吉林省长春市长春五十二中赫行实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解：，
则信号最强的是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键．
2. 银农科技董事长钱炫舟公开宣布：银农科技的终极目标——做真正的纳米农药，发挥更好的药效，创造更多的价值！银农的粒径新标准达到纳米（1纳米米），也标志着银农产品正式步入纳米时代．将600纳米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】首先把600纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，将600纳米用科学记数法表示即可．
【详解】解：∵1纳米米，
∴600纳米=米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图所示，一个长方体的平面展开图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将各选项侧面展开图折叠即可解答．
【详解】解：选项经过折叠均能围成长方体，选项经过折叠均不能围成长方体，所以不能表示长方体平面展开图．
故选：．
【点睛】本题考查了长方体侧面展开图，掌握立体图形与侧面展开图的关系是解题的关键．
4. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．
5. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ）

A. 同旁内角互补，两直线平行B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．
【详解】∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．
6. 如图，一个钟摆的摆长的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C是的中点，与交于点D，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，由点C是的中点，为，可得的度数，已知的长为a，用余弦公式可表示，根据，可得的长．
【详解】解：点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
7. 尺规作图：如图，在中，．（1）以点B为圆心，BA的长为半径画弧，在左侧交BC所在的直线于点E；（2）以点C为圆心，CA的长为半径画弧，在右侧交BC所在的直线于点F；（3）作线段EF的垂直平分线交BC于点D，接连AD．根据以上作图描述及作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 与的周长相等D. 与的面积相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图及线段的垂直平分线的定义进行推导即可．
【详解】解：如图，连接AE，AF，
由作图可知，AB=BE，AC=CF，ED=FD，
∴的周长=AB+AD+BD=BE+BD+AD=ED+AD，
的周长=AC+AD+CD=CD+CF+AD=DF+AD，
∵ED=FD，
∴与的周长相等，
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象上有两点A、C，点A在第二象限，点C在第四象限，以为对角线作矩形，其中轴．若点B在函数的图象上，且矩形的面积50，则m的值为（ ）
A. B. C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例，矩形的性质等知识，设，根据反比例函数点的坐标特点求出，，然后根求出，，然后根据矩形的面积求解即可．
【详解】解∶ 设，则，
∴
∵矩形，轴，
∴轴，轴，
∴B的纵坐标为b，
又B在图象上，
∴B的横坐标为，
∴C的横坐标为，
又C在的图象上，
∴C的纵坐标为，
∴，
∴，，
∵矩形的面积50，
∴，
∴，即
∴，
故选∶C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式法因式分解．
【详解】．
【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是关键．
10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____．
【答案】－1
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×（－k）＝4＋4k＝0，
解得：k＝－1，
故答案为：－1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11. 用一张等宽纸条折成如图所示的图案．若，则∠1的太小为_________度．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，翻折的性质等知识，先利用平行线的性质与对顶角的性质求出的度数，然后利用翻折的性质求解即可．
【详解】解∶如图，
∵，
∴，
∵纸条的对边互相平行，即，
∴，
∵翻折，
∴，
故答案为：15．
12. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，连结、，得到平行四边形．则平行四边形的面积为_________．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、C的横坐标，点B、D的纵坐标确定出平移规律，再根据平移规律求出C、D的坐标，然后利用割补法求解即可．
【详解】解∶∵线段平移到线段，点A的对应点为C，点B的对应的为D，，，，，
∴平移规律为向左平移3个单位，向上4个单位，
∴的对应点C的坐标为，
的对应点D的坐标为，
如图，过D、A作x轴的平行线，过C、B作y轴的平行线，两两相交于M、N、F、E，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：36．
13. 如图，在中，，点D为边的中点，点E为线段的中点．若，，则边的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，先利用直角三角形斜边上中线的性质求出，然后利用勾股定理求出，最后利用线段中点定义求解即可．
【详解】解∶ ，点E为线段的中点， ，
∴，
又，
∴，
∵点D为边的中点，
∴，
故答案为：．
14. 点，，均在抛物线上，且C为抛物线的顶点．若，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向上，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解．
【详解】解：由题意得：抛物线对称轴，
∵点C为抛物线的顶点，且，
∴抛物线开口向上，
∴，
当，即时，
∵，
∴，
解得：，
即此时，
当，即时，点B在点A的右侧，不符合题意；
综上分析可知：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴．
16. 一个布袋中有2个红球和2个白球，它们除颜色外都相同．若从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出第二个球，用画树状图或列表的方法，求摸到一个红球一个白球的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画出树状图然后根据概率公式列式即可得解．
【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有12种等可能的结果，其中摸到一个红球一个白球的结果有8种，
∴摸到一个红球一个白球的概率为．
17. 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100套，求第一批套尺购进时单价是多少？
【答案】2元/套．
【解析】
【分析】设第一批套尺购进时单价是x元/套，则设第二批套尺购进时单价是x元/套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量-第一批套尺数量=100套，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：（1）设第一批套尺购进时单价是x元/套．
由题意得：
即
解得：x=2．
经检验：x=2是所列方程的解．
答：第一批套尺购进时单价是2元/套．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意要检验．
18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，于点F，点G在边上，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若平行四边形的面积为28，，则矩形的周长为__________．
【答案】（1）见解析 （2）11
【解析】
【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）过点C作于点H，根据平行四边形面积公式求出，证明，得出，求出，根据中位线求出，根据矩形的性质求出周长即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点E为边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
解：过点C作于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵平行四边形的面积为28，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点E为边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19. 在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主要产区为禄劝县和景东县，某枸杞种植改良试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9．
乙品种：如折线图所示．
甲、乙品种产量统计表
根据以上信息，完成下列问题：
（1）____________，__________；
（2）若乙品种种植2000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；
（3）请结合以上统计量中的某一个方面简要说明哪个品种更好．
【答案】（1）3.2，3.5
（2）1200棵 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、方差、利用样本估计总体以及选择合适的统计量作决策等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用样本估计总体的方法解答；
（3）从平均数和方差两个角度进行分析即可．
【小问1详解】
解：将甲品种的10个数据从小到大排列为：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，
排在第5、6位的数是3.2，3.2，所以中位数；
乙品种的10个数据中，数据3.5出现了3次，出现的次数最多，所以众数；
故答案为：3.2，3.5；
【小问2详解】
解：
答：估计乙品种的产量不低于3.16千克的有1200棵；
【小问3详解】
解：从甲、乙两品种产量的平均数来看，都是3.16千克，两者相当；从方差来看：甲品种的方差是0.29，乙品种的方差是0.15，
所以乙品种的产量更为稳定，乙品种要更好一些（答案不唯一）．
20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，点B在格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，作出点A关于点O的对称点C，连结．
（2）在图2中，作出线段关于点O的成中心对称线段．
（3）在图3中，已知点F是线段上的任意一点，作出一条线段，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可解决问题．
（2）分别画出点A和点B关于点O的对称点即可解决问题．
（3）先画出关于点O的对称线段，再延长与之相交即可解决问题．
【小问1详解】
解：连接并延长，与网格交点即为点C，连接，
如图所示，点C即为所求作的点．
【小问2详解】
分别连接，并延长，与网格分别交于点D和点E，
如图所示，线段即为所求作的线段．
【小问3详解】
分别连接，并延长，与网格分别交于点D和点E，连接，连接并延长与交于点G，
如图所示，即为所求作的线段．
21. 甲、乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，1小时后乙再出发，乙出发后半小时后在离A地9千米处追上甲，此时两人正好到达AB两地正中间．然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离A地的距离为千米和千米，、与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲的速度是__________千米/小时；
（2）求与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）乙到达B地后立即从原路返回A地．乙离A地的距离（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示．则乙在返回途中与甲相遇时离A地___________千米．
【答案】（1）6 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）利用待定系数法求出函数关系式；（3）令，求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．
（1）根据“速度路程时间”即可算出甲车的速度；
（2）设乙车离地的距离与时间的函数关系式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式；
（3）根据题意得到（千米）关于（小时）的函数解析式为：，关于的函数关系式为：，解方程组即可得到结论．
【小问1详解】
甲的速度千米小时；
故答案为：6；
【小问2详解】
设，
把，代入得，，
，
；
【小问3详解】
乙出发后半小时后在离A地9千米处追上甲，此时两人正好到达AB两地的正中间．
所以乙出发后1小时后到达B地，A地与B地之间的路程为18千米，
设（千米）关于（小时）的函数解析式为：，
把，代入得，，
，
；
设，将代入得：，解得：，
关于的函数关系式为：，
联立方程组得解，解得，，
乙在返回途中与甲相遇时离A地千米．
故答案为：．
22. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
（1）如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由；
（2）如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连结、．若，，，则线段的长为____________；
（3）如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则的面积为______________．
【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：
（1）利用证明，即可得出结论；
（2）类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求解即可；
（3）以为边，在的左上方作等边，类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求出，过A作于H，利用含的直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，是等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，以为边，在的左上方作等边，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
过A作于H，
则，
∴，
故答案为：．
23. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动．连结，以、为边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．
（1）边的长为____________．
（2）当点H落在边上时，求的值．
（3）当平行四边形是轴对称图形时，求的值．
（4）沿过点Q且垂直于的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．直接写出所有符合上述条件的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或，
（4）或
【解析】
【分析】（1）在中，根据勾股定理，即可求解，
（2）用含的代数式，依次表示出，，，由平行四边形，表示出，当点在边上时，得到，，代入，即可求，根据，依次求出、即可求解，
（3）①当平行四边形为矩形时，，，解得：，②当平行四边形为菱形时，作，由，，解得：，则，在，中，根据勾股定理，表示出、，由，代入，即可求解，
（4）作， ①当在线段上时，由，只有当，时，可以拼成三角形，用含的代数式表示出，，代入，即可求解，②当在线段延长线上时，由，只有当，时，可以拼成三角形，用含的代数式表示出，，代入，即可求解，
本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，解题的关键是：
【小问1详解】
解：∵，，，
在中，，
故答案为：，
【小问2详解】
解：
根据题意得：，，则，
∵平行四边形，
∴，，
当点在边上时，，
∴，即：，解得：，则：，
∵，即：，解得：，则：，
∴，
故答案为：，
【小问3详解】
解：①当平行四边形为矩形时，是轴对称图形，
∵是矩形，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
②当平行四边形为菱形时，是轴对称图形，
过点作，交于点，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，则，或，
∴，
∴在中，，
在中，，
∵菱形，
∴，
∴，解得：（舍）或，
故答案为：或，
【小问4详解】
解：过点作，与直线交于点与直线交于点，
①当在线段上时，
∵，
∴，
只有当，时，可以拼成三角形，
∴，，
∴，解得：，
②当在线段延长线上时，
∵，
∴，
只有当，时，可以拼成三角形，
∴，，
∴，解得：，
故答案为：或．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，抛物线上有两点A、B（点B在点A的右侧），设点A的横坐标为m，点B的横坐标为．
（1）______________，____________；
（2）过点A作y轴的垂线，与抛物线另交于M点，与y轴交于N点．当时，求线段的长；
（3）将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
①当图象G对应函数值y随x的增大而先减小后增大时，设图象G对应函数值最大值与最小值的差为d，求d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②以点为中心作正方形，正方形的边与坐标轴垂直，正方形边长为，设图象G在正方形内部（包括边界）的左侧最高点到y轴的距离为，最低点到x轴的距离为（最高点和最低点不重合），当时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）①②或或
【解析】
【分析】（1）直接写出顶点式，即可得出结论；
（2）根据作图可知关于对称轴对称，进而得到的横坐标为，分和两种情况，进行讨论求解即可；
（3）①根据图象G对应函数值y随x的增大而先减小后增大，得到在对称轴两侧，进而得到最小值为顶点的纵坐标，分和两种情况，进行讨论求解即可；
②分和两种情况，分别画出图象，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的解析式为：，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
∵点A的横坐标为m，点B的横坐标为，且点B在点A的右侧，
∴，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，
∵过点A作y轴的垂线，与抛物线另交于M点，与y轴交于N点
∴关于对称轴对称，
∴的横坐标为，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，，，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
【小问3详解】
①∵图象G对应函数值y随x的增大而先减小后增大，
∴在对称轴的两侧，
∴，
∴，
∵，，在对称轴的两侧，
∴当时，图象上的最小函数值为，
由（2）知，点的对称点的横坐标为，
∴当时，即：时，
图象上最大函数值为，
∴；
当，即：时，
图象上的最大函数值为，
∴；
∴；
②∵以点为中心作正方形，正方形的边与坐标轴垂直，正方形边长为，
∴正方形关于轴对称，正方形平行于轴的边上的点到轴的距离为，
∵
∴，
当时，如图：
则：，，
当点在正方形内部时，此时，，
∴，解得：；
当，图象与正方形的边有交点时如图：
此时：，
∴，
当时，则：，解得：；
当图象交于点时，
此时，
∴点的纵坐标为，
∴，解得：，
∴，
∴，为抛物线顶点到轴的距离为2，
当时，，解得：；
综上：或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正方形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．品种
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
0.15