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    北京市海淀区北京大学附属中学2021年八年级下册数学期中试题

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    北京市海淀区北京大学附属中学2021年八年级下册数学期中试题

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    这是一份北京市海淀区北京大学附属中学2021年八年级下册数学期中试题,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 下列二次根式中,最简二次根式是( )
    A. B. C. D.
    2. 菱形面积为12cm2,一条对角线是6cm,那么菱形的另一条对角线长为( )
    A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
    3. 中,点分别是的边,的中点,连接,若,则( )
    A. B. C. D.
    4. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,这是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是( )
    A. B. C. D.
    5. 如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AD的长为( ).
    A. 4B. 5C. 3D.
    6. 如果,则a的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    7. 在某时段由50辆车通过一个雷达测速点,工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图,则这50辆车的车速的众数(单位:km/h)为( )
    A. 60B. 50C. 40D. 15
    8. 将一张平行四边形纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折纸方法共有( )
    A. 1种B. 2种C. 4种D. 无数种
    9. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是( ).
    A. 甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定
    B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好
    C. 丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高
    D. 就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳
    10. 一只小猫在距墙面4米,距地面2米的架子上,紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠,聪明的小猫准备在梯了下滑时,在与老鼠距离最小时捕食.如图所示,把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,猫所处位置为点D,梯子视为线段MN,老鼠抽象为点E,已知梯子长为4米,在梯子滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为( )
    A. B. ﹣2C. 2D. 4
    二、填空题(每小题2分,共20分)
    11. 若有意义,则x 的取值范围是__________.
    12. 在实数范围内分解因式a2﹣6=_____.
    13. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________.
    14. 如图,在中,,D是AB的中点,若,则的度数为________.
    15. 当x=___时,代数式+1取最小值为___.
    16. 平行四边形的一个内角平分线将对边分成3cm和5cm两个部分,则该平行四边形的周长是__cm.
    17. 如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2:3:2:3,那么四边形ABCD是平行四边形,判定的依据是____.
    18. 北大附中实验学校科技节作品得分包括三部分,专家评委给出的专业得分,宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分.已知某个作品各项得分如表所示(各项得分均按百分制计):按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%,计算该作品的综合成绩(百分制),则该作品的最后得分是______.
    19. 如图所示,菱形ABCD,在边AB上有一动点E,过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F,线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H,得到四边形EGFH,点E在运动过程中,有如下结论:
    ①可以得到无数个平行四边形EGFH;
    ②可以得到无数个矩形EGFH;
    ③可以得到无数个菱形EGFH;
    ④至少得到一个正方形EGFH.
    所有正确结论的序号是__.
    20. 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1,A、B、C、D均落在格点上.
    (1)S△BDC:S△BAC=_____;
    (2)点P为BD的中点,过点P作直线l∥BC,过点B作BM⊥l于点M,过点C作CN⊥l于点N,则矩形BCNM的面积为_____.
    三、解答题(第21-23题每题5分,第24、25题每题6分,第26题7分,第27、28题每题8分,共50分)
    21. 计算:.
    22. 已知x=﹣1,求代数式x2+2x﹣6的值.
    23. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程,已知:
    求作:矩形
    作法:如图,
    ①作线段的垂直平分线角交于点;
    ②连接并延长,在延长线上截取
    ③连接
    所以四边形即为所求作的矩形
    根据小东设计的尺规作图过程
    (1)使用直尺和圆规,补全图形:(保留作图痕迹)
    (2)完成下边的证明:
    证明: ,,
    四边形是平行四边形( )(填推理依据)
    四边形是矩形( )(填推理的依据)
    24. 如图,在平行四边形ABCD中,DE,BF分别是∠ADC,∠ABC的角平分线.
    求证:四边形DEBF是平行四边形.
    25. 我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣,整理数据并绘制如图所示不完整的统计图.依据信息解答下列问题.
    (1)求样本容量;
    (2)直接写出样本数据的众数、中位数和平均数;
    (3)已知北大附中实验学校一共有1920名学生,请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人.
    26. 如图,在中,于点E点,延长BC至F点使,连接AF,DE,DF.
    (1)求证:四边形AEFD是矩形;
    (2)若,,,求AE长.
    27. 已知在菱形ABCD中,点P在CD上,连接AP.
    (1)在BC上取点Q,使得∠PAQ=∠B,
    ①如图1,当AP⊥CD于点P时,线段AP与AQ之间的数量关系是 .
    ②如图2,当AP与CD不垂直时,判断①中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明,若不成立,则需说明理由.
    (2)在CD的延长线取点N,使得∠PAN=∠B,
    ①根据描述在图3中补全图形.
    ②若AB=4,∠B=60°,∠ANC=45°,求此时线段DN的长.
    28. 对于平面内的图形G1和图形G2,A为图形G1上一点,B为图形G2上一点,如果线段AB的长度有最小值,称图形G1和图形G2存在“最短距离”,此时线段AB的长度记为m(G1,G2);如果线段AB的长度有最大值,称图形G1和图形G2存在“最长距离”,此时线段AB的长度记为M(G1,G2).
    例如:线段EF两端点坐标为E(1,3),F(3,1),线段KH两端点坐标为K(3,3),H(3,5),根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m(G1,G2)=,M(G1,G2)=4.
    在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(3,1),C(4,2),D(2,2).
    (1)线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”?如果存在,请直接写出m(AD,BC)和M(AD,BC);如果不存在,请说明理由.
    (2)已知点P(0,t),若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点,且m(l,AD)、m(l,BC)、m(l,ABCD)三者中的最小值不超过最大值的,求t的取值范围.
    (3)已知四边形QRST,其中Q(4,5),R(5,4),S(6,5),T(5,6).现将四边形ABCD绕点O旋转,旋转后的图形记为A′B'C′D′,记m*表示m(A'B′C′D′,QRST)的最小值,M*表示M(A′B'C′D′,QRST)的最大值,直接写出M*+m*的值.
    参考答案
    1-5. ABBDD 6-10. BCDDB
    11. x≥8 12. (a+)(a﹣)
    13. 如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形
    14. 52 15. ①. 2 ②. 1 16. 22或26
    17. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 18. 96.8分 19. ①③④
    20. (1)由题意得:AC=1,AD=6,CD=5,
    ∴S△ABD:S△BAC=6:1,
    ∴S△BDC:S△BAC=5:1;
    (2)如图所示:
    ∵点P为BD的中点,直线l∥BC,
    ∴PE是△BCD的中位线,,
    ∵四边形BCNM是矩形,
    ∴∠BCN=∠CNE=90°,
    ∴∠ACB+∠ECN=90°,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠ACB+∠ABC=90°,BC=,
    ∴∠ECN=∠ABC,
    ∴△CNE∽△BAC,
    ∴,即,
    解得:,
    ∴矩形BCNM的面积=
    21. 解:原式
    22. 解:x2+2x﹣6=(x+1)2﹣7,
    当x=﹣1时,
    原式=(﹣1+1)2-7,
    =5﹣7,
    =﹣2.
    23. 解:(1)如图,矩形ABCD即为所求.
    (2)∵OA=OC,OD=OB,
    ∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
    ∵∠ABC=90°,四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
    24. ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠ADC=∠ABC.
    又∵DE,BF分别是∠ADC,∠ABC的平分线,
    ∴∠ABF=∠CDE.
    又∵∠CDE=∠AED,
    ∴∠ABF=∠AED,
    ∴DE∥BF,
    ∵DE∥BF,DF∥BE,
    ∴四边形DEBF是平行四边形.
    25. 解:(1)根据条形统计图,15岁的人数是16,由扇形统计图知15岁占20%,
    ∴样本容量是:16÷20%=80;
    (2)14岁的人数有:80﹣4﹣35﹣16=25(人),
    ∵13岁的有35人,人数最多,
    ∴众数是13岁;
    把这些数从小大排列,中位数位于40,41两个位置上数据的平均数,
    第40与41位置上的数据14岁,14岁,
    则中位数是(岁),
    平均数是:(岁).
    (3)样本中14岁以上的学生有:25+16=41人,占样本的百分比为,
    ∴北大附中实验学校1920名学生,在14岁及以上的学生大约有1920×=984(人),
    答:全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人.
    26. (1)证明:∵CF=BE,
    ∴CF+EC=BE+EC.
    即 EF=BC.
    ∵在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
    ∴AD∥EF且AD=EF.
    ∴四边形AEFD是平行四边形.
    ∵AE⊥BC,
    ∴∠AEF=90°.
    ∴四边形AEFD是矩形;
    (2)∵四边形AEFD是矩形,DE=8,
    ∴AF=DE=8.
    ∵AB=6,BF=10,
    ∴AB2+AF2=62+82=100=BF2.
    ∴∠BAF=90°.
    ∵AE⊥BF,
    ∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE.
    ∴AE=.
    27. (1)①AP=AQ.
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴BC=CD,AB∥CD,
    ∴∠B+∠QCD=180°,
    ∵∠PAQ=∠B,
    ∴∠PAQ+∠QCD=180°,
    ∴∠APC+∠AQC=180°,
    ∵AP⊥CD,
    ∴∠APC=90°,
    ∴∠AQC=90°,
    ∴AQ⊥BC,
    ∵S菱形ABCD=BC•AQ=CD•AP,
    ∴AP=AQ;
    故答案为:AP=AQ;
    ②①中的结论仍然成立.
    证明:如图2中,过点A作AM⊥BC于M,AN⊥CD于N.
    ∵四边形ABCD是菱形,AM⊥BC,AN⊥CD,
    ∴S菱形ABCD=BC•AM=CD•AN,
    ∵BC=CD,
    ∴AM=AN,∠AMQ=∠ANP=90°,AB∥CD,
    ∴∠B+∠C=180°,
    ∵∠PAQ=∠B,
    ∴∠PAQ+∠C=180°,
    ∴∠AQC+∠APC=180°,
    ∵∠AQM+∠AQC=180°,
    ∴∠AQM=∠APN,
    在△AMQ和△ANP中,
    ∴△AMQ≌△ANP(AAS),
    ∴AP=AQ.
    (2)①,作∠PAN=∠B,角的另一边交CD延长于N,
    补全图形如下:
    ②如图3,过点A作AH⊥CD于点H,
    ∵∠ANC=45°,
    ∴∠NAH=45°,
    ∴AH=HN,
    ∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
    ∴∠ADC=60°,AB=AD=4,
    ∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°,
    ∴DH=AD=2,
    ∴AH==DH=2,
    ∴HN=2,
    ∴DN=HN﹣DH=2﹣2.
    28. 解:(1)连结AB并延长AB到G,过D,C作DE⊥AG,CF⊥AG,分别交于E、F,
    ∵A(1,1),B(3,1),两点纵坐标相同,
    ∴AB∥x轴,
    ∵点A(1,1),B(3,1),C(4,2),D(2,2).
    ∴E(2,1),F(4,1),
    ∴AE=2-1=1,DE=2-1=1,AE=DE,DE⊥AE,
    ∴△ADE为等腰直角三角形,
    ∴∠DAE=45°,
    ∵BF=4-3=1,CF=2-1=1,CF=BF,CF⊥BF,
    ∴△CBF为等腰直角三角形,
    ∴∠CBG=45°,
    ∴∠DAE=∠CBG=45°,
    ∴AD∥BC,
    又∵EB=3-2=1=AE=DE,
    ∴AD2+BD2=,
    ∴BD⊥AD
    ∴AD、BC间最短距离为BD,即m(AD,BC)=,
    ∴AD、BC间最长为AC,即M(AD,BC)=;
    (2)∵过P的直线l平行于AD,且与▱ABCD无交点,
    ∴l∥BC,
    ∴当l在AD左侧时:m(l,BC)=m(l,AD)+m(AD,BC),
    m(l,ABCD)=m(l,AD),
    由(1)知,m(AD,BC)=,
    若m(l,BC)=2m(l,AD),
    则m(l,AD)=,
    设AD解析式为
    解得
    AD解析式为
    过P与AD平行的直线为+,
    ∵OA== m(l,AD),过A作PA⊥AD,交y轴于P,
    ∴△OAP为等腰直角三角形,
    ∴OP=t=,
    ∵直线l在O、P之间运动
    ∴0<t≤2,
    ∴当0<t≤2时,m(l,AD)、m(l,BC)、m(l,ABCD)三者中的最小值不超过最大值的,
    当l在BC右侧时,
    m(l,AD)=m(l,BC)+m(AD,BC),
    m(l,ABCD)=m(l,BC),
    由(1)知,m(AD,BC)=,
    若m(l,AD)=2m(l,BC),
    则m(l,BC)=,
    设BC的解析式为为
    解得
    BC解析式为
    直线BC与y轴交点为K(0,-2),与x轴交点N(2,0)
    ∴OK=ON=2,
    ∴△OKN为等腰直角三角形
    ∴∠OKN=45°,
    过K作KL⊥l于L,
    则KL=,
    ∵∠PKL=180°-∠OKN-∠NKL=45°
    ∴△KLP为等腰直角三角形,
    ∴PL=KL=,
    在Rt△KLP中PK=,
    ∴-2-t=2
    ∴t=﹣4,
    ∵直线l在BC下方到t=-4之间运动,
    ∴﹣4≤t<﹣2,
    当﹣4≤t<﹣2时,m(l,AD)、m(l,BC)、m(l,ABCD)三者中最小值不超过最大值的,
    ∴不超过最大值时:0<t≤2或﹣4≤t<﹣2;
    (3)由题意知,
    M(O,ABCD)=|OC|=,
    M(O,QRST)=|OS|=,
    取QR的中点W(),
    m(O,QRST)=|OW|=,
    ∴M*=+,m*=﹣,
    ∴M*+m*=+.
    项目
    专业得分
    展示得分
    支持得分
    成绩(分)
    96
    98
    96

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