信息必刷卷01（福建专用）-2024年中考数学考前信息必刷卷

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数 学（福建专用）
2024年福建中考数学试卷在结构上仍延续往年模式，10道选择题、6道填空题和9道解答题；在难度上不会出现太大起伏。根据新课标要求、最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，大部分题型还是注重考查学生基础知识的掌握，此外会重点关注学生解决实际问题的能力和探究能力，并将不同知识点 融入在一道题中，以考查学生对不同知识点之间的串联能力和综合解题能力，同时考试也会适当增加创新类题型。
新考法1：第9题跨领域知识融合，不再单纯考查方程实际问题的列式。
新考法2：第21题考查三角形与圆的几何综合探究，对学生想象能力、证明能力和分析能力要求比较高；
新考法3：第22题将三角函数与矩形的知识结合，难度中等；
新考法4：第24题提供阅读背景考查二次函数含参的常规问题，考验学生以不变应万变的解题能力。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的1~7题、11~13题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第9题、第21题、第22题）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时也要加强对整体思想（如本卷第14题）、数形结合（本卷第16题）、换元法（如本卷第24题）等数学思想的掌握。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2024
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2．第19届亚运会女子排球决赛中，中国队战胜日本队，获得了冠军．领奖台的示意图如图所示，则此领奖台的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图可得答案．
【详解】解：该领奖台从正面看是三个长方形，且中间长方形高，两边长方形低，
∴领奖台的主视图是
故选：B．
3．为了从甲、乙、丙、丁四人中选出一人去参加市里的比赛，现对他们进行一次测验，四人在相同的条件下各射击次，为了比较四人的成绩，制作了如下的统计图表：
根据以上结果，现决定派丁去参加比赛，可用来解释这一决定的统计知识是（ ）
A．平均数与中位数B．平均数和方差C．中位数和方差D．平均数
【答案】B
【分析】本题考查数据的波动程度，解题的关键是根据中位数、平均数、方差做决策，即可．
【详解】∵甲、乙、丙、丁的平均数从小到大的排序为：，选择平均数较高的参加比赛，
∴在丙、丁中选择一人参加比赛，
∵方差越小数据波动越小，即越稳定，
∴选择方差小的人去参加比赛，
∵丙的方差大于丁的方差，
∴选择丁去参加比赛，
∴选择丁去参加比赛的统计知识为：平均数和方差，
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式及合并同类项；掌握运算法则是关键；根据合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式及单项式除以单项式的法则逐项判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故计算错误；
B、，故计算错误；
C、，故计算错误；
D、，故计算正确；
故选：D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨”是不可能事件
B．为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式
C．某游戏做1次中奖的概率是，那么该游戏连做6次就一定会中奖
D．一组数据2，3，4，3，7，8，8的中位数是4
【答案】D
【分析】本题主要考查全面调查及抽样调查的特点，概率的意义及中位数的意义．根据全面调查及抽样调查的特点，概率的意义及中位数的意义依次判断即可．
【详解】解：A、“明天下雨”是随机事件，选项错误，不符合题意；
B、为了解某型号车用电池的使用寿命调查有破坏性，适合采用抽样调查，选项错误，不符合题意；
C、某游戏做1次中奖的概率是，那么该游戏连做6次这样的游戏不一定会中奖，选项错误，不符合题意；
D、一组数据2，3，4，3，7，8，8的中位数是4，选项正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角函数的计算方法，掌握正弦的计算方法，网格与勾股定理的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，
∴，，
∴，
故选：B ．
7．如果，，则的值是（ ）
A．30B．C．11D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用．原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
8．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求扇形面积，正六边形的性质，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，过B点作垂线，垂足为G，先求出，进而求出，再求出，最后根据扇形面积计算公式求解即可．
【详解】解：过B点作垂线，垂足为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故选：A．
9．十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME﹣14的举办年份．小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
根据题意，可以得到，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得（不合题意，舍去），
故选：C．
10．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．
【详解】解：由题意得：二次函数的图象上的顶点坐标为：，
∵y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数的图象与以坐标为的正方形有交点，
当二次函数恰好经过时，则，
解得：或（舍去）；
如当二次函数恰好经过时，则，
解得或（舍去）；
∴当时，二次函数的图象存在“n阶方点”，
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小： 0（填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查非负性，根据，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学计数法表示为 ．
【答案】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵，
故答案为：．
13．在中，，的垂直平分线交于，交于，，则 ．
【答案】70°
【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．由，先求的度数，然后根据求等腰三角形底角的度数即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线
∴
∴
又
又
∴．
故答案为：．
14．若满足方程组的，互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法及相反数的性质是解本题的关键．
把m看作已知数表示出x与y，代入计算即可求出m的值．
【详解】解：
得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∵x与y互为相反数，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
15．如图所示，在中，，D为上一动点(不与A、B重合)，作于点E，于点F，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，矩形性质的应用是解题的关键．连接，由矩形的性质及垂线段最短，利用面积关系即可求解．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴；
当时，最短，从而最小；
由勾股定理得，
∵，
∴
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图像上一点，是轴正半轴上一点，以、为邻边作．若点及中点都在反比例函数图像上，则的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形、直角坐标系的知识，先假设点、坐标，继而利用反比例函数和线段中点的性质，计算得的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，连接，
∵点在反比例函数图像上，是反比例函数图像上一点
∴设点坐标为，点，
∵点是的中点，是轴正半轴上一点，
∴点的横坐标为，
∴点坐标为，
∴点的坐标为，即，
∵四边形是平行四边形，
∴与互相平分，及中点和中点相同，
根据题意，中点坐标为，即，
中点坐标为，即，
∴，，
∴，，
∴，
又∵是反比例函数图像上一点，
∴，
故答案为：12．
三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键，分别解每个不等式，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是．
18．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先通分，再计算分式的除法进行化简即可求解．
【详解】解：
＝，
当时，原式．
20．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果：
(1)求表中的值；
(2)任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到）；
(3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【答案】(1)，；
(2)任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是；
(3)估算至少需要准备粒种子进行发芽培育．
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出的值；
（2）根据频率估计概率求解即可；
（3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率可得答案．
【详解】（1）解：，
，
∴，．
（2）解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是．
（3）解：
∴估算至少需要准备粒种子进行发芽培育．
21．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ，够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则，就把 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点 ，，与半圆 相切于点 ．
求证：．
【答案】见解析
【分析】通过证明，得到，通过证明，得到，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质、判定定理．
【详解】解：，
，
又，
，，
与半圆 相切于点 ，
，
，
，
，
．
22．如图，在中，．

(1)求作菱形，使得点D落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长相交于点F，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）以为圆心，为半径作圆交于点，作的平分线，再以为圆心，为半径作圆交于点，连接，则四边形就是所作的菱形；
（2）先证明，设菱形的边长为，，在和中，利用正弦函数的定义求得，得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：四边形就是所作的菱形；

（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设菱形的边长为，，则，
在中，，
∴，则，
在中，，
整理得，
解得，
∴．
23．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米．
(1)求点C到墙壁的距离；
(2)求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：）
【答案】(1)点C到墙壁的距离为米
(2)匾额悬挂的高度是4米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定；
（1）过C作于F， 直接解求出的长即可得到答案；
（2）过C作于H，则四边形是矩形，可得．解得到米；求出，解直角三角形得到，再解，得到，则，可得，米，．
【详解】（1）解：如图所示，过C作于F，
在中，米，
∴米；
答：点C到墙壁的距离为米；
（2）解：过C作于H，
∴，
则四边形是矩形，
∴．
在中，米，，
∴米
在中，，
∴，
∴ ，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：匾额悬挂的高度是4米．
24．我们可以用表示为自变量的函数，如一次函数，可表示，，．
（1）已知二次函数；
①求证：不论为何值，此函数图像与轴总有两个交点；
②若，是否存在实数，使得当时，函数的最小值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）已知函数，，若实数、使得，求的值．
【答案】（1）①证明见详解；②存在，或；（2）．
【分析】(1)①f(x)=x2−2ax−a−2，则△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，所以不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②由已知可求f(x)=x2+2x−1，则有g(x)=f(x)−2mx=x2+(2−2m)x−1=(x+1−m)2−(m2−2m+2)，分两种情况求解：当m⩽m−1⩽m+2时，即m⩾2，g(m−1)=−(−m2−2m+2)=− ，；当m−1(2)由f(x)=g(y)=3，可得4x−4−2x−2=3，求得x−2=，再由y4+y2=3，求得y2=，，则有4x−4+y4=4t2+y4=4×()2+()2=7．
【详解】解：(1)①f(x)=x2−2ax−a−2，
则△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，
∴不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②f(1)=2，则a=−1，
∴f(x)=x2+2x−1，
g(x)=f(x)−2mx=x2+(2−2m)x−1=(x+1−m)2−(m2−2m+2)，
∴g(x)的对称轴为x=m−1，
当m⩽m−1⩽m+2时，即m⩾2，g(m−1)=−(−m2−2m+2)=− ，
∴；
当m−1∴m=−；
综上所述：或m=-时，g(x)最小值为−；
(2)∵f(x)=g(y)=3，
∴4x−4−2x−2=3，
令x−2=t，则有4t2−2t=3，
∴t=，
∵t>0，
∴t=，
∴y4+y2=3，
∴y2=，
∴4x−4+y4=4t2+y4=4×()2+()2=7．
25．如图，为的弦，点在弧上，平分，过点作于点，交于点，连结．
(1)求的值．
(2)求证：．
(3)当时，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）连结．过点作于点,则，由平分,可得又由可得可证明四边形为矩形,得出,再求解即可;
（2）由，可得再由可得．再求解可得结论；
（3）过点分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N．先证明,
可得，设，则再证明,可得最后再通过勾股定理求解即可．
【详解】（1）连结．过点作于点．
则，
四边形为矩形
（2）证明：∵，
．
，
，
，
，
；
（3）是等腰三角形，理由如下：
由（1）可知，且,∴，
可得：，
过点分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N．
设，则
由垂径定理得,
,
,
,
,
易得
，
在RT中，，
，
即是等腰三角形．甲
乙
丙
丁
平均数
中位数
方差
试验的种子数
发芽的种子粒数
发芽频率