上海市金山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间90分钟，满分100分）
一、选择题：（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
1. 下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的一般形式为，其中，的次数是1，为任意实数．
【详解】解：A、中，的次数不是1，不是一次函数，不符合题意；
B、，是一次函数，符合题意；
C、中，的次数不是1，不是一次函数，不符合题意；
D、，的次数不是1，不是一次函数，不符合题意；
故选：B
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 是二项方程B. 是无理方程
C. 是分式方程D. 是二元二次方程
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项方程的定义，无理方程的定义，二元二次方程的定义，分式方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．方程的左边两项都含未知数，故本选项不符合题意；
B．根号内没有未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意；
C．分母中不能未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D．方程是二元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二项方程、无理方程、二元二次方程、分式方程的定义等知识点，注意：根号内含有未知数的方程，叫无理方程，分母中含有未知数的方程，叫分式方程．
3. 下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，解一元二次方程，解方程即可判断A；根据即可判断B；解分式方程然后检验即可判断C；利用判别式即可判断D．
【详解】解；A、∵，则，
∴，原方程有实数根，符合题意；
B、∵，
∴，这与矛盾，
∴原方程无实数根，不符合题意；
C、∵，
∴，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，即原方程无实数根，不符合题意；
D、，则原方程无实数根，不符合题意；
故选：A．
4. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得：
，
解得：，
即这个多边形是六边形．
故选：C
5. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意，
C、∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是( )

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF;
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴FC=EF，故②正确；
③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题的关键．
二、选择题：（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7. 直线的截距是__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】根据截距的定义：直线方程y=kx+b中，b就是截距解答即可．
【详解】直线的截距是−5.
故答案为−5.
【点睛】此题考查一次函数图象，解题关键在于掌握一次函数图象上点的坐标特征.
8. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
9. 关于的方程有解，那么实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．根据方程有解确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程有解，
∴，
∴．
故答案为：．
10. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．
【详解】解：
两边平方得,
则或,
解得：或,
又
解得：，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
11. 用换元法解方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设，则，根据换元法解答即可，注意最后的形式是整式方程．
【详解】解：设，则原方程可变形为：，
即为；
故答案为：
【点睛】本题考查了换元法解方程，正确变形是关键．
12. 已知：点在函数的图像上，则___________（在横线上填写“>”或“=”或“<”）．
【答案】>
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的增减性，比较简单．解答此题的关键是熟知一次函数的增减性，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．一次函数的性质，当时，y将随x的增大而减小，即可得出a，b的大小关系即可．
详解】解：∵，
∴y将随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
13. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用一次函数图象经过的象限求参数，掌握一次函数的系数与图象的关系是解题关键．根据一次函数的图象不经过第三象限，得到，，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：一次函数的图像不经过第三象限，
，，
，，
的取值范围是，
故答案为：．
14. 方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求出x，y的值，经检验即可得到分式方程组的解．
【详解】解：，
由①＋②得，，，
把代入①得，，
∴，
经检验：是原方程组的解．
∵原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程组，熟练掌握加减消元法和分式方程的解法是解题的关键．
15. 如果分式方程有增根，那么的值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出k的值即可．
【详解】解：
去分母得：x-（x-3）=k，
∵分式方程有增根，
∴x-3=0，
解得：x=3，
把x=3代入x-（x-3）=k得：k=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16. 如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．直接根据图象解答即可．
【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是．
故答案为：．
17. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且，则平行四边形ABCD的周长等于______．
【答案】12
【解析】
【分析】求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
详解】解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝45°，
∴AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，，
同理可得，
∴平行四边形ABCD的周长是．
故答案为：12．
【点睛】利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明，这类试题的处理要注意分析其中的性质定理．
18. 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“双等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中，，那么凸四边形ABCD的面积为________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：①，②．当时，由于，可得为等边三角形，，则，过点D作，，解直角三角形求出两个等腰三角形的高，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，解直角三角形求出两个等腰三角形的高，结论可得．
【详解】解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，
和为等腰三角形．
由于，在中分两种情形：①，②．
当①时，如下图：

，，
，
为等边三角形，
，
，
，
过点D作，，

则，，
∴；
当②时，如下图，

过点作，过点作，交延长线于点，
，，
．
，，，
四边形为矩形．
．
，
．
在中，，
．
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形、解直角三角形、割补法求面积等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键．
三、计算题（本大题共，3题，每题6分，满分18分）
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得，
整理，得，
∴，．
经检验是增根，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解可以化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的步骤和方法．
20. 解方程：．
【答案】x＝3
【解析】
【分析】首先移项，然后两边平方，再移项，合并同类项，即可．
【详解】解：
，
x2﹣2x+1＝x+1，
x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0；x2＝3，
经检验：x1＝0是增根，舍去，x2＝3是原方程的根，
所以原方程的根是x＝3．
【点睛】本题主要考查解无理方程，关键在于掌握好方法，认真正确地进行运算，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．
21. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】将方程转化为或，再次联立方程，得到两个方程组，然后逐一求解，即可解决问题．
【详解】解：，
由得：或
原方程组化为或；
解得：，
原方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元高次方程的求解问题；解题的一般策略是降次转化，化高次方程组为低次方程组，然后求解．
四、解答题（本大题共5题，22、23每题7分，24、25每题8分，26题10分，满分40分）
22. 已知直线经过点、，且平行于直线．求：
（1）直线的解析式及点的坐标．
（2）如果直线经过点，且与轴的正半轴交于点，使得的面积为，求直线的解析式．
【答案】（1）直线的解析式为，点的坐标为
（2）直线的解析式为
【解析】
【分析】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征易得，根据两直线平行的问题易得，从而可确定直线的解析式，进而可得点的坐标；
（2）设点坐标为，然后根据三角形面积公式得到，求出的值可得到点坐标，由、的坐标，利用待定系数法即可求解．
【小问1详解】
解：经过点，
，
直线平行于直线，
，
直线的解析式为，
经过点，
，
点的坐标为；
【小问2详解】
如图，设点坐标，，
的面积为，
，
解得：或（舍去），
，
设直线的解析式为，
直线经过点，与轴的正半轴相交于点，
，
解得：，
直线的解析式为．
23. 近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元
【解析】
【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，根据：甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案．
【详解】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，
根据题意可得：，
解这个方程，得，
经检验，都是原方程的根，
但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去，
万元；
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
24. 已知：如图，在▱ABCD中，AEBC，CFAD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，连接AH、CG．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB=∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG=CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=DH，根据等式的性质得到OG=OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．
【详解】证明：在▱ABCD中，ADBC，ABCD，
∵CFAD，
∴CFBC，
∵AEBC，
∴AECF，即AGCH，
∴AGH=CHG，
∵AGB=180°-AGH，DHC=180°-CHG，
∴AGB=DHC，
∵ABCD，
∴ABG=CDH，
在和中，
，
∴，
∴AG=CH，
∴四边形AGCH是平行四边形；
法2：连接AC，与BD相交于点O，
在▱ABCD中，AO=CO，BO=DO，ABE=CDF，ABCD，
∴ABG=CDH，
∵CFAD，AEBC，
∴AEB=CFD=90°，
∴BAG=DCH，
在和中，
，
∴，
∴BG=DH，
∴BO-BG=DO-DH，
∴OG=OH，
∴四边形AGCH是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握平式子变形的判定与性质是解本题的关键．
25. 小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）___________分，___________分，___________米/分：
（2）若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米：
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
【答案】（1），，；
（2），；
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象获取信息，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据速度路程时间，求出的值，进而求出的值，再根据速度路程时间，求出的值即可；
（2）由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，分别求出段和段的关系时，求出路程相等时的值，进而求出行驶的路程，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米；②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，折线为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段为小明行驶的路程与时间的关系图，
分钟，
分钟，
米/分，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，
设段的关系式为，
将点和代入，得：
，解得：，
段的解析式为，
小明的速度是120米/分，
段的关系式为，
，即，
解得：，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分，
此时行驶的路程，
距图书馆的距离是米，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米，
则，
解得：；
②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，
则，
解得：，
即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是或分，
故答案为：或
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，直线与轴相交于点，点在第四象限，．
（1）求直线的解析式；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3），或，或，．
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴于点，根据、、三点的坐标，得出，，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点的坐标；
（3）分三种情况讨论：①四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点的纵坐标为，进而得到点的坐标，再根据，得到点的坐标；②四边形为平行四边形时，同①理求解；③四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，利用待定系数法，求出直线的解析式，进而的得到点的坐标，再根据坐标两点的中点公式，求出点的坐标．
【小问1详解】
解：直线分别与轴交于点，
令，则，
,
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴于点，
直线分别与轴交于点，
令，则，解得：，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
轴，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：以点为顶点的四边形是平行四边形，
①如图，四边形为平行四边形时，
轴，，
点的纵坐标为，
点在直线上，
令，则，解得：，
，
，
，
；
②如图，四边形为平行四边形时，
同①理可得，，，
，
，
；
③如图，四边形为平行四边形时，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
设点，
则，解得：，
综上可知，以点为顶点的四边形是平行四边形，点和点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．