2021年山西中考模拟百校联考（四）数学试题

这是一份2021年山西中考模拟百校联考（四）数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．3﹣1的结果是（ ）
A．﹣3B．3C．D．-
2．下列计算正确的是（ ）
A．2﹣1＝﹣2B．a2+a3＝a5C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5
3．郑太高铁全线开通，加速了丹河新城与中原城市群的融合．目前，丹河新城招商引资共签约22个项目，签约金额1100多亿元．将1100亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．1.1×103元B．1.1×108元C．11×1010元D．1.1×1011元
4．如图是一个正方体的平面展开图，折成正方体后，与“时”字所在面相对的面上的字是（ ）
A．争B．代C．新D．人
5．如图，直线a∥b，直线a与矩形ABCD的边AB，AD分别交于点E，F，直线b与矩形ABCD的边CB，CD分别交于点G，H．若∠AFE＝30°，则∠DHG的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
6．“五四”青年节来临之际，某校组织开展了“坚定理想信念，站稳人民立场，练就过硬本领，投身强国伟业”的演讲比赛．来自不同年级的25名同学决赛的得分情况如表所示．这些成绩的众数是（ ）
A．99分B．98分C．96分D．94分
7．如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．转化思想
C．分类讨论思想D．函数思想
8．不等式组的非负整数解的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．1sB．2sC．3sD．4s
10．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点D，交⊙O于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π+36B．6π+18C．9π+9D．6π+12
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二.填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 ．
12．现将正面分别写有“道路自信”，“理论自信”，“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（注：这四张卡片除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，洗匀后从中随机抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是 ．
13．如图，将一把直角三角尺ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，使得点C的对应点落在BA延长线上的点D处，连接EC．已知AB＝4cm，∠BAC＝60°，则EC＝ cm．
14．某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏 天．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB．若AB＝4，CE＝3，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）因式分解：x（x+4）﹣2（4x﹣2）；
（2）化简：．
17．（本题9分）如图，已知点A（0，1）在y轴上，点B（1，0）在x轴上，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，此时反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象恰好经过点C，D．
（1）直接写出点D的坐标和反比例函数的表达式；
（2）将正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点C'落在x轴上时，判断点D的对应点D'是否落在反比例函数y＝的图象上，并说明理由．
18．（本题8分）2021年元月，受新冠肺炎疫情的影响，我省各地市教育部门根据省教育厅的部署安排，提前进入了寒假．某校为丰富学生假期生活，向全体学生发出“休假不休身，休假强健身”活动倡议．
数据收集：开学后，该校政教处用调查问卷随机调查了该校50名学生，平均每周参与体育运动的时间，数据如下：
数据整理：政教处赵主任将这组数据整理并绘制了两幅不完整的统计图．
（1）请将两幅统计图补充完整；
（2）这50名学生平均每周参与体育运动的时间的中位数落在 （从A，B，C，D，E中选择填写）中；
（3）已知该校共有2400名学生，请根据调查结果估计该校全体学生中平均每周参与体育运动的时间不少于6小时的学生约有多少人？
（4）请你结合上面的统计结果，就学生应该如何安排体育运动时间方面提出合理化建议．
19．（本题8分）某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）
20．（本题8分）为打好“蓝天、碧水、净土”三大保卫战，某县政府决定将县城附近乡村的烧煤取暖全部改制为集中供热．“永盛”工程队承包了该项工程10000m的总管道铺设工程．该工程队施工效率比原计划提高25%，就可以比原计划提前20天完成任务．请解答下列问题：
（1）“永盛”工程队提高施工效率后平均每天铺设管道多少m；
（2）在（1）的基础上为了缩短工期，在管道铺设了20天后，该工程队经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多少m？
21．（本题6分）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
任务：
（1）上述证明过程中的依据是 ；
（2）将上述证明过程补充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命题：如图2，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若AF＝FD，则FE⊥BC．请证明该命题．
22．（本题13分）综合与实践
问题情境
如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．
数学思考
（1）在图1中，的值为 ；
（2）图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
拓展探究
（3）在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；
（4）若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．
23．（本题13分）综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD，交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．
（1）求直线AD的表达式及点C的坐标；
（2）当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值；
（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9 2021年山西中考模拟百校联考（四）
选择题答案速查
9．B
【解析】设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为ycm2，则AP＝xcm，BQ＝2xcm，
∴BP＝（4﹣x）cm，∴y＝S△ABC﹣S△PBQ＝BC•AB﹣BQ•BP，即y＝×8×4﹣×2x（4﹣x）＝x2﹣4x+16＝（x﹣2）2+12，∴当x＝2时，y有最小值为12.
10．B
【解析】∵边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，∴△AOC≌△AOB，∠AOC＝∠BOC＝120°，∴∠CAO＝30°.∵AC＝6，∴OA＝OB＝6.∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°.∵∠DOB＝2∠OAB＝60°，∴∠D＝30°，∴BD＝OB＝6，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOC+S△BOD﹣S扇形BOE＝+6×6﹣＝6π+18.
11．x1＝0，x2＝4
12．
【解析】解：“道路自信”，“理论自信”，“制度自信”和“文化自信”分别用a、b、c、d表示，画树状图如图所示.共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“文化自信”和“理论自信”的结果有2种，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是＝．
13．2
【解析】在Rt△ABC中，AB＝4cm，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝2cm.∵直角三角尺ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，C的对应点落在BA延长线上的点D处，∴∠CAD＝∠BAE＝120°，AB＝AE.∵∠BAC＝60°，∴∠EAC＝60°.在△BAC和△EAC中，，∴△BAC≌△EAC（SAS），∴∠ACE＝∠ACB＝90°.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝（cm）.
14．5
【解析】设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，（6+0.5x）（400﹣10x）﹣40x﹣1600＝1175，
解得x1＝5，x2＝15（舍去），即若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．
15．
【解析】如图，连接AC交BD于点O.∵AB＝AD＝4，BC＝DC，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝4，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAO＝∠DAO＝30°，BO＝OD＝2，∴AC⊥BD.∵CE∥AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1.∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝1，∴CF＝CE﹣EF＝2，OF＝OD﹣DF＝1，∴OC＝＝＝，∴BC＝＝＝.
16．（1）原式＝x2+4x﹣8x+4＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2.
（2）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•（x﹣1）
＝x+1．
17．（1）点D的坐标为（1，2），反比例函数的表达式为y＝.
解法提示：如图1，连接BD.
图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ABC＝45°，BD＝AB.
∵点A（0，1）在y轴上，点B（1，0）在x轴上，
∴OA＝OB＝1，
∴∠ABO＝45°，AB＝OA＝，
∴∠OBD＝90°，BD＝2，
∴BD⊥x轴，
∴点D的坐标为（1，2）.
∵反比例函数y＝在第一象限内的图象恰好经过点C，D，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝.
（2）点D的对应点D′没有落在反比例函数y＝的图象上．
理由：∵点A，B的坐标分别为（0，1），（1，0），
∴OA＝1，OB＝1.
又∵∠AOB＝90°，AB＝，
当点C的对应点C′落在x轴上时，OC′＝OB+BC′＝1+，
由题可知D′C′⊥x轴，C′D'＝A′B＝AB＝，
∴点D′与点C横坐标相同，
∴D′（1+，）.
∵（1+）×＝+2≠2，
∴点D的对应点D′没有落在反比例函数y＝的图象上．
18．（1）补充统计图如图所示.
（2）D
（3）2400×＝1248（人），
∴该校全体学生中平均每周参与体育运动的时间不少于6小时的学生约有1248人.
（4）学生应该合理计划自己每天的体育锻炼时间，做到每天至少锻炼1小时，每周至少锻炼7小时．（答案不唯一，合理即可）
19．如图，连接CE并延长，交AB于点G.
设AG＝x米.
由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，
∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，
∴∠AGE＝90°.
在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，
∴∠CAG＝∠ACG＝45°，
∴CG＝AG＝x（米），
∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米）.
在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，
即EG＝，
∴x﹣7.7＝，
解得x＝，
∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）．
20．（1）设“永盛”工程队提高施工效率前平均每天铺设管道xm，则提高施工效率后平均每天铺设管道（1+25%）xm，
依题意得﹣＝20，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝（1+25%）×100＝125．
答：“永盛”工程队提高施工效率后平均每天铺设管道125m．
（2）设该工程队平均每天再多铺设管道ym，
依题意得：50（125+y）≥10000﹣125×20，
解得y≥25．
答：该工程队平均每天至少再多铺设管道25m．
21．（1）同弧所对的圆周角相等
（2）补充如下：
在Rt△ADM中，∠ANM＝90°，
∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，
又∠AMF＝∠CAD，
∴∠DMF＝∠ADM，
∴FM＝FD，
∴AF＝FD.
（3）证明：在Rt△AMD中，AF＝FD，
∴FM＝AF＝FD，
∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD.
∵＝，
∴∠MAD＝∠CBD.
∵∠BME＝∠FMD，
∴∠BME＝∠ADM，
∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠BEM＝90°，
∴FE⊥BC．
22．（1）
（2）（1）中结论仍然成立．
证明：在题图1中，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC．
∴，
∴.
在题图2中，由旋转可知，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴．
（3）∠APE＝∠ABC.
理由：由（2）得，△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE.
又∵∠AFB＝∠PFC，
∴△AFB∽△PFC，
∴，∠BAC＝∠BPC，
∴.
又∵∠AFP＝∠BFC，
∴△AFP∽△BFC，
∴∠CBF＝∠PAF.
∵∠APE＝∠ACE+∠PAF，∠ABC＝∠ABF+∠CBF，
∴∠APE＝∠ABC．
（4）（3）中的结论不成立．
∠APE+∠ABC＝180°．
由（2）知△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴A，B，C，P四点共圆，
∴∠APE+∠ABC＝180°．
23．（1）对于y＝﹣x2+x+，
当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，0）．
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）.
设直线AD的函数表达式为y＝kx+b．
∵直线AD过点A（﹣2，0），D（1，4），
则，解得，
∴y＝x+，
当x＝0时，y＝，故C（0，）.
（2）如图，分别过点D，P作DG⊥x轴于点G，PH⊥x轴于点H.
∵D（1，4），P（m，﹣m2+m+），
∴DG＝4，PH＝|﹣m2+m+|．
∵PF∥AD，PE∥x轴，
∴四边形AFPE是平行四边形，
∴S四边形AFPE＝AF•PH，S△ADF＝AF•DG．
当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，AF•PH＝AF•DG．
∴PH＝DG，即|﹣m2+m+|＝＝2．
当﹣m2+m+＝2时，m1＝1+，m2＝1﹣＜0（不合题意，舍去）．
当﹣m2+m+＝﹣2时，m1＝1+，m2＝1﹣＜0（不合题意，舍去）．
综上所述，当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，m的值为1+或1+.
（3）存在.点P的坐标为（，）或（，﹣21）．
解法提示：当点P在x轴上方时，
设点P（m，﹣m2+m+），则点E的坐标为（x，﹣m2+m+），
把点A的坐标代入AD的表达式得x+＝﹣m2+m+，
解得x＝﹣m2+m+，
故点E的坐标为（﹣m2+m+，﹣m2+m+），
则EP＝m﹣（﹣m2+m+）.
由直线AD的表达式知，tan∠EAO＝，则cs∠EAO＝＝，
则AE＝（xE﹣xA）＝（﹣m2+m+）.
∵四边形AFPE是菱形，则AE＝EP，
即m﹣（﹣m2+m+）＝（﹣m2+m+），
解得m1＝﹣2（舍去），m2＝，
故点P的坐标为（，）.
当点P在x轴下方时，
同理可得，点P的坐标为（，﹣21）．
综上所述，点P的坐标为（，）或（，﹣21）．
成绩/分
94
96
98
99
人数/人
5
8
9
3
A B C D C D D E A C
D B E D C E D C C D
D D B C D C B A C C
E D D B C D D C D E
C D E D D C B D C D
体育运动时间调查问卷
你平均每周参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”）
□A：0﹣2小时 □B：2﹣4小时
□C：4﹣6小时 □D：6﹣8小时
□E：8小时及以上
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为点M，直线ME⊥BC，垂足为点E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC，
∴∠BMC＝∠AMD＝∠MEC＝90°．
∴∠CME+∠ECM＝90°，∠CBD+∠ECM＝90°．
∴∠CBD＝∠CME．
∵，
∴∠CBD＝∠CAD．（依据）
又∵∠CME＝∠AMF，
∴∠AMF＝∠CAD．
∴AF＝FM．
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
D
D
C
B
A
A
B
B