新高考2024年高三数学专题训练一元函数的导数及其应用（解答题篇）含答案

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(1)当时，求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求的取值范围.
2．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)求函数的单调区间
3．已知为函数的导函数，且，求的极值.
4．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围.
5．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)探究：是否存在实数，使得函数在上的最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
6．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，若函数有三个极值点，求的所有极值之和的取值范围.
8．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值.
9．已知函数，.
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
10．已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直．
(1)求l的方程；
(2)求的极值．
11．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
12．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，判断当时函数的单调性；
(2)当时，在恒成立，求的最大值.
13．已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数.
14．若二次函数满足
(1)求的解析式；
(2)若函数，解关于的不等式：.
15．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
16．已知函数．
(1)当时，讨论函数的极值；
(2)若有两个不同的极值点，求t的取值范围．
17．已知函数．
(1)当时，求函数图象在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
18．已知函数.
(1)若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，不等式恒成立，求实数的最小值，并求此时的值.
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)将函数的图象向左平移1个单位长度得到函数的图象，若存在和为2的正实数和，且，使得，求实数a的取值范围．
20．已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
21．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
22．设函数，其中.
(1)若，讨论在上的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
23．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的最小值.
24．已知函数，其中.
(1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，；
(2)若有三个零点，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
参考答案：
1．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间；
（2）利用导数得到对任意的，在单调递减，在单调递增，将问题转化为，构造函数，研究其单调性及最值，可求出的取值范围．
【详解】（1）当时定义域为，
则，令，则，
所以单调递增，又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
．
若，则当时，，；
当时，，．
若，则当时，，；
当时，，．
所以在单调递减，在单调递增．
所以对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值.
所以对于任意，的充要条件是：，即①，
设函数，则.
当时，；当时，.
故在单调递减，在单调递增.
又，，
故当时，.
即当时，，，即①式成立.
当时，由的单调性，，即；
当时，，即.
综上，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为
【分析】（1）求出，求导，得到，从而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间.
【详解】（1），
，，
故在点处的切线方程为，
即；
（2）的定义域为R，
，
令，解得或，
令，解得，
故单调递增区间为，，单调递减区间为.
3．极小值为，无极大值
【分析】在等式中，令可求得的值，在等式两边求导，令可求得的值，可得出函数的解析式，再利用导数可求得函数的极值.
【详解】因为，则，解得，
因为，可得，
所以，则，可得，
由，可得；由，可得.
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
4．(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）由题设，讨论、，结合对应的定义域及其导数符号判断单调性；
（3）问题化为在在有两个不同根，利用导数研究右侧的值域范围，即可得参数范围.
【详解】（1）由题设，则，故，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）由，
当，定义域为，此时，故，即在上递减；
当，定义域为，
若，则，在上递增；
若，则，在上递减；
（3）由题设，，故在有两个不同零点，
所以在在有两个不同根，
令，则，
在，则，在上递减，
在，则，在上递增，且，
趋向于0或时都趋向于，故只需，满足题设.
5．(1)见解析；
(2)存在实数，理由见解析.
【分析】（1）根据导函数分析原函数的增减性即可，注意参数的讨论：①当时、②当时，讨论两根，的大小，②当时，讨论两根，的大小，从而对比定义域，判断函数的增减性；
（2）对进行导函数的分析，分为导函数的零点在所给区间内和不在区间内，对的增减性进行判断，从而确定函数的最小值，最终得到的值；
【详解】（1）因为函数，所以定义域为：.
，
当时，，则在区间上单调递增；
当时，，即，，
所以方程有两个实数根，.
①当时，，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
②当时，，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）因为，则，所以的定义域为.
，令，则.
若时，在区间单调递增，没有最小值，不符合题意，舍去；
若时，在区间单调递减，区间单调递增，
此时最小值为，则，不在范围内，舍去；
若时，在区间单调递减，
此时最小值为，则；
所以，存在实数，使得函数在上的最小值为2.
6．(1)单调递增区间为，无单调递减区间
(2)
【分析】（1）由题意对求导得，进一步令，通过对求导来研究的单调区间以及符号情况，进一步来得到的单调区间.
（2）将原问题等价转换为在上恒成立，令，首先注意到，故自然想到若在上单调递增满足题意，由此对实数分类讨论即可.
【详解】（1）的定义域为，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，所以恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）因为在上恒成立，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则，
令，则.
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
所以，即恒成立，所以在上单调递增，
所以在上，，即在上恒成立；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，，所以，即，
又，
所以时，，函数单调递减，
又，故时，，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是要连续求导，来研究函数单调区间，第二问的关键是首先要等价转换恒成立问题，进一步要找到那个分类讨论的临界点即.
7．(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)求导，，对a分类讨论进行求解；
(2) ，，则，结合题设可得方程有两个根，设为，，且，则在，上单调递减，在，上单调递增，故当时，有三个极值点，其中，即可求解.
【详解】（1）解：，
当时，令，得，
当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
当时，，在上单调递增.
综上知，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增.
（2），，，
显然，是方程的一个根.
令，则有两个异于1的实数根，
而，的解为，
当，即时，，在上单调递增，不符合题意，故舍去；
当，即时，在单调递减，在单调递增.
若有两个零点，则，解得.
因为，，，
所以方程有两个根，设为，，且，
∴在，上单调递减，在，上单调递增，
故当时，有三个极值点，其中.
由，得，同理，
又因为，
所以
，
令，，
则，所以在上单调递增，
时，，，
所以，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
8．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）令，求导，判断的单调性，从而结合零点存在定理判断的单调性，即可求得答案.
【详解】（1），，
，，所求切线方程为，即.
（2）令，则，
当时，，在上单调递增.
又，，，使得.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又，，.
9．(1)极小值为，无极大值
(2).
【分析】（1）求出，由、可得答案；
（2）转化为对任意的恒成立，令，求得，令，利用导数可判断在上单调递减，且存在唯一的零点使得，可得在上单调递增，在上单调递减，再由可得答案.
【详解】（1）若，则，所以，
令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的极小值为，无极大值.
（2）若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，所以，
令，则，
所以在上单调递减，因为，，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，
即，
两边取对数可得，即，
因为函数在上单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为.
【点睛】关键点睛：1.对于利用导数研究函数问题，当一次求导不能解决问题的时候，我们需要进行二次求导来研究函数性质；
2.对于导函数的零点我们无法求出时，我们可以应用零点存在性定理，找到零点所在去区间，然后设出零点，进而可以写出函数的单调性.
10．(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）由（1）得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值.
【详解】（1）解：由函数，可得，
因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直，
可得，解得，所以
又因为，
故所求切线方程为，即．
（2）解：由（1）可知，，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，
故的极大值为，
极小值为．
11．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，解不等式，得到单调区间；
（2）参变分离，即，构造函数，求导，结合函数特殊值得到其单调性，的最小值为，求出答案.
【详解】（1）当时，，
则，
其中恒成立，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）.由，可得.
令，则.
令，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以.
所以，在上单调递增.
所以当时，的最小值为，所以.
故实数的取值范围是.
【点睛】分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
12．(1)在上单调递增
(2)
【分析】（1）根据切线求得，然后利用导数求得的单调区间.
（2）利用分离常数法化简不等式，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】（1），，
若曲线在点处的切线方程为，则，
此时，
当时，，所以，
所以在上单调递增.
（2）当时，，不等式，即，
试题在区间上恒成立.
设，，
，所以在上单调递增，
，
所以存在，使得，
所以在上单调递减；在上单调递增，
，
，所以，
而，所以，所以的最大值为.
【点睛】求解切线有关问题，关键点有3个，第一个是要判断已知点是在曲线上还是在曲线外；第二个是切点的坐标，切点既在曲线上，也在切线上；第三个斜率，斜率可利用导数求得，也可以利用直线上两点坐标来求得.
13．(1)
(2)当时，有两个零点；当时，有一个零点.
【分析】（1）根据题意，转化为时，；时，，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解；
（2）法一：由（1）可知，当和时，有一个零点；当时，得到，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使得，根据的单调性，转化为时，存在，使得，分类讨论，即可求解；
法二：根据题意，转化为时，，令，利用导数求得函数的单调性与极值，结合函数图象，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得对恒成立，
当时，显然成立；当时，；当时，，
令，则，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
当时，可得，当时，，
所以当时，；当时，，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）法一：由（1）可知，当时，有一个零点；
当时，在上单调递增，当x趋于0时，趋于负无穷大，且，故只有一个零点.
当时，.令，则，
时，；时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，.
当x趋于0时，因为趋于0，所以趋于正无穷大，
又因为，所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，所以当时，在只有一个零点；
当时，在上单调递减，，
且x趋于正无穷大时，，所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又当x趋于0时，趋于负无穷大，，
所以当时，，当时，.
故当时，无论k为何值，取，总能有，
所以当时，有两个零点，
综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点.
法二：由题意，可得，故当时，.
令，则，
所以在上单调递减，在上也单调递减，且当x大于0且趋于0时，趋于正无穷大，当x小于e且趋于e时，趋于负无穷大，当x大于e且趋于e时，趋于正无穷大，当x趋于正无穷大时，趋于0，
其大致图象，如图所示，
由图象可知，当时，有两个零点；当时，有一个零点.
【点睛】方法策略：利用导数研究函数的零点问题的求解策略：
1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；
2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；
3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.
14．(1)
(2)
【分析】（1），根据可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：设，
则
，
所以，，解得，故.
（2）解：函数的定义域为，
且，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故对任意的，，
所以，函数在上为减函数，
由可得，解得或，
因此，不等式的解集为.
15．(1)
(2)．
【分析】（1）首先对原函数求导，方法一：通过讨论a的范围得到函数的单调区间，只需要极值点在区间内即可求出a的范围；方法二：求出函数恒单调时a的取值范围，取其补集即可；
（2）原不等式整理后可得在上恒成立，构造新函数，，通过二次求导结合分类讨论思想即可得到答案.
【详解】（1）方法一 由，得．
若，则恒成立，为增函数，不符合题意．
若，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在区间上不是单调函数，所以，
所以，所以．
方法二 由，得．
若在区间上是单调函数，
则或在上恒成立．
若在上恒成立，则在上恒成立，所以．
若在上恒成立，则在上恒成立，所以．
所以若在区间上不是单调函数，则．
（2）当时，，即，
整理得在上恒成立．
令，，则．
令，则．
因为，所以，所以在上为增函数，
所以在上为增函数．
所以．
所以．
当，即时，恒成立，所以在上为增函数，
所以，即恒成立．
当，即时，因为在上单调递增，所以，使得．
即当时，，当时，．
又因为，所以在上不恒成立．
综上可知，的取值范围是．
【点睛】第二问转化为在上恒成立，其实只要注意到，必有成立，可以得到这个必要条件，然后再论证是满足题意也是可行的.
16．(1)的极小值为，无极大值．
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性和极值；
（2）根据题意可得有两个不同的变号零点，整理得，设函数，结合单调性可知直线与曲线有两个不同的交点，利用导数判断原函数单调性和极值，进而根据交点分析求解.
【详解】（1）当时，，则的定义域为，且，
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
所以的极小值为，无极大值．
（2）由题意可知：，则，
因为有两个不同的极值点，则函数有两个不同的变号零点，
可知方程有两个不等实根，
此方程可变形为，即．
设函数，则，
又因为在内单调递增，则在内单调递增，
可得，即．
设，则直线与曲线有两个不同的交点，
可知的定义域为，且，
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
则，当时，，当时，，
若直线与曲线有两个不同的交点，则，
故t的取值范围为．
【点睛】结论点睛：与和相关的常见同构模型
①，构造函数，
，构造函数；
②，构造函数，
，构造函数；
③，构造函数，
，构造函数．
17．(1)
(2)答案见解析
(3)存在，．
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；
（2）含参数的单调性讨论，先求导，再解含参数的不等式，判断导数正负即可判断单调性；
（3）假设存在，将不等式变形，构造函数，再分离参数，求最值即可.
【详解】（1）
当时，，
∴所求的切线方程为，
即．
（2）①当，即时，
在上单调递增．
②当，即时，
或时，;
时，，
在上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，
或时，；
时，在上单调递增，在上单调递减
（3）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设．
由知成立，
令，
则函数在上单调递增，
，
即在上恒成立．
，故存在这样的实数a满足题意，
其范围为．
【点睛】本题考查利用导数的意义；导数与单调性；恒成立等问题.小问（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；小问（2）含参数的单调性讨论，先求导，再解含参数的不等式，判断导数正负即可判断单调性；小问（3）假设存在，将不等式变形，构造函数，再分离参数，求最值即可.
18．(1)
(2)的最小值为，
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得有两个不等的正根，，则，即可求出参数的取值范围；
（2）首先得到，问题即恒成立，令，即对恒成立，同构得到对恒成立，令，即可得到，再利用导数求出，即可求出的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
且，
因为函数存在两个不同的极值点，，
所以有两个不等的正根，，
所以，解得，故实数的取值范围为.
（2）因为
，
又不等式恒成立，
∴恒成立，令，∴，
∴对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，则在上单调递增，
由，所以，则，
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
∴，∴，∴的最小值为，
此时，则.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）求导得到，再分，讨论求解；
（2）易得，由，得到，再结合，得到，令，得到，转化为函数在区间上有零点求解.
【详解】（1）解：由题意知函数的定义域为，
．
若，则，在上单调递减；
若，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，若，则在上单调递减；
若，则在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意知，，
由，得，即，
将代入得，
即．
令，，
转化为函数在区间上有零点，
，其中，
函数的对称轴方程为，
若，则恒成立，在区间上单调递减，
又，所以，故在区间上无零点；
若，则在上有一个实数根，
所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，又，得．
下面证明函数在减区间上存在零点，
考虑中含参数，
取，则，
当时，，则，
令，则，
令，
当时，，
所以函数在上为减函数．
因为，所以恒成立，
所以为上的减函数，
所以，
又，所以，
所以函数在减区间上存在零点．
综上所述，，
故实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过对数运算将，转化为，然后令，转化为的零点问题而得解.
20．(1)12
(2)
【分析】（1）直接求导代入得到，再验证即可；
（2）计算出，，再比较两者大小即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是函数函数的极值点，
所以，
，此时，
所以在上，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，
故所求的值为12.
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
因为，所以，所以，所以的取值范围.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
22．(1)单调递增
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，结合三角函数性质，判断导数正负，即可得结论；
（2）求出函数的导数，构造函数再次求导，根据其结构特征，讨论或或时的导数正负情况，判断函数单调性，判断不等式是否恒成立，即可得答案.
【详解】（1）当时，，，
令，则，，
故在上单调递增，则，
故在上单调递增.
（2）设，，
，
设，
则，
当时，由，
知在上单调递减，故，
故在上单调递减，则，即，满足题意；
当时，对于，，
取，当时，，
则在上单调递增，故，
故在上单调递增，则，即，不满足题意；
当时，对于，，
故在上单调递增，则，即，不满足题意；
综上可知，仅当当时，符合题意，
故实数的取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题考查了导数的应用问题，综合性强，难点在于根据不等式求解参数范围，解答时要根据函数的结构特征，多次构造函数，利用导数判断函数的单调性，同时解答时要注意分类讨论的方法的应用.
23．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可得出原函数的增减性；
（2）等价变形，构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，即可求出最值.
【详解】（1）因为定义域为，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）因为，所以，
所以，即
令，则有，
设，则，由得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，又因为，
所以，当且仅当时等号成立
所以，从而，所以原式
设，则，由得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以所求最小值为.
24．(1)，证明见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线方程得到，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证；
（2）（i）根据题意得到，令，求得，令，结合二次函数的性质，求得
，设两个零点为和，得出的单调性，得到，，结合，，得出函数零点的个数，求得实数的范围；
（ii）由（i）中，转化为证明，进而转化为，令，利用导数求得在上单调递增，得到，得出，进而得到，化简得到，进而证得.
【详解】（1）解：由函数，可得，
且，则，
可得切线方程为
所以，所以，
令，则，
所以在单调递增，因此当时，，
又因为，所以当时，.
（2）解：（i）由等价于，
令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点，
又由，令，
当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意；
当时，由题意，首先在上有两个零点，
故，解得，
设两个零点为和，有，，故可知，均大于0，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，，，
又因为，，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，又1为的一个零点，
所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点，
综上，实数的取值范围是.
（ii）由（i）中，由，
由此可得.要想证明，
只需证明，而，
因此只需要证明当时，，
令，，
可得，故在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，即，
两边同时除以，由，有，
即.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.