,所以，则5个零点之和的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1),由正弦定理得:,
因为，所以,
故,即,
因为, 所以,故,
，.
(2)利用中线的向量性质求解,
设AC的中点为D,则,两边同时平方得：,
①，
在中, 由余弦定理得②，
①-②得，，
.
18．答案：(1)
(2)见解析
解析：由,
得,
的各项都为正数,,故是首项为,公比为的等比数列,.
(2)证明:由,
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）三局就结束比赛的概率为,
由,
当,;当,,
所以,当时,取得最小值为.
（2）由（1）知,,
设实际比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,所以,,
.
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明: 因为平面 平面ABCD,平面平面, 平面ABCD,,所以平面,因为, 所以平面,又因为平面,所以.
(2)取AD的中点O,连接,如图,
因为,所以,
又因为平面 平面 ABCD,平面 平面,
所以平面ABCD,所以 为四棱柱的高,
设,则,
所以四棱柱的体积,解得,
以A为坐标原点,分别以,为x, y轴的正方向建立空间直角坐标系,如图
则,,,,,
设平面的一个法向量为,
则得
令 ,则,
同理可求平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为, 则,
所以,即二面角的正弦值为.
21．答案：(1)
(2)
解析：（1）将点代入C得,
即,解得(舍去)或,
C的离心率.
(2)由(1)可知C的方程为 ,
设,,
将代入消去y整理得,
,则,
,
直线PA, PB关于直线对称,,
,
,
即,或,当,
直线l经过点,不符合题意,
l的斜率为.
22．答案：(1)，
(2)见解析
解析:(1),
由题,，，.
(2)证明:由(1) 知:，.
当时,;当 时,.
在上单调递减,在上单调递增.
，，，
由零点存在性定理可知:在和上各存在唯一零点.
不妨设,
由得,
，
，
设,
当 时,,
在上单调递增,
，
X
3
4
5
P