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2023-2024学年甘肃省武威市凉州区怀安九年制学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区怀安九年制学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中正确的是( )
A. 9=±3B. x2=xC. 3(−x)3=−xD. (−x)2=−x
2.若代数式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x<1B. x≤1C. x>1D. x≥1
3.如图所示，CD=1，∠BCD=90°，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. − 5B. 1− 5C. −1− 5D. −1+ 5
4.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 3， 7，5C. 5，12，13D. 4，4，8
5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等
6.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为( )
A. 4
B. 3
C. 52
D. 2
7.若 x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，则x+y的值为( )
A. 3B. 9C. 12D. 27
8.如图，菱形ABCD中，∠D=140°，则∠1的大小是( )
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
9.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A. 4B. 6C. 16D. 55
10.在周长为8的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.化简1 3= ______．
12.若 m−3+(n+1)2=0，则m−n的值为______．
13.在△ABC中，AB=6，AC=5，BC边上的高AD=4，则△ABC的周长为______．
14.已知a，b，c为三角形的三边，则 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=______．
15.已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为______．
16.如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．
17.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，点M是BC的中点，点N是A1B1的中点，连接MN，若AB=12，则线段MN的最大值是______．
三、计算题：本大题共2小题，共13分。
19.计算：
(1) 18− 8+( 3+1)( 3−1)
(2) 12× 323÷ 33．
20.已知：x= 5，y= 5−2，求代数式x2−3xy+y2的值
四、解答题：本题共8小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题4分)
图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；
(2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍．
22.(本小题6分)
先化简，再求(a+ba−b+ab−a)÷b2a2−ab的值，且a、b满足|a− 3|+ b+1=0．
23.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2 2，DA=1，CD=3.求四边形ABCD的面积．
24.(本小题6分)
阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，绿化草坪价格150元/米 2.求这块地草坪绿化的价钱．
25.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME//CD交BC于点E，作MF//BC交CD于点F.求证：AM=EF．
26.(本小题7分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE=DF．
27.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
28.(本小题10分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP．
(1)当t=3秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 9=3，故此选项不符合题意；
B. x2=x，故此选项不符合题意；
C.3(−x)3=−x，故此选项符合题意；
D. (−x)2=x，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
2.【答案】D
【解析】解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，解得x≥1．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得，BD= [1−(−1)]2+12= 4+1= 5，
∴数轴上点A所表示的数为a为：−1− 5，
故选：C．
先运用勾股定理求得线段BD的长度，再列式、计算求得此题结果即可．
此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵( 7)2+32≠52，
∴以3， 7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵52+122=132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵42+42≠82，
∴以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】A
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：在平行四边形ABCD中，S△ABC=12S平行四边形ABCD，
∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴12AC⋅BF=12AB⋅DE，
∵AB=6，AC=8，DE=4，
∴8BF=6×4，
解得BF=3，
故选：B．
根据平行四边形的性质可得S△ABC=12S平行四边形ABCD，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵ x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，
∴ x−2y+9+|x−y−3|=0，
∴x−2y+9=0 ①x−y−3=0 ②，
②−①得，y=12，
把y=12代入②得，x−12−3=0，
解得x=15，
∴x+y=12+15=27．
故选：D．
根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解．
本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠DAC=∠1，
∴∠DAC=∠DCA=∠1，
在△ABD中，
∵∠D=140°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠DAC=∠DCA=12(180°−∠D)=12×(180°−140°)=20°，
故选：B．
由菱形的性质得到DA=DC，∠DAC=∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA=∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．
【解答】
解：如图，
∵图形a，b，c都是正方形，
∴AC=CD，∠ABC=∠CED=∠ACD=90∘，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠DCE，又∵∠ABC=∠CED=90∘，AC=CD，
∴△ACB≌△CDE，∴BC=ED．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，
∴AC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=5+11=16，
故选C．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAP=∠BAP，AD=AB，
又∵AP=AP，
∴△ADP≌△ABP(SAS)，
∴PD=PB，
∴BP+EP=DP+EP，
当D，P，E在同一直线上时，BP+EP的最小值等于线段DE的长，
∵正方形ABCD的周长为8，点E是AB边的中点，
∴AD=2，AE=1，
∴Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= 22+12= 5，
∴PE+PB的最小值为 5．
故选：C．
连接PD，根据△ADP≌△ABP，即可得出PD=PB，进而得到当D，P，E在同一直线上时，BP+EP的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE+PB的最小值为 5．
本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】 33
【解析】解：1 3= 3 3× 3= 33．
故答案为： 33．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．
12.【答案】4
【解析】解：根据题意得：m−3=0n+1=0，
解得：m=3n=−1．
则m−n=3−(−1)=4．
故答案是：4．
根据任何非负数的算术平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m、n的方程，从而求得m、n的值，进而求解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13.【答案】14+2 5或8+2 5
【解析】解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= AB2−AD2= 36−16=2 5；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= AC2−AD2= 25−16=3，
此时BC=BD+DC=2 5+3，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+5+2 5+3=14+2 5；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= AB2−AD2= 36−16=2 5；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= AC2−AD2= 25−16=3，
此时BC=BD−DC=2 5−3，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+5+2 5−3=8+2 5；
综上，△ABC的周长为14+2 5或8+2 5．
故答案为：14+2 5或8+2 5．
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长可解答；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BD−CD求出BC的长可解答．
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14.【答案】a+b+c
【解析】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b>c，c+a>b，b+c>a，
∴a+b−c>0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴ (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|=a+b−c+a+c−b+b+c−a=a+b+c．
故答案为：a+b+c．
由a，b，c为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得a+b>c，c+a>b，b+c>a，又由 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|，即可求得答案．
此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握 a2=|a|．
15.【答案】24
【解析】解：BD=8，则BO=DO=4，
菱形周长为20，则AB=5，
菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2=AB2，
AO=3，AC=6，
故菱形的面积S=12×6×8=24．
故答案为24．
菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2=AB2，已知AB=5，BO=4，即可求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
16.【答案】132
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半.解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
【解答】解：∵AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，
∴AB2+BC2=25+144=169=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴BD=12AC=132cm，
故答案为132．
17.【答案】50°
【解析】解：∵点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°，
故答案为：50°．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形ADEF为平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，证明四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
18.【答案】9
【解析】解：连接CN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=12AB=6，
∵点M是BC的中点，
∴CM=12CB=3，
由旋转得：∠ACB=∠A1CB1=90°，AB=A1B1=12，
∵点N是A1B1的中点，
∴CN=12A1B1=6，
∵MN≤CM+CN，
∴MN≤9，
∴线段MN的最大值是9，
故答案为：9．
连接CN，在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=6，从而利用线段的中点定义可得CM=3，再根据旋转的性质可得：∠ACB=∠A1CB1=90°，AB=A1B1=12，然后在Rt△A1CB1中，利用直角三角形斜边上的中线性质可CN=6，从而在△CNM中，利用三角形的三边关系即可解答．
本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3 2−2 2+3−1= 2+2
(2)原式=2 3×4 23×3 3=8 2
【解析】根据二次根式的运算法则计算即可求出答案．
本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：∵x= 5，y= 5−2，
∴x−y= 5−( 5−2)= 5− 5+2=2，
xy= 5( 5−2)=5−2 5，
则原式=(x−y)2−xy
=22−(5−2 5)
=4−5+2 5
=−1+2 5．
【解析】先根据x、y的值计算出x−y、xy的值，再代入原式=(x−y)2−xy计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
21.【答案】解：(1)如图，等腰直角三角形MON即为所求．
(2)(1)中等腰直角三角形MON的面积为12× 10× 10=5，
则正方形ABCD的面积为4×5=20，它的边长为 20=2 5，
如图，正方形ABCD即为所求．
【解析】(1)利用勾股定理可得OM= 10，从而可得ON= 10，结合网格特点找出点N即可得；
(2)先求出正方形ABCD的边长为2 5，再结合网格特点和勾股定理画图即可得．
本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格特点的结合是解题关键．
22.【答案】解：原式=(a+ba−b−aa−b)×a(a−b)b2
=ba−b×a(a−b)b2
=ab
∵|a− 3|+ b+1=0
∴a= 3，b=−1
∴原式=ab= 3−1=− 3
【解析】先化简原式，然后将a与b的值代入即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
23.【答案】解：∵∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2 2，
∴BC= 2，
∴AB= AC2−BC2= (2 2)2−( 2)2= 6，
又∵DA=1，CD=3，AC=2 2，
∴DA2+AC2=12+(2 2)2=1+8=9=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=12AD⋅AC+12AB⋅BC=12×1×2 2+12× 6× 2= 2+ 3．
【解析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．
本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．
24.【答案】解：连接AC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得，
AC= AD2+CD2= 32+42=5，
在△ABC中，∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC−S△ACD
=12×5×12−12×3×4
=24(m2)，
∴这块地草坪绿化的价钱=24×150=3600(元)．
【解析】根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25.【答案】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，
∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，
∴AQ=PM=FM，QM=ME．
在△AQM和△FME中，AQ=FM∠AQM=∠FME=90°QM=ME，
∴△AQM≌△FME(SAS)，
∴AM=EF．
【解析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ=FM，QM=ME，结合∠AQM=∠FME=90°即可证出△AQM≌△FME(SAS)，再利用全等三角形的性质可证出AM=EF．
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．
26.【答案】证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．根据平行四边形的性质：对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF．
27.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵ED//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
28.【答案】解：(1)根据题意，得BP=2t，
∴PC=16−2t=16−2×3=10，
在Rt△APC中，AC=8，
根据勾股定理，得AP= AC2+PC2= 82+102=2 41．
答：AP的长为2 41．
(2)在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
根据勾股定理，得AB= AC2+BC2= 64+256=8 5，
∵△ABP为等腰三角形，
若PA=PB，则AP=2t，
在Rt△ACP中，根据勾股定理得，(2t)2=(16−2t)2+82，解得t=5．
若BA=BP，则2t=8 5，解得t=4 5；
若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；
即满足条件的t的值为4 5或16或5．
(3)①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，
又∵PD=PD，
∴△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED=CD=3，PE=PC=20−2t，
∴AD=AC−CD=8−3=5，
∴AE= AD2−DE2= 52−32=4，
∴AP=AE+PE=4+16−2t=20−2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(16−2t)2=(20−2t)2，
解得：t=5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED=CD=3，PE=PC=2t−20，
∴AD=AC−CD=8−3=5，
∴AE= AD2−DE2= 52−32=4，
∴AP=AE+PE=4+2t−16=2t−12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(2t−16)2=(2t−12)2，
解得：t=11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分∠APC．
【解析】(1)根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
(2)根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
(3)分两种情况：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，先证△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=20−2t，再由勾股定理求出AE=4，则AP=20−2t，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=2t−20，再由勾股定理得AE=4，则AP=2t−16，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．
1.下列各式中正确的是( )
A. 9=±3B. x2=xC. 3(−x)3=−xD. (−x)2=−x
2.若代数式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x<1B. x≤1C. x>1D. x≥1
3.如图所示，CD=1，∠BCD=90°，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. − 5B. 1− 5C. −1− 5D. −1+ 5
4.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 3， 7，5C. 5，12，13D. 4，4，8
5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等
6.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为( )
A. 4
B. 3
C. 52
D. 2
7.若 x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，则x+y的值为( )
A. 3B. 9C. 12D. 27
8.如图，菱形ABCD中，∠D=140°，则∠1的大小是( )
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
9.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A. 4B. 6C. 16D. 55
10.在周长为8的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.化简1 3= ______．
12.若 m−3+(n+1)2=0，则m−n的值为______．
13.在△ABC中，AB=6，AC=5，BC边上的高AD=4，则△ABC的周长为______．
14.已知a，b，c为三角形的三边，则 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=______．
15.已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为______．
16.如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．
17.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，点M是BC的中点，点N是A1B1的中点，连接MN，若AB=12，则线段MN的最大值是______．
三、计算题：本大题共2小题，共13分。
19.计算：
(1) 18− 8+( 3+1)( 3−1)
(2) 12× 323÷ 33．
20.已知：x= 5，y= 5−2，求代数式x2−3xy+y2的值
四、解答题：本题共8小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题4分)
图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；
(2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍．
22.(本小题6分)
先化简，再求(a+ba−b+ab−a)÷b2a2−ab的值，且a、b满足|a− 3|+ b+1=0．
23.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2 2，DA=1，CD=3.求四边形ABCD的面积．
24.(本小题6分)
阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，绿化草坪价格150元/米 2.求这块地草坪绿化的价钱．
25.(本小题6分)
如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME//CD交BC于点E，作MF//BC交CD于点F.求证：AM=EF．
26.(本小题7分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE=DF．
27.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
28.(本小题10分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP．
(1)当t=3秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 9=3，故此选项不符合题意；
B. x2=x，故此选项不符合题意；
C.3(−x)3=−x，故此选项符合题意；
D. (−x)2=x，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
2.【答案】D
【解析】解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，解得x≥1．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得，BD= [1−(−1)]2+12= 4+1= 5，
∴数轴上点A所表示的数为a为：−1− 5，
故选：C．
先运用勾股定理求得线段BD的长度，再列式、计算求得此题结果即可．
此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵( 7)2+32≠52，
∴以3， 7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵52+122=132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵42+42≠82，
∴以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】A
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：在平行四边形ABCD中，S△ABC=12S平行四边形ABCD，
∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴12AC⋅BF=12AB⋅DE，
∵AB=6，AC=8，DE=4，
∴8BF=6×4，
解得BF=3，
故选：B．
根据平行四边形的性质可得S△ABC=12S平行四边形ABCD，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵ x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，
∴ x−2y+9+|x−y−3|=0，
∴x−2y+9=0 ①x−y−3=0 ②，
②−①得，y=12，
把y=12代入②得，x−12−3=0，
解得x=15，
∴x+y=12+15=27．
故选：D．
根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解．
本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠DAC=∠1，
∴∠DAC=∠DCA=∠1，
在△ABD中，
∵∠D=140°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠DAC=∠DCA=12(180°−∠D)=12×(180°−140°)=20°，
故选：B．
由菱形的性质得到DA=DC，∠DAC=∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA=∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．
【解答】
解：如图，
∵图形a，b，c都是正方形，
∴AC=CD，∠ABC=∠CED=∠ACD=90∘，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠DCE，又∵∠ABC=∠CED=90∘，AC=CD，
∴△ACB≌△CDE，∴BC=ED．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，
∴AC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=5+11=16，
故选C．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAP=∠BAP，AD=AB，
又∵AP=AP，
∴△ADP≌△ABP(SAS)，
∴PD=PB，
∴BP+EP=DP+EP，
当D，P，E在同一直线上时，BP+EP的最小值等于线段DE的长，
∵正方形ABCD的周长为8，点E是AB边的中点，
∴AD=2，AE=1，
∴Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= 22+12= 5，
∴PE+PB的最小值为 5．
故选：C．
连接PD，根据△ADP≌△ABP，即可得出PD=PB，进而得到当D，P，E在同一直线上时，BP+EP的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE+PB的最小值为 5．
本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】 33
【解析】解：1 3= 3 3× 3= 33．
故答案为： 33．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．
12.【答案】4
【解析】解：根据题意得：m−3=0n+1=0，
解得：m=3n=−1．
则m−n=3−(−1)=4．
故答案是：4．
根据任何非负数的算术平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m、n的方程，从而求得m、n的值，进而求解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13.【答案】14+2 5或8+2 5
【解析】解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= AB2−AD2= 36−16=2 5；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= AC2−AD2= 25−16=3，
此时BC=BD+DC=2 5+3，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+5+2 5+3=14+2 5；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= AB2−AD2= 36−16=2 5；
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD= AC2−AD2= 25−16=3，
此时BC=BD−DC=2 5−3，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+5+2 5−3=8+2 5；
综上，△ABC的周长为14+2 5或8+2 5．
故答案为：14+2 5或8+2 5．
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长可解答；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BD−CD求出BC的长可解答．
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14.【答案】a+b+c
【解析】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b>c，c+a>b，b+c>a，
∴a+b−c>0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴ (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|=a+b−c+a+c−b+b+c−a=a+b+c．
故答案为：a+b+c．
由a，b，c为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得a+b>c，c+a>b，b+c>a，又由 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|，即可求得答案．
此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握 a2=|a|．
15.【答案】24
【解析】解：BD=8，则BO=DO=4，
菱形周长为20，则AB=5，
菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2=AB2，
AO=3，AC=6，
故菱形的面积S=12×6×8=24．
故答案为24．
菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2=AB2，已知AB=5，BO=4，即可求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
16.【答案】132
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半.解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
【解答】解：∵AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，
∴AB2+BC2=25+144=169=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴BD=12AC=132cm，
故答案为132．
17.【答案】50°
【解析】解：∵点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°，
故答案为：50°．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形ADEF为平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，证明四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．
18.【答案】9
【解析】解：连接CN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=12AB=6，
∵点M是BC的中点，
∴CM=12CB=3，
由旋转得：∠ACB=∠A1CB1=90°，AB=A1B1=12，
∵点N是A1B1的中点，
∴CN=12A1B1=6，
∵MN≤CM+CN，
∴MN≤9，
∴线段MN的最大值是9，
故答案为：9．
连接CN，在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=6，从而利用线段的中点定义可得CM=3，再根据旋转的性质可得：∠ACB=∠A1CB1=90°，AB=A1B1=12，然后在Rt△A1CB1中，利用直角三角形斜边上的中线性质可CN=6，从而在△CNM中，利用三角形的三边关系即可解答．
本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3 2−2 2+3−1= 2+2
(2)原式=2 3×4 23×3 3=8 2
【解析】根据二次根式的运算法则计算即可求出答案．
本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：∵x= 5，y= 5−2，
∴x−y= 5−( 5−2)= 5− 5+2=2，
xy= 5( 5−2)=5−2 5，
则原式=(x−y)2−xy
=22−(5−2 5)
=4−5+2 5
=−1+2 5．
【解析】先根据x、y的值计算出x−y、xy的值，再代入原式=(x−y)2−xy计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
21.【答案】解：(1)如图，等腰直角三角形MON即为所求．
(2)(1)中等腰直角三角形MON的面积为12× 10× 10=5，
则正方形ABCD的面积为4×5=20，它的边长为 20=2 5，
如图，正方形ABCD即为所求．
【解析】(1)利用勾股定理可得OM= 10，从而可得ON= 10，结合网格特点找出点N即可得；
(2)先求出正方形ABCD的边长为2 5，再结合网格特点和勾股定理画图即可得．
本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格特点的结合是解题关键．
22.【答案】解：原式=(a+ba−b−aa−b)×a(a−b)b2
=ba−b×a(a−b)b2
=ab
∵|a− 3|+ b+1=0
∴a= 3，b=−1
∴原式=ab= 3−1=− 3
【解析】先化简原式，然后将a与b的值代入即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
23.【答案】解：∵∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2 2，
∴BC= 2，
∴AB= AC2−BC2= (2 2)2−( 2)2= 6，
又∵DA=1，CD=3，AC=2 2，
∴DA2+AC2=12+(2 2)2=1+8=9=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=12AD⋅AC+12AB⋅BC=12×1×2 2+12× 6× 2= 2+ 3．
【解析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分割成两个直角三角形的面积和即可求解．
本题考查勾股定理，关键是对勾股定里的掌握和运用．
24.【答案】解：连接AC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得，
AC= AD2+CD2= 32+42=5，
在△ABC中，∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC−S△ACD
=12×5×12−12×3×4
=24(m2)，
∴这块地草坪绿化的价钱=24×150=3600(元)．
【解析】根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25.【答案】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，
∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，
∴AQ=PM=FM，QM=ME．
在△AQM和△FME中，AQ=FM∠AQM=∠FME=90°QM=ME，
∴△AQM≌△FME(SAS)，
∴AM=EF．
【解析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ=FM，QM=ME，结合∠AQM=∠FME=90°即可证出△AQM≌△FME(SAS)，再利用全等三角形的性质可证出AM=EF．
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．
26.【答案】证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．根据平行四边形的性质：对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF．
27.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵ED//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
28.【答案】解：(1)根据题意，得BP=2t，
∴PC=16−2t=16−2×3=10，
在Rt△APC中，AC=8，
根据勾股定理，得AP= AC2+PC2= 82+102=2 41．
答：AP的长为2 41．
(2)在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
根据勾股定理，得AB= AC2+BC2= 64+256=8 5，
∵△ABP为等腰三角形，
若PA=PB，则AP=2t，
在Rt△ACP中，根据勾股定理得，(2t)2=(16−2t)2+82，解得t=5．
若BA=BP，则2t=8 5，解得t=4 5；
若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；
即满足条件的t的值为4 5或16或5．
(3)①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，
又∵PD=PD，
∴△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED=CD=3，PE=PC=20−2t，
∴AD=AC−CD=8−3=5，
∴AE= AD2−DE2= 52−32=4，
∴AP=AE+PE=4+16−2t=20−2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(16−2t)2=(20−2t)2，
解得：t=5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED=CD=3，PE=PC=2t−20，
∴AD=AC−CD=8−3=5，
∴AE= AD2−DE2= 52−32=4，
∴AP=AE+PE=4+2t−16=2t−12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(2t−16)2=(2t−12)2，
解得：t=11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分∠APC．
【解析】(1)根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
(2)根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
(3)分两种情况：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，先证△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=20−2t，再由勾股定理求出AE=4，则AP=20−2t，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=2t−20，再由勾股定理得AE=4，则AP=2t−16，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．
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