2024届高三数学二轮复习热点1-8平面向量（考点九大题型）讲义

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【考题归纳】
核心考点题型一 向量共线问题
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【例题2】（2023春·江苏宿迁泗阳中学校考）（多选）设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则B．若，则
C．存在，使D．若，则
【例题3】．（2023·银川一中高三检测）P是所在平面内一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】．（2022•全国高考真题）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2023·河南安阳高三模拟）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______
【变式1-3】．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
核心考点题型二 平面向量基本定理
【例题1】．（2023·江苏徐州统考模拟预测）在中，，，则
A．B．
C．D．
【例题2】（2023·云南大理高三校考）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A．B．C．D．
【变式2-1】．（2022•全国新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
【变式2-2】．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】．（2023秋·河南洛阳高三模拟）如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______.
核心考点题型三 平面向量的数量积
【例题1】．（2023·山西太原市第一中学校校考模拟预测）已知菱形的边长为2，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【例题2】．（2023·陕西榆林高三检测）在边长为6的正中，若点满足，则__________.
【例题3】（2024•辽宁大连模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【变式3-1】．（2023春·海南·高三海南中学校考）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．12D．72
【变式3-2】．（2023·江西婺源统考二模）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（ ）
A．B．－1C．D．
【变式3-3】．（2023秋·山东青岛高三校考）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（ ）
A．3B．C．D．4
核心考点题型四 向量的模长问题
【例题1】．（2023·甘肃天水统考模拟预测）已知向量的夹角为，，则（ ）
A．B．C．D．7
【例题2】．（2023秋·贵州贵阳高三校联考）已知，，若，则______．
【例题3】．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．
【变式4-1】．（2023秋·湖南高三统考）已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．3
【变式4-2】．（2023·云南玉溪统考一模）已知向量，，若，则________．
【变式4-3】．（2023•全国新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
【变式4-4】．（2023秋·河北保定高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A．B．C．D．
核心考点题型五 向量的夹角
【例题1】．（2023·陕西汉中联考模拟预测）若平面向量，满足，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】．（2024·四川绵阳高三模拟）已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【例题3】．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．
【变式5-1】．（2023•全国甲卷）向量，，且，则，
A．B．C．D．
【变式5-2】．（2024·山西太原校联考一模）已知向量，，定义，则______．
核心考点题型六 平面向量的的投影及投影向量
【例题1】．（2023秋·四川广元高三质检）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影为（ ）
A．2B．4C．-2D．-4
【例题2】．（2023·黑龙江齐齐哈尔市第三高级中学校考三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .
【变式6-1】．（2023秋·河南安阳统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.
【变式6-2】．（2023·山东济南联考模拟预测）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】．（2024•甘肃白银模拟）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 ．
核心考点题型七 平面向量的范围与最值问题
【例题1】．（2023·浙山西大同模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．
【例题2】．（2023.江西南昌高考模拟）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
【变式7-1】．（2023·山西太原高三模拟）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【变式7-2】．（2023·湖南长沙高三模拟）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】．（2023·四川绵阳高三专题检测）已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.
核心考点题型八 平面向量与三角形的“四心”问题
【例题1】．（2023·四川成都高三模拟）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
【例题2】．（2023·云南昆明高三模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【变式8-1】（2023秋·山东烟台高三联考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【变式8-2】．（2023秋·陕西西安高三联考）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【变式8-3】．（2023·湖北武汉高三模拟）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
核心考点题型九 平面向量的综合应用
【例题1】（2023·江苏镇江高三模拟）（多选）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A．面积的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【例题2】．（2023·山西运城统考三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.
【变式9-1】．（2023·山东烟台高三检测）已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．D．2