福建省福州市仓山区水都中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；
D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法．根据科学记数法指一个数写成（其中，为整数）的形式即可．
【详解】解：．
故选：C．
3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1＞∠4+∠5D. ∠2＜∠5
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
4. 五边形的外角和等于（）
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【详解】解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
5. 已知二次函数的图象经过，，则b的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.
【详解】解： 二次函数的图象经过，，
二次函数图象的对称轴为：
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7. 已知．若为整数且，则的值为（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
8. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
9. 如表是某超市上半年的月营业额单位：万元．
下列结论不正确的是（ ）
A. 平均数是B. 中位数C. 众数是D. 方差是
【答案】C
【解析】
【分析】根据数据计算出平均数、中位数、众数和方差，可得答案．
【详解】解：平均数为万元，故A正确，不符合题意；
按顺序排列后第个数是，第个数是，所以中位数是万元，故B正确，不符合题意；
出现最多的是，所以众数是万元，故C错误，符合题意；
方差是万元故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查统计的初步知识，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的计算方法是解题关键．
10. 已知，，则可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把第一个式子中的c项移项到等号的右边，等式的两边同时平方，经过变形，再结合第二个式子即可得答案．
【详解】解：，
，
两边同时平方得：，
移项得：，
又，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，在解题过程中整体代入思想的运用是关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式：=______．
【答案】a（b+1）（b﹣1）
【解析】
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【解析】
【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，
由网格图可得个平方单位，
，
故有=．
故答案为：“＝”
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
14. 如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D，M分别是弦，弧的中点，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图
是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，，，是等边三角形．若在的内部（不含边界），则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作轴于点N，过的中点M作x轴的平行线，分别交于点E，交于点F，根据等边三角形的性质，可得， ，根据在的内部（不含边界），可得，即可求出a的取值范围．
【详解】解：过点B作轴于点N，过的中点M作x轴的平行线，分别交于点E，交于点F，如图所示：
∵且，
∴，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵在的内部（不含边界），
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，以及三角形中位线的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
17. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．
四、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
20. 如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）当x 时，y≥0；
（4）求原点到直线l的距离．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）把点（3，-3），（0，1）代入直线l的解析式进行求解即可；
（2）先求出A点坐标从而得到OA的长，再根据B点的坐标得到OB的长，根据进行求解即可；
（3）利用函数图像可得当时，；
（4）过点O作OC⊥AB于C，先利用勾股定理求得，再由进行求解即可．
【详解】解：（1）∵直线经过点（3，-3），（0，1），
∴，
∴，
∴直线l的解析式为；
（2）∵A是直线l与x轴的交点，
∴A（，0），
∴，
∵B（0，1），
∴，
∴；
（3）由函数图像可知当时，，
故答案为：；
（4）如图所示，过点O作OC⊥AB于C，
∵，，∠AOB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴原点到直线l的距离为．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，点到直线的距离，利用图像解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分对角，得到∠AOD=90°，∠DAO=∠BAO，根据E是AD的中点，得到OE=AE，得到∠EAO=∠EOA，推出∠EOA=∠BAO，得到OE∥FG，根据EF⊥AB，OG⊥AB，得到EF∥OG，推出四边形EFGO是平行四边形，由∠EFG=90°即得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝ 90°，
∴△AOD是直角三角形，
∵E是AD中点，
∴AE＝ AD，OE＝AD，
∴AE＝OE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAO＝∠BAO，
∴∠EOA＝∠BAO，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG ＝90°，
∴四边形OEFG是矩形．
【点睛】本题考查了菱形，直角三角形，等腰三角形，平行四边形，矩形．解决问题的关键是熟练掌握菱形的对角线性质直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定．
22. 5月12日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取n名学生的成绩，其不完整的统计表和统计图如下所示：
学生成绩分布统计表

请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）求n与a的值，并补全学生成绩频数分布直方图；
（2）若E组有2名男生和2名女生，现随机抽选2人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．
【答案】（1），40，补图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
（2）列出表格得出所有可能，再求概率即可．
【小问1详解】
解：；
；
B组学生数为（人），
补全统计图如图：
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；
（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．
【小问1详解】
解：如图所示，⊙A即为所求作：
【小问2详解】
解：根据题意，作出图形如下：
设，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又，
∴四边形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．
24. 手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+4x；
（2）能越过，理由见解析；
（3）米
【解析】
【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，求出a，得到抛物线解析式；
（2）由坡比求出AE，将x=9代入函数解析式，与3+5=8比较可得结论；
（3）由（2）知A的坐标为（9，3），求出直线OA的解析式，作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），求出MN=-x2+4x-x=，利用二次函数的性质求出最大值即可．
【小问1详解】
解：由题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，
将点（0，0）代入，得36a+12=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-6）2+12=x2+4x；
【小问2详解】
能越过，理由如下：
∵山坡OA的坡度为1:3，
∴AE：OE=1：3，
∵OE=9米，
∴AE=3米，
当x=9时，y=（9-6）2+12=9，
∵3+5=8<9，
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
【小问3详解】
由（2）知A的坐标为（9，3），
∴直线OA的解析式为，
作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，
设点M（x，x2+4x），则点N的坐标为（x，x），
∴MN=-x2+4x-x=，
∴当x=时，MN有最大值，最大值为，
∴飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是米．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，属于二次函数的综合题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
25. 在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．
（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2，求AB的长；
（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD＝BE；
（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．
【答案】（1）AB＝3；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）求出∠BAE＝15°，∠CBA＝45°，过点A作AN⊥BC于点N，则△ABN为等腰直角三角形，求出AN的长，则AB的长可求出；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，得出AM＝DM＝AD，AC＝CD＝AE，证明△ACM≌△EAG（AAS），得出EG＝AM，证出△EBG为等腰直角三角形，可得出BE＝EG＝AM＝AD．则结论得证．
（3）过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，证出BE＝CE＝a，求出BF＝a．则可得出答案．
【详解】解：（1）∵△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝∠ACB＝∠CEA＝60°，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠CBA＝∠CEA﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
如图，过点A作AN⊥BC于点N，
∴△ABN为等腰直角三角形，
在等边△ACE中，AN＝sin60°•AE＝＝3，
∴AB＝AN＝3．
（2）证明：如图，过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣2α，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD＝2α，
∴∠CAB＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠ACM＝α，
∴CM平分∠ACD，
∴AM＝DM＝AD，AC＝CD＝AE，
在△ACM和△EAG中，
，
∴△ACM≌△EAG（AAS），
∴EG＝AM，
∴AD＝2AM＝2EG，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°﹣2α，
∴∠CEA＝45°+α，
又∵∠CEA＝∠B+∠EAG，
∴∠B＝45°，
∵EG⊥AB，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴BE＝EG＝AM＝AD．
∴AD＝BE．
（3）如图，BF与EC之间的数量关系为．
过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，
设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，
∵DE∥CM，BD＝DM，
∴BE＝CE＝a，
∵DE＝a，AD＝2a，∠ADE＝90°，
∴AE＝＝a，
∵CD⊥AE，DE⊥AB，
∴∠EFD＝∠ADE＝90°
∴∠EDF＝∠DAE，
∴△DEF∽△AED，
∴，
∴，
∴EF＝a，
∴AF＝a﹣a＝a，
∴，
∴．
∵FH∥DE，
∴△AFH∽△AED，
∴，
∴FH＝a，
∴DH＝2a﹣a＝a，
∴BH＝a+a，
∴BF＝＝a．
∴=．
即BF与EC之间的数量关系为．
【点睛】本题是图形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明．
月营业额
月数
分组
成绩（分）
频率
A
0.050
B
a
C
0.275
D
0.375
E
0.100