上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若角α的终边经过点，则______．
2．满足等式，的解为______．
3．化简：______．
4．若α为第二象限角，，则______．
5．已知，，若，则______．
6．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为______．
7．已知，，则______．
8．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点a的三等分点，AF与DE交于
点M，则______．
9．若将函数向右平移个单位后其图像关于y轴对称，则______．
10．函数的部分图像如图所示，则______．
11．平面内互不重合的点、、、、、、，若，种，2，3，4则的最大值与最小值之和为______．
12．设a为常数，函数在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为______．
二、单选题（13~14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．B．C．2D．－2
15．若平面单位向量，，…，，满足对任意的，都有，则正整数n的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
16．已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，，……，……，对于正整数n有如下两个命题：
甲：；乙：恒成立；则（ ）
A．甲正确，乙正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲错误，乙错误
三、解答题（17～19题每题14分，20～21题每题18分，共78分）
17．已知平面向量，，，．
（1）若，求k的值；
（2）若与的夹角为锐角，求k的取值范围．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）若，求的值；
（2）的面积等于，求a的值．
19．如图所示，ABCD是一声边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形草地，Р是弧TS上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC和CD上的长方形
停车场PQCR．
（1）设，长方形PQCR的面积为S，试建立S关于的函数关系式；
（2）当α为多少时，S最大，并求最大值．
20．已知函数．
（1）求的定义域，
（2）若，求的值域；
（3）设，函数，，若对任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围．
21．已如函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，的一条对称轴，且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在，，，…，满足，且
求m的最小值；
（3）令，，若存在使得成立，求实数a的取值范围．
2023~2024学年华二附中高一（下）期中考试数学试卷
一、填空题
1．【答案】－2
【解析】．
2．【答案】
【解析】当时，，由，得
则，因此，所以所求方程的解为．
3．【答案】1
【解析】原式，
4．【答案】
【解析】∵，∴，解得或，
∵α为第二象限角，∴．
5．【答案】
【解析】由题意得，，∵，∴，解得．
6．【答案】
【解析】由，，得在方向上的投影向量为．
7．【答案】
【解析】∵，∴，
∴．
8．【答案】=
【解析】如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．
则，，，，
∴，．
由于就是，的夹角．
∴．
9．【答案】
【解析】易知函数向右平移个单位后得函数，
此时函数关于y轴对称，则，
又，所以时，．
10．【答案】2．
【解析】，，，，
最小的正整数为，，
，，，，最小的正整数为，，
，，
∴，
11．【答案】6
【解析】设G为的重心，
则，
因为，所以，
即在以点G为圆心，为半径的圆上面，
设点G与坐标原点重合，
则，
当且仅当，，都在线段上，等号成立，
又，
当且仅当，O，在线段，上面，且在线段上，在线段上，等号成立综上所述，的最大值与最小值之和为6．
12．【答案】
【解析】由题意，令，，
所以，，所以，，，
记的两零点为，，
当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k，
在内零点个数为，因为，所以；
当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k，
在内零点个数为，此时不存在n；
当时，则，，在和（k为正整数）内零点个数均为2k，
因为，所以或2025；
当时，则，，在（k为正整数）内零点个数均为2k，
所以；
当，则，，在和（k为正整数）内零点个数均为2k，
所以或2024；
综上n的所有可能值为1012，1349，2023，2024，2025．
二、单选题
13．【答案】A
【解析】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件．故选：A．
14．【答案】D
【解析】由余弦定理得．又因为，所以，
故，故选：D．
15．【答案】C
【解析】依题意，设单位向量，的夹角为θ，因为，
所以，即，
所以，根据题意，正整数n的最大值为，故选：C．
16．【答案】A
【解析】f（x）的零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标．
又注意到时，，时，，
，时，．
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示．
甲命题，注意到时，，
，．
结合图像可知当，，．
当，，．故甲正确；
乙命题，表示两点与间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即恒成立．故乙命题正确；
故选：A．
三、解答题
17．【答案】（1），（2）
【解析】（1）因为，，，
所以，．
又因为，
所以，解得．
（2）因为，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以，且夹角不为0．
当时，，解得；
当与的夹角为0时，，解得，
故与的夹角不为0时，；
综上可得：k的取值范围是．
18．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）在中，由正弦定理，得，
所以的值是．
（2）由的面积等于，得，解得，
由余弦定理，得，即，
解得，或，，
所以或．
19．【答案】（1），．
（2）时，面积最大为
【解析】（1）延长RP交AB于M，设，
则，，
，．
∴
，．
（2）设，
∵，知，，
∴．
∴当，即时，有最大值．
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为平方米．
20．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）函数有意义，有，即，
解得，，
所以函数的定义域为．
（2）当时，，
则，，，
所以的值域是．
（3）由（2）知，，，函数图象对称轴，
而，当，即时，显然，
因为任意，总存在唯一的，使得成立，
则必有，解得或，显然无解，
当，即或时，函数在上单调递减，，
因为任意，总存在唯一的，使得成立，则，
于是得，解得或，满足或，因此或，所以a的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）12；（3）．
【解析】由题意可知，函数的最小正周期为，∴．
因为函数的一条对称轴，则，
解得，
∵，所以，中的可能取值为、．
若，则，则，不合乎题意，
若，则，则，合乎意
所以，；
（2）由题意知，，作出函数的大致图像，如图，
，因此要使得满足条件
的m最小，须取：
，，，，，，，，，，，
即．
（3）由（1）可知，
所以
，
当时，，∴，所以，
所以，
∴，
∵，∴，则，
由s可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，．