2024届高三数学二轮复习热点1-9等差、等比数列（考点九大题型）讲义

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1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现。
2.数列的通项和求和也是高考热点，以大题形式出现，难度中档。
【题型归纳】
核心考点题型一 判断（证明）等差（等比）数列
【例题1】（2023秋·四川绵阳高三期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例题2】（2023·河南开封统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列D．是等比数列
【例题3】．（2023·山西太原第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.
【例题4】．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【变式1-1】．（2023·山东德州·高三期末）（多选）定义在区间上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2023秋·重庆市天星桥中学一模）（多选）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递减数列
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【变式1-3】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【变式1-4】（2023秋·江苏扬州高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列前n项和．
【变式1-5】（2023·重庆八中校考模拟预测）已知数列的前项和为.
（1）若是等比数列，求；
（2）若，证明：均为等比数列.
核心考点题型二 等差、等比数列的通项公式
【例题1】．（2023·云南曲靖高三模拟）已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【例题2】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【例题3】．（2023·河南洛阳高三检测）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】．（2023·江西九江高三模拟）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．2nC．D．
【变式2-2】．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】．（2023·甘肃白银高三模拟）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
【变式2-4】．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A．B．C．D．
核心考点题型三 等差、等比数列中项
【例题1】．（2023·陕西榆林高三模拟）在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A．B．1C．2D．
【例题2】（2023·广西河池·模拟预测）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】．（2022·湖南长沙三模拟）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2023·四川成都高三联考）已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．
核心考点题型四 等差、等比数列的性质（下标定理）
【例题1】．（2023·陕西宝鸡高三专题检测）已知等差数列中，，，则等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【例题2】．（2023·安徽安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【变式4-1】．（2023秋·江苏徐州高三模拟）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则___________.
【变式4-2】（2023秋·陕西·长安一中检测）设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则___________.
【变式4-3】．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3B．12C．18D．24
核心考点题型五 等差、等比数列的单调性
【例题1】．（2023·河北石家庄高三检测）已知数列，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则为递减数列
B．若，，，则为等比数列
C．若等比数列的公比，，则为递减数列
D．若的前n项和为，，则为等差数列
【例题2】．（2023·河北·石家庄二中模拟预测）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最小项为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
【变式5-1】．（2023·江苏无锡高三专题检测）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2023·河南洛阳高三模拟）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9 B．10 C．18D．19
核心考点题型六 等差、等比数列的前n项和
【例题1】．（2023·云南曲靖高三专题检测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33B．66C．22D．44
【例题2】．（2023·河南安阳高三检测）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
【例题3】．（2022·四川绵阳·高二单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
【变式6-1】．（2023·山西太原高三专题检测）设等比数列的前n项和为，若，，则
A．144B．81C．45D．63
【变式6-2】（2023·湖北武汉高三检测）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【变式6-3】（2023·河北保定高三检测）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【变式6-4】．（2023·广东珠海高三检测）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.
【变式6-5】．（2023·云南曲靖高三模拟）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-6】（2023·陕西榆林模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【变式6-7】．（2023·云南昆明高三检测）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式6-8】（2023·山西运城高三模拟）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-9】（2023春·河北石家庄开学考试）已知为等差数列，，则（ ）
A．的公差为2B．的公差为3
C．的前50项和为900D．的前50项和为1300
核心考点题型七 含取整符号的等差数列的前n项和
【例题1】．（2023秋·甘肃西北师大附中校考期中）等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000B．2445C．1893D．500500
【变式7-1】．（2023秋·黑龙江哈尔滨一中校考期中）为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则___________.
【变式7-2】．（2023秋·山东济南联考）已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
核心考点题型八 等差、等比数列与数学文化
【例题1】（2023秋·江苏南通高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
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【例题2】（2023·山西太原第一中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【变式8-1】（2023·新疆乌鲁木齐统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【变式8-2】（2023秋·山东烟台高三模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【变式8-3】（2023秋·福建宁德高三校考期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型九 等差、等比数列与其他知识的交汇
【例题1】．（2023·辽宁鞍山模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】．（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
【变式9-1】．（2023·吉林辽源高三模拟）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】．（2023·河南郑州校联考二模）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．
【变式9-3】（2023·浙江金华高三模拟）已知数列的各项均为正数,点在拋物线上,则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．