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2024届高三数学二轮复习热点2-3指数函数、对数函数与幂函数(考点八大题型)讲义
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【考情透析】
指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位,从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推论,能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
【考题总结】
核心考点题型一 指数幂与对数式的化简求值
【例题1】(2023·四川成都·校联考模拟预测)若a-1-a1=4, 则a-2+a2的值为( )
A.8B.16C.2D.18
【例题2】(2022·全国·河南安阳市第二中学校联考、)若,,则______.
【变式1-1】(2023·天津河西·统考一模)已知3a=4b=m, 1a+12b=2,则m的值为( )
A.36B.6C.6D.46
【变式1-2】(2023秋·河南商丘·辽宁沈阳高三校联考)若函数(,且),则( )
A.1010 B.1011 C.2022 D.2023
【变式1-3】(2023秋·云南昆明高三校考)已知,,且,则的最小值为______.
核心考点题型二 指对幂函数的定义与解析式
【例题1】(2023·四川绵阳高三专题检测)函数是以a为底数的对数函数,则等于
A.3 B. C. D.
【例题2】(2023上·吉林长春·高三校考)函数y=a2-5a+7ax+6-2a是指数函数,则有( )
A.a=2或a=3B.a=3
C.a=2D.a>2,且a≠3
【例题3】(2023秋·陕西汉中高三校联考期中)已知函数是幂函数,且在上递减,则实数( )
A. B.或 C. D.
【变式2-1】(2023秋·山西运城统考一模)若对数函数且)的图象经过点,则实数______.
【变式2-2】.(2023·北京·高三检测)已知幂函数是偶函数,在上递增的,且满足.请写出一个满足条件的的值,__________.
【变式2-3】.(2023秋·江苏·金陵中学模拟预测)已知是正实数,函数的图象经过点,则的最小值为( )
A.B.9C.D.2
核心考点题型三 指对幂函数的定义域与值域
【例题1】.(2023秋·海南高三模拟)下面关于函数的性质,说法正确的是( )
A.的定义域为B.的值域为
C.在定义域上单调递减D.点是图象的对称中心
【例题2】(2023·山东济南一中校考模拟预测)若函数()的值域是,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例题3】(2023秋·山西大同高三校考检测)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:.已知函数,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
【变式3-1】(2023秋·四川宜宾高三校考检测)若函数的定义域为,则的取值范围是______.
【变式3-2】(2023上·江西吉安高三校考)已知函数fx=3x-2,x⩽1,x12,1
【变式3-3】(2022秋·江西宜春丰城中学校考)已知是对数函数,并且它的图像过点,,其中.
(1)当时,求在上的最大值与最小值;
(2)求在上的最小值.
核心考点题型四 指对幂函数的图像及其应用
【例题1】(2023秋·云南大理高三校联考)函数,,的图象如图所示,则,,的图象所对应的编号依次为( )
A.①②③ B.③①② C.③②① D.①③②
【例题2】(2023•湖南长沙高三校级模拟)在图中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(ab)x的图象只可为( )
A. B. C. D.
【例题3】(2024上·江西九江高三模拟)如图所示是函数y=xmn(m、n∈N*且互质)的图象,则( )
A.m,n是奇数且mn<1B.m是偶数,n是奇数,且mn<1
C.m是偶数,n是奇数,且mn>1D.m,n是偶数,且mn>1
【变式4-1】(2021春•开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )
A.B.
C.D.
【变式4-2】(2023秋·辽宁盘锦高三校考)已知幂函数在上单调递减,则的图象过定点( )
A. B. C. D.
【变式4-3】(2023·河北唐山统考一模)函数的大致图像如图,则实数a,b的取值只可能是( )
A. B. C. D.
核心考点题型五 指对幂函数的单调性
【例题1】(2023秋·吉林四平高三统考期中)下列函数中,在区间0,+∞上单调递减的是( )
A.y=lg2xB.y=2-xC.y=x+1D.y=x3
【例题2】(2023秋·广西南宁高三开学考试)若(且)在R上为增函数,则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
【变式5-1】.(2023秋·陕西榆林一模)幂函数在上单调递增,在上单调递减,能够使是奇函数的一组整数m,n的值依次是________.
【变式5-2】(2023·全国·高三专题练习)若函数(且)在区间上单调递增,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式5-3】(2023·吉林·东北师大附中模拟预测(理))已知函数在上为减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C.D.
【变式5-4】.(2023·河北石家庄·模拟预测)已知函数是偶函数,则( )
A.B.在上是单调函数
C.的最小值为1D.方程有两个不相等的实数根
核心考点题型六 指对幂比较大小
【例题1】.(2023·四川泸州高三模拟预测)设,则的大小关系是( )
A.B.C.D.
【例题2】.(2023·山东烟台高三模拟)已知,,,则,,的大小顺序是( )
A.B.C.D.
【例题3】.(2023·山西太原高三模拟)均为正实数,且,,,则的大小顺序为
A.B.C.D.
【例题4】.(2024·甘肃兰州高三模拟)已知,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C.D.
【变式6-1】.若,,,,则a,b,c,d的大小关系是( )
A. B. C.D.
【变式6-2】.(2023·云南大理高三模拟)已知,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C.D.
【变式6-3】(2023·河南开封第一中学校考一模)已知是定义在上的偶函数,且在是增函数,记,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【变式6-4】(2023秋·江苏扬州高三校联考)已知,,,则( )
A. B. C. D.
核心考点题型七 指对幂不等式
【例题1】.(2023·江苏泰州高三检测)若,则实数a的取值范围为( )
A. B. C.D.
【例题2】.(2023上·河北石家庄精英中学高三校考)若不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【例题3】.(2024上·重庆九龙坡·高三检测)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若方程只有一个解,求的取值范围.
【变式7-1】.(2024上·四川眉山·高三统考期末)已知函数,不等式恒成立,则a的取值范围为( )
A. B. C.D.
【变式7-2】.(2023上·湖北宜昌·高三校联考期中)若实数,满足,则( )
A.B.C.D.
【变式7-3】.(2024上·广西桂林·高三统考期末)已知函数.
(1)当时,解不等式;(2)若的最大值是,求的值;
(3)已知,,当的定义域为时,的值域为,求实数的取值范围.
核心考点题型八 指对幂的综合问题
【例题1】.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数值域为 B.函数是增函数
C.不等式的解集为
D.
【例题2】.(2024上·江苏徐州·高三统考期末)已知函数,若,,,则( )
A.B.
C.D.
【例题3】.(2023上·新疆乌鲁木齐市第二十三中学校考)已知函数,若关于的函数有8个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【变式8-1】.(2024上·北京石景山·高三统考期末)设函数,则是( )
A.偶函数,且在区间单调递增 B.奇函数,且在区间单调递减
C.偶函数,且在区间单调递增 D.奇函数,且在区间单调递减
【变式8-2】.(2024上·北京通州·高三统考期末)已知函数,实数满足.若对任意的,总有不等式成立,则的最大值为( )
A.B.C.4D.6
【变式8-3】.(2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末)已知函数,若函数有4个零点,且其4个零点,,,成等差数列,则( )
A.函数是偶函数B.
C.D.
【变式8-4】.(2024上·重庆南开中学高二校考期末)已知定义在上的函数.
(1)当时,解关于的不等式:;
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点,求实数的取值范围.
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