福建省莆田第二十五中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田第二十五中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是( )
A.B.C.D.
2．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为( )
A.B.C.D.
3．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A.a＞2B.a＜2C.a＜2且a≠1D.a＜－2
4．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A.B.C.D.
5．不等式组的解集是( )
A.x≥－2B.－2＜x＜3C.x＞3D.－2≤x＜3
6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的.从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是( )
A.B.C.D.
7．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是( )
A.B.C.D.
8．已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是( )
A.①②B.只有①C.③④D.①④
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
10．如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（–1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，–2），……，按这样的运动规律，动点P第2018次运动到点
A.（2018，0）B.（2017，0）C.（2018，1）D.（2017，–2）
二、填空题
11．的算术平方根是_____.
12．函数中，自变量x的取值范围是_____.
13．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，要使，则x满足的条件是_____.
14．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是_____.
15．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则_____.
16．如图，已知点，，，，，……在x轴正半轴上，分别以，，，，……为边在第一象限作等边，等边，等边，……，且点，，，，……在反比例函数上，且，则点的坐标为__________.
三、解答题
17．计算：.
18．先化简，再求值：，其中.
19．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合.点落在点处.已知，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长.
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知反比例函数y=（k0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5.
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围.
21．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.
22．如图，，，.
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为.（不写作法，保留作图痕迹）
23．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200.
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
24．【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上.若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是_____.
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上.
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD.试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由.
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
(2)若P点是该抛物线对称轴上一点，且，求点P的坐标；
(3)如图2，若C点为线段上一点，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：∵，
∴的倒数是.
故选C
2．答案：C
解析：将0.00000201表示成的形式，其中，n为负整数
，
表示成
故选C.
3．答案：C
解析：Δ＝4−4（a−1）＝8−4a＞0，
得a＜2.
又a−1≠0，
所以a＜2且a≠1.
故选：C.
4．答案：B
解析：一边长为x米，则另外一边长为：5-x，
由题意得：x（5-x）=6，
故选：B.
5．答案：D
解析：∵，
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为；
故选：D
6．答案：D
解析：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从中随机同时摸出两枚棋子的所有等可能的结果共有6种，其中，摸出的两枚棋子颜色相同的结果有2种，
则摸出的两枚棋子颜色相同的概率为，
故选：D.
7．答案：C
解析：等腰三角形有一个内角为，
这个等腰三角形的底角是，
故选：C.
8．答案：D
解析：试题分析：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线，∴，即2a﹣b=0，②错误；
∴时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，③错误；
∴x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选D.
9．答案：B
解析：A、由一次函数的图象可知、，
由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知、，
由二次函数的图象可知，两者相吻合，故此选项符合题意；
C、由一次函数的图象可知、，
由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知、，
由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意.
故选：B.
10．答案：B
解析：∵2018÷4=504余2，
∴第2014次运动为第505循环组的第2次运动，
横坐标为504×4+2-1=2017，纵坐标为0，
∴点的坐标为（2017，0）.
故选B.
11．答案：
解析：∵，
∴的算术平方根是.
故答案为.
12．答案：
解析：根据题意得：，
解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：∵二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点为，
∴由函数图象可知，当时，，
∴要使，则x满足的条件是，
故答案为：.
14．答案：1
解析：∵点与点关于原点对称，
∴.
故答案为：1.
15．答案：3
解析：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3.
16．答案：
解析：如图，作轴于点C，设，则，
，.
点在反比例函数上，
，
解得，或（舍去），
，
点的坐标为；
作轴于点D，设，则，
，.
点在反比例函数上，
，
解得，或（舍去），
，
点的坐标为；
同理可得点的坐标为即；
以此类推…，
点的坐标为，
点的坐标为.
故答案为.
17．答案：
解析：
.
18．答案：，2
解析：
∵
∴原式.
19．答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）四边形是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中
即
解得：
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=5，
∴m=5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y=，得k=10；
（2）由（1）得反比例函数解析式为：y=
∵当x=8时，y=，
又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤.
21．答案：(1)69，69，70
(2)82分
(3)小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
解析：（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
（2）（分）.
答：小涵的总评成绩为82分.
（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名.小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选.
22．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）所作图形如图，
23．答案：y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元时，最大利润为16000元
解析：（1）S=y（x﹣20）
=（x﹣40）（﹣10x+1200）
=﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000
=﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元.
24．答案：【简单应用】AE＝AD
【拓展延伸】（1）相等，证明见解析
（2）AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣），理由见解析
解析：简单应用：如图（1）中，结论：AE＝AD.
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE.
故答案为：AE＝AD.
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD.
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N.
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD.
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣）.
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′.过点C作CT⊥AE于T.
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cs（180°﹣）＝m•cs（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cs（180°﹣）.
25．答案：(1)，，
(2)
(3)24
解析：（1）∵抛物线过原点，即过点，
则代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点B的坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线，且过原点，
∴抛物线与x轴的另一交点A的坐标为；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴点P在上，
如图，过点P作于点E，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）连接，过点C作于点M，过点A作于点N，
∵，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，即，
∴，
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直时，最小，
∴最小值为，如图所示，
∵，
∴，
∴最小值为，
即.
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲