2024年河南省开封市祥符区九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反意义的量，根据“正负数是具有相反意义的两个量，规定哪一个为正，则和它意义相反的量记为负”进行求解即可．
【详解】解：∵盈利50元，记作：元，
∴亏损30元，记作：元，
故选：C．
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果．
【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数
∵ ，
∴0.00000201表示成
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值．
4. 如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出对顶角的度数，即可得到答案．
【详解】解：
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到．
5. 学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么晓晓和洋洋选到同一社团概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与晓晓和洋洋选到同一社团的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，晓晓和洋洋选到同一社团的有3种情况，
∴晓晓和洋洋选到同一社团的概率是：.
故选C.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 若点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数的图象经过点B. 该函数的图象位于第一、三象限
C. 当时，y的值随x值的增大而增大D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】由于点在反比例函数的图象上，则，图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质即可判断．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∴函数位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的增大增大，
∵，
∴该函数的图象不经过点，
把代入求得，
∴当时，，
综上，只有选项C说法正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式，难度不大．
7. 若方程没有实数根，则k值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得：，
∵
∴值可以是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
8. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
9. 如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A （﹣1，2）B. （1，﹣1）C. （﹣1，1）D. （2，1）
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图所示，
∵AW＝1，WH＝3，
∴ ，
∵BQ＝3，QH＝1，
∴ ，
∴AH＝BH，同理，AD＝BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH＝AH＝HC，H为圆心．
则该圆弧所在圆的圆心坐标是﹙－1，1﹚．
故选C.
10. 如图1，在等边三角形ABC中，，是边上一个动点且不与点重合，是边上一点，且．设，图中某条线段长为，与满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）

A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象可得，与满足的函数关系是二次函数，且随的增大是先增大后再减小，据此逐一判断即可．
【详解】A．若的长为，则，故A选项不符合；
B．若的长为，随着x的增大，是先减小后增大的，故B选项不符合；
C．随着的逐渐增大，是先减小再增大，故C选项不符合；
D．线段随着的逐渐增大是先增大后逐渐减小的，故D符合；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点函数问题，抓住函数图形的特征来分析动点变化导致的线段变化是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该校区 50 户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这 50 户家庭各类生活垃圾的投放总量是 100 千克，并画出各类生活垃圾投放量分布的扇形图，根据以上信息，估计该小区 500 户居民这一天投放的可回收垃圾共约__________千克．
【答案】150
【解析】
【分析】先计算50户家庭中投放的可回收垃圾的重量，再根据其所占的百分比估计小区500 户居民这一天投放的可回收垃圾．
【详解】解：（千克）
（千克）
故答案为：150．
【点睛】本题考查扇形统计图、用样本估计总体等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13. 请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：当时，随着的增大而增大；该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点．你写出的二次函数解析式为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，根据当时，随着的增大而增大可知顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，再由该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点可知抛物线与轴的交点为，据此可得出结论，掌握二次函数的性质和平移是解题的关键．
【详解】解：∵当时，随着的增大而增大，
∴抛物线的顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，
∵二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点，
∴抛物线与轴的交点为，
∴符合条件的二次函数解析式可以为，
故答案为：(答案不唯一)．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2，则阴影部分面积＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴影＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴影＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴影＝S扇形OFA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，运用转化的思想思考问题．
15. 如图，在等腰中，，，D为边的中点，E为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为．当时，的长度为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设与相交于F，分点F在D的上方和下方两种情况讨论即可．
【详解】解：设与相交于F，
当点F在点D的下方时，如图，
∵，，
∴，
∵D为边的中点， 沿DE折叠，点A的对应点为，
∴，，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
当点F在点D的上方时，如图，
同理：、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
当时，的长度为或，
故答案为：或，
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算或化简：
（1）
（2）1﹣÷
【答案】（1）5；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据，代入计算即可；
（2）先变除法为乘法，后因式分解，约分，通分计算即可．
【详解】（1）
=-2-1+8
=5；
（2）1﹣÷
=1﹣×
=1-
=
=．
【点睛】本题考查了实数混合运算，分式的混合化简，熟练掌握运算的基本顺序，化简的基本技巧是解题的关键．
17. 某中学举行了一次“防火知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了七年级、八年级两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）分别进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
a．七年级年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：，，，，，）；
b．七年级年级学生竞赛成绩在这一组的是：80 81 81 82 82 84 86 86 86 88 88 89
c．这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值为___________；
（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是___________（填“七年级”或“八年级”），理由是___________；
（3）已知该校七年级年级有学生800人，估计该校七年级年级学生竞赛成绩超过85的人数是多少？
【答案】（1）
（2）八年级，理由见解析（答案不唯一）
（3）384人
【解析】
【分析】本题是概率统计的问题，考查了中位数、平均数、众数的性质、根据样本估计整体情况．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）由表格可知八年级的平均数、中位数高于七年级的平均数、中位数，据此即可解答；
（3）计算出样本中七年级学生竞赛成绩超过85分的百分比，再乘以该校初一学生人数即可求解．
【小问1详解】
七年级学生共抽取50名学生，根据成绩从低到高排序后，第25位学生的成绩是82分，第26位学生的成绩是84分，
∴中位数为，
即．
故答案为：83
【小问2详解】
在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级，理由是八年级的平均分为83分高于七年级的平均分82分，且八年级的中位数85高于七年级的中位数83．
故答案为：八年级；八年级的平均分为83分高于七年级的平均分82分，且八年级的中位数85高于七年级的中位数83．
【小问3详解】
在样本中，七年级学生竞赛成绩超过85的有（人），占比为，
由此估计七年级学生竞赛成绩超过85分的占，有
（人）
答：该七年级学生竞赛成绩超过85的有384人．
18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，．
（1）求出一次函数的表达式和的值；
（2）若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1），6
（2）点P的坐标为或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积等知识．
（1）把点，代入一次函求出k、b的值即可得出函数解析式，利用待定系数法即可得出m的值；
（2）先求出的面积，设，再根据三角形的面积公式求得，
【小问1详解】
解：点，在一次函数的图象上，
∴，
解得：
∴一次函数的解析式为
点在反比例函数的图象上，
∴．
【小问2详解】
由直线可知，
∴，
∵，
∴，
设，
∵
∴，
解得∶，
∴点P的坐标为或
19. 如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
【答案】（1）10m；（2）19m
【解析】
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果；
（2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴,
设AH＝5k，则PH＝12k，
在Rt△AHP中，由勾股定理，得，
∴13k＝26，
解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．；
（2）如图，延长BC交PQ于点D，
由题意可知四边形AHDC是矩形，
∴CD＝AH＝10m，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°，
∴PD＝BD．
∵PH＝12×2＝24（m），
设BC＝x，则x+10＝24+DH．
∴AC＝DH＝（x﹣14）m．
在Rt△ABC中，即，
解得x≈19（m）．
答：信号塔BC的高度约为19m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20. 如图，的直径与其弦相交于点，过点的切线交延长线于点，且．

（1）求证：；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由切线的性质推出，而，因此，即可证明；
（2）由锐角的余弦求出的长，再由对等角证明是中点，即可得到的长，由，求出长，即可求出圆的半径长．
【小问1详解】
证明：∵与圆相切于，
∴直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴⊙O半径的长是．
21. 端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子的数量m（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
【答案】（1）A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个；（2）购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元
【解析】
【分析】（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，由“用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个”列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2200-m）个，先由题意得不等式5m≤6（2200-m），解得m≤1200，再由题意得y=-m+13200，然后由一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，
∴1.2x=6；
答：A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2200-m）个，
依题意，得：5m≤6（2200-m），
解得：m≤1200，
由题意得：y=5m+6（2200-m）=-m+13200，
当m=1200时，y最小=12000，
2200-1200=1000，
答：购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
22. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点的坐标是_____，点的坐标是_______；
（2）求满足的函数关系；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【小问1详解】
解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，
，；
【小问2详解】
解：把，代入
得，，
解得，，
；
【小问3详解】
解：，
设直线的表达式为，
把代入，得，
解得，，
，
设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、，
，
，
当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 如图1，已知在中，．
（1）基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间数量关系是 ；
（2）拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到．
①求证：；
②用等式表示与间的数量关系，并说明理由：
（3）问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长．
【答案】（1）
（2）①见解析；②，理由见解析
（3）的长为或．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理等等：
（1）证明是等边三角形，即可得到结论；
（2）①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明；②证明是等边三角形，在中，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况分析，A、三点所在直线与不相交和与相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：根据旋转的性质得，，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
①证明：点，分别是，的中点，绕点按顺时针方向旋转得到，
，，．
．
；
②解：，理由如下：
如图，连接，

，，
．
，
是等边三角形．
，．
．
．
在中，由勾股定理得
．
．
由①得，．
．
；
【小问3详解】
解：①如图所示，

∵，，，
∴，
∵点D，E分别是，的中点，将绕点C旋转得到，
∴，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，

同理，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．成绩
平均数
中位数
众数
七年级年级学生
82
m
86
八年级年级学生
83
85
84