2022-2023学年河南省驻马店开发区高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省驻马店开发区高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各角中，与角34π终边相同的角为( )
A. −54πB. 9π4C. −9π4D. 13π4
2.750°化成弧度为( )
A. 25π6B. 14π3C. 11π2D. 17π3
3.已知角α的终边与单位圆相交于点P(sin11π6,cs11π6)，则sinα=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
4.下列结论中错误的是( )
A. 终边经过点(m,m)(m>0)的角的集合是{α|α=π4+2kπ,k∈Z}
B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3
C. M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}，则M⊆N
D. 若α是第三象限角，则α2是第二象限角
5.中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为56π，扇面所在大圆的半径为20cm，所在小圆的半径为10cm，那么这把折扇的扇面面积为( )
A. 125πB. 144πC. 485πD. 以上都不对
6.“θ=−π6”是“sinθ=−12”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.1sin765∘−cs1140∘=( )
A. 2+2 2B. 2 2C. 2 3+1D. 2
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)=2，f(1+x)=f(1−x)，则f(2022)+f(2023)=( )
A. 4B. 0C. −2D. −4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列大小关系中正确的是( )
A. cs11°C. sin11°10.已知 3sin(π+θ)=sin(2021π2−θ)，θ∈(0,2π)，则θ可能等于( )
A. 2π3B. 5π6C. 5π3D. 11π6
11.下列结论正确的是( )
A. −7π6是第三象限角
B. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2
C. 若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−35
D. cs(3π2−A)=sin(π+A)
12.已知角θ和φ都是任意角，若满足θ+φ=π2+2kπ,k∈Z，则称θ与φ“广义互余”.若sin(π+α)=−14，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有( )
A. sinβ= 154B. cs(π+β)=14C. tanβ= 15D. tanβ= 155
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为1213.若将点B沿单位圆逆时针旋转π2到达A点，则点A的坐标为______．
14.函数y=lnsinx的定义域为______．
15.在[−π,π]上，满足sinx≤ 22的x的取值范围是______．
16.函数f(x)=sinx,x≥0x+2,x<0则不等式f(x)>12的解集是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
18.(本小题12分)
化简：
(1)−sin(180°+α)+sin(−α)1+cs(−α)+cs(180∘−α)；
(2)cs(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(π−α)⋅cs(2π+α)；
(3)已知sin(α−3π)=2cs(α−4π)，求sin(π−α)+5cs(2π−α)2sin(3π2−α)−sin(−α)的值．
19.(本小题12分)
(1)已知sinα+csα=−15，若π2<α<π，求1sinα−1csα的值；
(2)求函数y=−sin2x+ 2sinx+34.取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
已知f(α)=sin(α−3π)cs(2π−α)sin(−α+3π2)cs(−π−α)sin(−π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若α=−31π3，求f(α)的值；
(3)若cs(−α−π2)=15，α∈[π,3π2]，求f(α)的值．
21.(本小题12分)
(1)已知1|sinα|=−1sinα且lg(csα)有意义，若角α的终边与单位圆相交于点M(35,m)，求m的值及sinα的值；
(2)是否存在角α∈(−π2,π2),β∈(0,π)，使等式sin(3π−α)= 2cs(π2−β) 3cs(−α)=− 2cs(π+β)同时成立.若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.(注：对任意角x，有sin2x+cs2x=1成立)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=12sin(2x−π3)．
(1)求f(3π4)的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)求f(x)在区间[−π4,π4]上的值域．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：与3π4终边相同的角为α=3π4+2kπ，k∈Z，
当k=−1时，α=−54π，故A正确；
令α=3π4+2kπ=9π4时，解得k=34∉Z，故B错误；
令α=3π4+2kπ=−9π4，解得k=−32∉Z，故C错误；
令α=3π4+2kπ=13π4，解得k=54∉Z，故D错误．
故选：A．
与3π4终边相同的角为α=3π4+2kπ，k∈Z，依次代入验证，即可求解．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵180°=π，
∴1°=π180，
则750°=750×π180=25π6 rad．
故选：A．
由180°=π，得1°=π180，代入可得750°=750×π180，即可得解．
本题考查角度制与弧度制的互化，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P(sin11π6,cs11π6)，
∴sinα=cs11π6=cs(2π−π6)=csπ6= 32．
故选：D．
利用单位圆的性质求解．
本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．
4.【答案】D
【解析】解：终边经过点(m,m)(m>0)，则该终边为第一象限的角平分线，
即角的集合是{α|α=π4+2kπ,k∈Z}，故A正确；
将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为60°，即分针转过的角的弧度数是π3，故B正确；
M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，
N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}，表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即M⊆N，故C正确；
由于α为第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z)．
故kπ+π2<α2故选：D．
根据终边相同的角的集合的概念及性质可判断AC；根据角的概念可判断B；由象限角的概念可判断D．
本题考查任意角三角函数的定义，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得，大扇形的面积为S1=12×5π6×20×20=500π3，
小扇形的面积为S2=12×5π6×10×10=125π3，
故扇面的面积为S1−S2=125π．
故选：A．
根据已知条件，结合扇形的面积公式求出大扇形，小扇形的面积，进而相减，即可求解．
本题主要考查扇形的面积，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由θ=−π6，可得sinθ=−12，故充分性成立，
当θ=7π6时，sinθ=−12，
则由sinθ=−12不能得出θ=−π6，故必要性不成立，
所以“θ=−π6”是“sinθ=−12”成立的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义即可得解．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：1sin765∘−cs1140∘=1sin(720∘+45∘)−cs(1080∘+60∘)
=1sin45∘−cs60∘=1 22−12
=1 2−12=2 2−1
=2( 2+1)=2 2+2．
故选：A．
利用诱导公式进行化简即可求得结果．
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的诱导公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，
所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]=f(−x)=−f(x)，
所以f(4+x)=−f(2+x)=f(x)，
所以f(x)是周期函数，周期为4，
所以f(2022)+f(2023)=f(2)+f(3)=−f(0)+f(−1)=−f(0)−f(1)=−2．
故选：C．
由条件可得f(x)是周期函数，周期为4，然后可得答案．
本题主要考查了奇函数的性质，考查了函数的周期性和对称性，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：当x∈(0,π4)时，csx>sinx，
∵sin168°=sin12°，cs168°=−cs12°<0，
又∵sinx在(0,π2)上单调递增，csx在(0,π2)上单调递减，
∴sin11°故选：BC．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及单调性，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及单调性，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
由题意，利用诱导公式，求得tanθ，可得θ的值．
【解答】
解：∵ 3sin(π+θ)=sin(2021π2−θ)，θ∈(0,2π)，
∴− 3sinθ=csθ，即tanθ=− 33，∴θ=5π6，或θ=11π6，
故选：BD．
11.【答案】BCD
【解析】解：A选项，−7π6=−π−π6是第二象限角，A错误；
B选项，扇形的半径为ππ3=3，面积为12×π×3=3π2，B正确；
C选项，csα=−3 (−3)2+42=−35，C正确；
D选项，cs(3π2−A)=−sinA，sin(π+A)=−sinA，D正确．
故选：BCD．
根据象限角、扇形面积、三角函数定义、诱导公式等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．
本题主要考查了象限角、扇形面积、三角函数定义、诱导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：若α与β广义互余，则α+β=π2+2kπ(k∈Z)，即β=π2+2kπ−α(k∈Z)，
又由sin(π+α)=−14=−sinα，可得sinα=14，csα=± 154，
对于A，若α与β广义互余，则sinβ=sin(π2+2kπ−α)=csα=± 154，由sinβ= 154可得α与β可能广义互余，故A正确；
对于B，若α与β广义互余，则csβ=cs(π2+2kπ−α)=sinα=14，由cs(π+β)=14可得csβ=−14，故B错误；
对于C，综上可得sinβ=± 154，csβ=14，所以tanβ=sinβcsβ=± 15，C正确，D错误．
故选：AC．
由题可得sinα=14，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可．
本题以新定义为载体，主要考查了诱导公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
13.【答案】(−1213,−513)
【解析】【分析】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题．
首先求出点B的坐标，将点B沿单位圆逆时针旋π2转到达A点，利用诱导公式即可求出点A的坐标．
【解答】
解：在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，
且点B的纵坐标为1213，
∴sinα=1213，csα=−513，
将点B沿单位圆逆时针旋转π2到达A点，
点A的坐标A(cs(α+π2),sin(α+π2))，即A(−sinα,csα)，
∴A(−1213,−513)
故答案为：(−1213,−513).
14.【答案】(2kπ,2kπ+π)，k∈Z
【解析】解：由题意得sinx>0，故x∈(2kπ,2kπ+π)，k∈Z．
故答案为：(2kπ,2kπ+π)，k∈Z．
由真数大于0得到sinx>0，解不等式得到定义域．
本题主要考查了对数函数的定义域，以及正弦函数的性质，属于基础题．
15.【答案】[−π,π4]∪[3π4,π]
【解析】解：∵sinx≤ 22且x∈[−π,π]，
∴x∈[−π,π4]∪[3π4,π]．
故答案为：[−π,π4]∪[3π4,π]．
直接利用正弦函数的性质求解即可．
本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数线的应用，考查计算能力．
16.【答案】{x|−32【解析】解：当x<0时，不等式f(x)>12可化为x+2>12，
解得x>−32，结合x<0可得−32当x≥0时，不等式f(x)>12可化为sinx>12，
解得2kπ+π6故答案为：{x|−32当x<0时，不等式f(x)>12可化为x+2>12，当x≥0时，不等式f(x)>12可化为sinx>12，分别解不等式综合可得．
本题考查分段不等式的解集，涉及三角函数的性质和分类讨论的思想，属基础题．
17.【答案】解：在第一个图形中，
分别与角π3，5π4终边相同的角为π3+2kπ，−3π4+2kπ(k∈Z)．
因此终边落在阴影区域(不包括边界)的角的集合是：
{α|−3π4+2kπ<α<π3+2kπ,k∈Z}．
在第二个图形中，终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角分别位于一、三象限，
在第一象限内，π6<α<π2，在第二象限，7π6<α<3π2，
∴终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合为：
{α|π6+2kπ<α<π2+2kπ，或7π6+2kπ<α<3π2+2kπ，k∈Z}={α|π6+kπ<α<π2+kπ，k∈Z}．
【解析】图一中，利用终边相同的角的集合定理可得出分别与角π3，5π4终边相同的角，即可终边落在阴影区域(不包括边界)的角的集合；图二中，终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角分别位于一、三象限，在第一象限内，π6<α<π2，在第二象限，7π6<α<3π2，由此能求出终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
本题考查终边相同的角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的集合的合理运用．
18.【答案】解：(1)由诱导公式可得，
−sin(180°+α)+sin(−α)1+cs(−α)+cs(180∘−α)=sinα−sinα1+csα−csα=0．
(2)由诱导公式可得，
cs(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(π−α)⋅cs(2π+α)=sinαcsα⋅sinα⋅csα=sin2α．
(3)由sin(α−3π)=2cs(α−4π)可得sinα=−2csα，
sin(π−α)+5cs(2π−α)2sin(3π2−α)−sin(−α)=sinα+5csα−2csα+sinα=−2csα+5csα−2csα−2csα=−34．
【解析】(1)利用诱导公式进行求解．
(2)利用诱导公式进行求解；
(3)根据条件得到sinα=−2csα，利用诱导公式化简后代入sinα=−2csα，求出答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为sinα+csα=−15，所以1+2sinαcsα=125，可得2sinαcsα=−2425，
(csα−sinα)2=1−2sinαcsα=1−(−2425)=4925，
又∵α∈(π2,π)，∴csα<0，sinα>0，∴csα−sinα<0，
∴csα−sinα=−75，
所以1sinα−1csα=csα−sinαsinαcsα=−75−1225=3512；
(2)y=−sin2x+ 2sinx+34=−(sinx− 22)2+54，
因为−1≤sinx≤1，所以当sinx= 22，
即x=2kπ+π4或x=2kπ+3π4(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax=54，
当sinx=−1，即x=2kπ+3π2(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin=−14− 2．
【解析】(1)对sinα+csα=−15两边平方可得2sinαcsα的值，对csα−sinα两边平方再开方求出值，代入1sinα−1csα=csα−sinαsinαcsα可得答案；
(2)对y=−sin2x+ 2sinx+34配方，再根据sinx的范围可得答案．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，还考查了正弦函数及二次函数性质在函数最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(α)=sin(α−3π)cs(2π−α)sin(−α+3π2)cs(−π−α)sin(−π−α)，
=−sinα×csα×(−csα)−csα×sinα=−csα，
(2)若α=−31π3，则f(α)=−cs(−31π3)=−cs13π=−12，
(3)由cs(−α−π2)=15，可得sinα=−15，
因为α∈[π,3π2]，所以csα=−2 65，
所以f(α)=−csα=2 65，
【解析】(1)结合诱导公式即可对已知式子进行化简；
(2)把已知角代入，结合诱导公式即可化简求解；
(3)由已知结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了诱导公式及同角平方关系在三角化简求值中的应用，属于基础试题．
21.【答案】解：(1)因为1|sinα|=−1sinα，所以sinα<0，
所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角，
因为lg(csα)有意义，所以csα>0，
所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角，
综上可知，角α是第四象限角，
因为点M(35,m)在单位圆上，所以(35)2+m2=1，解得m=±45，
又α是第四象限角，故m<0，从而m=−45，
根据正弦函数的定义，可知sinα=−45；
(2)因为等式sin(3π−α)= 2cs(π2−β) 3cs(−α)=− 2cs(π+β)同时成立，
利用诱导公式化简得sinα= 2sinβ, 3csα= 2csβ，两式平方后相加得sin2α+3cs2α=2，
因为sin2α+cs2α=1，所以可得cs2α=12，即csα=± 22，
因为α∈(−π2,π2)，所以α=π4或α=−π4．
当α=π4时，代入 3csα= 2csβ得csβ= 32，
又β∈(0,π)，所以β=π6，此时也符合等式sinα= 2sinβ；
当α=−π4时，代入 3csα= 2csβ得csβ= 32，
又β∈(0,π)，所以β=π6，显然此时不符合等式sinα= 2sinβ，
综上所述，存在α=π4，β=π6满足条件．
【解析】(1)先根据题意条件分析出角α所在象限，再根据角α的终边与单位圆相交于点M(35,m)，求出m的值，进而求出sinα；
(2)先利用诱导公式对题意中的等式进行化简，化简后得到sinα= 2sinβ, 3csα= 2csβ，平方相加得到新的等式sin2α+3cs2α=2，结合sin2α+cs2α=1，从而求解出sinα，csα，根据α，β所在的范围，进而求解出结果．
本题主要考查三角函数的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(3π4)=12sin(3π2−π3)=−12csπ3=−14，
(2)由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z得，−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z．
(3)当x∈[−π4,π4]时，2x−π3∈[−5π6,π6]，∴sin(2x−π3)∈[−1,12]，
∴12sin(2x−π3)∈[−12,14]，
故f(x)在区间[−π4,π4]上的值域为[−12,14]．
【解析】(1)把x=3π4直接代入即可；
(2)由正弦函数性质知在−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z上递增，即可求增区间；
(3)应用整体法求2x−π3的区间，再由正弦函数性质求值域．
本题主要考查正弦函数的值域的应用，单调区间的应用，属于中档题．