江西省萍乡市2023-2024学年高三二模考试数学试卷（Word附解析）

这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高三二模考试数学试卷（Word附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合，，若的充分条件是，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.复数，下列说法正确的是( )
A. z的实部为12B. z的虚部为13iC. D.
3.已知随机变量，且，则( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.已知，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则这三个数的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.点M将一条线段AB分为两段AM和MB，若，则称点M为线段AB的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，A，B，C为相邻的三个交点，则( )
A. 当时，存在使点B为线段AC的黄金分割点
B. 对于给定的常数，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点
C. 对于任意的a，存在使点B为线段AC的黄金分割点
D. 对于任意的，存在a使点B为线段AC的黄金分割点
8.如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2，已知，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是的一个旁心.直线PQ与x轴交于点M，若，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为递增数列D. 为周期数列
10.已知，则下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
11.设O为坐标原点，直线l过抛物线的焦点F且与C交于A，B两点，M，N满足，，AM与NF相交于点P，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 面积的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型如图，某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上即龙的图案在最上面的概率为__________.
13.在中，点D，E分别在边BC，AC上，，，若AD，BE交于点I，则__________;当，，时，的面积为__________.
14.正方体的棱长为2，P为该正方体侧面内的动点含边界，若PA，PB分别与直线AD所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知函数
求的单调区间;
若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
16.本小题15分
定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：
试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”;
已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有X人，试求X的分布列和数学期望.
17.本小题15分
如图所示的几何体是圆锥的一部分，A为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，，P是弧BC上一动点不与B，C重合，点M在AB上，且，
当时，证明：平面
若四棱锥的体积大于等于
①求二面角的取值范围;②记异面直线AP与BO所成的角为，求的最大值.
18.本小题17分
已知椭圆的离心率为，A，B是E上的不同两点，且直线AB的斜率为，当直线AB过原点时，
求椭圆E的标准方程;
设，点A，B都不在y轴上，连接PA，PB，分别交E于C，D两点，求点P到直线CD的距离的最大值.
19.本小题17分
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中c为参数.当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知三角函数满足性质：①导数：②二倍角公式：③平方关系：定义双曲正弦函数为
写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质;
任意，恒有成立，求实数k的取值范围;
正项数列满足，，是否存在实数a，使得若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的包含关系，属于基础题.
根据题意A是B的子集，所以
【解答】
解：，，
因为的充分条件是，所以，
则，
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，复数的相关概念，复数的模以及共轭复数，考查了运算求解能力，属于基础题.
先化简复数z，然后结合选项分析即可求解.
【解答】
解：由于复数，
所以z的实部为0，虚部为13，故AB错误；
所以 ， ，故C错误D正确.
故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率，属于基础题.
结合正态分布的性质直接得到答案即可.
【解答】
解：随机变量，
所以，所以，故
所以答案为
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的模、夹角的计算、向量的数量积，属基础题.
利用，即可求出结果.
【解答】
解：，，
设向量与的夹角为，
，
即，
，
，
故选
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆柱和圆锥的结构特征，考查圆锥的体积，圆柱的体积，球的表面积，属于基础题.
由题可知外接球的半径为4，且球心在圆柱的中心，利用勾股定理列出表达式，计算可得答案.
【解答】
解：若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，
由题，因为圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，
所以外接球球心O在圆柱的中心，
令外接球的半径为R，有
因为球的表面积为，解出，
在圆柱中，有，，解出，，
所以该陀螺的体积为
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于中难题.
令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合，可得答案.
【解答】
解：令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
且，，
则，即，故答案为
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查新定义，涉及数形结合思想以及任意角的三角函数，属于中档题.
依题意，作出图形，结合题意可分析计算得出答案.
【解答】
解：
若，则，即点M为线段
AB的黄金分割点;
当时，，不存在使点B为线段AC的黄金分割点，故选项A，C错误;
如下图，当时，，当时，，则，
则存在一个使得，故选项B错;
对于选项D，若与相交于相邻的三点A，B，C，
其横坐标分别为，，，则，
将变换成后，点A，B，C分别对应到点，，，
且满足，，，
故，即，对比值无影响，故选项D正确.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的渐近线，正弦定理，属于一般题.
结合题意，运用三角形旁心的定义得出角相等，结合正弦定理，将角度关系转换为边长关系，再结合题意得到 a 、 b 、 c 之间的关系后即可计算渐近线方程.
【解答】
解：由三角形旁心的定义可知 分别平分 ，
在 中， ，
在 中， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，同理可得 ，
所以 ，
而 ，
故渐近线方程为： .
故选：D
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查数列的周期性，属于中档题.
根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.
【解答】
解：由题意，数列满足，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以A不正确；
，
所以B正确；
又，所以随着n的增大而增大，所以C正确；
由A选项可知，数列中的奇数项重新组成的新数列即为，
故数列构成以1，为周期的周期数列，所以D正确.
故选：
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用作差法比较大小，考查对数的运算法则，属于中等题.
利用对数的运算法则化简，并结合作差法比较大小，依次判断各选项.
【解答】
解：因为，所以，，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，，
因为，所以，
同理，，所以，
所以，则，故C不正确；
对D选项，
，
故D正确.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系，平面向量的运用，属于中档题.
根据抛物线标准方程，结合向量关系求选项A；进而根据四边形BMNF为平行四边形求选项B；当轴时，根据对称性求选项最后设，，因为l过焦点F，则，则求选项
【解答】
解：因为，则O平分线段MF，又，则O平分线段BN，则四边形BMNF为平行四边形，故A对;
因为四边形BMNF为平行四边形，所以，又，故，故B对;
当轴时，根据对称性，P在y轴上，此时，故C错;
设，，因为l过焦点F，则，则，则，又，则，即为等腰三角形，且y轴为MF的垂直平分线，故P必在y轴上.此外，，则，则，当MA与抛物线C相切时，取得最大值1，即的最大值为1，故D对，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.
利用相互独立事件的概率乘法公式直接计算可得答案.
【解答】
解：因为1个人抛出一次时龙的图案在最上面的概率为，
所以2个成员各抛一次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为
13.【答案】1 ；
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，考查利用余弦定理解三角形，属于中等题.
利用平面向量的基本定理，可得，用待定系数法可得的值，再结合余弦定理和三角函数值计算出，利用三角形的面积公式可得答案.
【解答】
解：因为，所以，
因为，所以，
令，所以，
所以，
因为B，I，E共线，所以①，
因为A，I，D共线，
所以，
所以②，
联立①②，，解出，
故，所以，解出，
故，
在中，由余弦定理，，
因为，所以，
，
则。
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，空间向量的数量积与角度的关系，考查与椭圆的轨迹问题，属于难题.
利用空间向量的数量积与角度的关系，列出PA，PB分别与直线AD所成角的正切值之和的表达式，从而得到点P的轨迹为在平面中以点D，C为焦点的椭圆被平面所截曲线，可得点P到平面ABCD的距离h的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可.
【解答】
解：在正方体中，以A为原点，以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，
因为，
，
所以，
整理可得点到点和点的距离之和为，
所以点P的轨迹为在平面中以点D，C为焦点的椭圆被平面所截曲线，
则点P到平面ABCD的距离h的最大值为1，此时点P在CD中点的正上方；最小值为，此时点P在点D或者点C的正上方，
所以四棱锥的体积为
15.【答案】解：的定义域为，
，令解得
令，解得，
令，解得，
从而在上单调递减；在上单调递增；
由题意存在，使得成立；即存在，使得
令，
则，
令，解得，
令，解得，
从而在上单调递减；在上单调递增
所以的最小值为
则
故a的取值范围是
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
问题转化为对于恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．
16.【答案】解：
的值可能为0，1，2，3，
，，
，，
则X的分布列为：
故X的数学期望为
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，属于中等题.
根据题意，直接带入数据计算即可得到答案；
根据题意，，1，2，3，分别算出对应的概率，从而得到期望值.
17.【答案】解：由题知，在中，，，，
求得，则，，
又，，，OA、平面AOB，
故平面AOB，
又平面AOB，所以，
又，OP、平面MOP，
平面
①设，，，则二面角的平面角即为，
在OB上取点N，使，连接MN，，，
四棱锥的体积，
其中S表示四边形OCPB的面积，
则
，
由，可得，
，则，
故，解得，
即二面角的取值范围为
②以方向x轴正方向，在内垂直于OB的方向为y轴正方向，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
，，
，，
即的最大值为

【解析】本题考查了线面垂直的判定、平面与平面所成角和直线与直线所成角的向量求法，是中档题.
由勾股定理得，再证明平面AOB，所以，由线面垂直的判定即可；
①设，则二面角的平面角即为，易得四边形OCPB的面积S，由，可得，即二面角的取值范围；
②建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
18.【答案】解：依题意，则，因此，
当直线AB经过原点时，直线AB的方程为：，
设，，
联立直线AB与椭圆E的方程得，
所以，解得，
故，，即椭圆E的标准方程为
设，，，，
可知PA的斜率存在，设为k，
则，直线PA的方程为，
联立直线PA与椭圆E的方程，
整理得，
，则，
又，故，
同理可得，易知CD的斜率不为0，设CD的方程为，
则，
，
又，则，
对比CD的方程可知，直线CD恒过定点，
设点P到直线CD的距离为d，则，
当且仅当时，点P到直线CD的距离取到最大值
【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中等题.
由题，利用弦长公式列出AB弦长的表达式，结合椭圆的离心率，计算可得答案；
联立直线PA，求出点C坐标，同理可得B点坐标，对立CD方程，可知直线CD的图象性质，故分析可得结果.
19.【答案】解：①导数：，证明如下：
②二倍角公式：，证明如下：
③平方关系：，证明如下：
令，，，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意;
②当时，令，，则，可知是增函数，
由与可知，存在唯一，使得，故
当时，，则在上为减函数，故对任意
，，不合题意;
综上所述，实数 k的取值范围为
由，函数的值域为，对于任意大于1的
实数，存在不为0的实数m，使得，
类比双曲余弦函数的二倍角公式，由，
，，猜想：，
由数学归纳法证明如下：①当时，成立;
②假设当为正整数时，猜想成立，即，则
，符合上式，
综上：，
若，设，则，解得：或，
即，故，则，
综上：存在实数，使得成立.
【解析】本题考查基本初等函数的导数公式，利用导数研究恒成立与存在性问题，数学归纳法，属于难题.
根据题干可知有3个性质，①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：，利用导数的基本运算直接得证；
利用导数证明函数的最小值大于零即可；
利用数学归纳法证明即可.数学成绩的排名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识竞赛成绩的排名
1
5
3
4
9
8
7
6
10
2
12
14
13
11
15