2024年浙江省宁波市中考数学模拟练习试卷解析

这是一份2024年浙江省宁波市中考数学模拟练习试卷解析，共36页。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是 （ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从上面看，图形有2行，第一行有2个正方形，左下方有1个正方体，
故选：B．
2 .杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，
最高有人同时在线上参与活动． 将数字用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：,
故选：D．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加法及除法运算、完全平方公式及积的乘方，利用整式的加法及除法运算、完全平方公式及积的乘方的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、不是同类项，不能进行合并，则错误，故不符合题意；
B、，则错误，故不符合题意；
C、，则错误，故不符合题意；
D、，则正确，故符合题意；
故选D．
4. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．20、15B．20、17.5C．20、20D．15、15
【答案】B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据.
【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元;
30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故选B.
5 .如图，有圆O，内部有四边形，连接和，已知是的角平分线，
则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，由圆内接四边形的性质，得到，求出，由角平分线的定义得到，而，推出是等边三角形，因此，关键是由圆内接四边形的性质求出．
【详解】
解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
．
故选：B．
6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故选：B．
7. “圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，，米，测得某地夏至正午时“表”的影长米，冬至时的正午太阳高度角，则夏至到冬至，影长差的长为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据题意，利用正切函数求出的长，则影长差，即可求解．
【详解】解：中，米，，
∵，
∴（米），
∴米，
故选：D．
如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，
其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）

A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值．
【详解】
过点P作轴于点E， 如图所示：

依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B
已知锐角∠AOB如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
【答案】D
【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
10 .由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．
连结并延长交于点，若是中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解全等三角形的性质，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，勾股定理求线段的长的方法是解题的关键．
根据题意，设，则正方形的边长为，，在中，，在中，，，再根据，即可求解．
【详解】解：设，
∴根据题意得，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
∴，
∵四个三角形全等，且是正方形，
∴，
∴在中，，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，即，
∴，
两边平方得，，
∴
令，则，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A ．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11.分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
12. 在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，
从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是________．
【答案】
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有2种情况，
∴摸到的两个球都是红球的概率为：＝．
故答案是：．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
14. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，
若米，则点到直线距离为_________

【答案】米
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，
根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故答案为 米
15 .某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，
已知,，则_____________（结果用含,代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，在根据正切的定义可得，在根据全等三角形的性质可得，，则，进而得到；在根据相似三角形的性质可得，，进而得到，即可得，最后代入即可解答．
【详解】解：由图形变换可知，在图2中，四边形为矩形，,
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∵,
∴,即：，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解不等式组、整式的混合运算，正确求解是解题关键．
（1）根据完全平方式和合并同类项法则即可求解；
（2）先求出每个不等式的解，再取公共部分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：．
18 .已知： 如图，在中，点，分别在，上，且平分．
若，连结．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质．
先证明四边形平行四边形，再利用等角对等边证明，
即可证明四边形是菱形．
【详解】证明：∵四边形平行四边形，
∴，，
又，
，
四边形平行四边形，
平分，
∴，
∵，
，
，
，
∴四边形是菱形．
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象
相交于， 两点，点在一次函数的图象上，且．
（1）求证：．
（2）比较与的大小关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
（1）先分别求出，再求出的值即可得到答案；
（2）先求出，再证明即可得到结论．
【小问1详解】
证明：由题意，得，，，
．
【小问2详解】
解：．
，，
，
．
某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图Ⅲ－10①是政府给贫困户新建的房屋，
如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，
为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为37°，
此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，
又测得屋檐E点的仰角为45°，房屋的顶层横梁，，
交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．
（参考数据：，，）
(1)求屋顶到横梁的距离．
(2)求房屋的高（结果精确到1m）．
【答案】(1)屋顶到横梁的距离约为米
(2)房屋的高约为米．
【分析】（1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
（米）；
答：屋顶到横梁的距离约为米；
（2）过作于，
设，

在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，
解得：（米），
∴，
（米），
答：房屋的高约为米．
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，
如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），
需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，
连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，
以为腰作等腰，使，，连接，
判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，
是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，
求正方形的边长．
【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4．
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
如图1，内接于，点为劣弧上一点，满足，
过点作的垂线，垂足为点，交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)求证：；
(4)如图3，若，，用含有的代数式表示．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）设，则，而，得出，
根据等角对等边，即可得证；
连结，连结并延长交于点，根据已知得出，
进而根据正切的定义，即可求解．
在上截取，则．设，
则，且，得出，则，即可得证；
在上截取，则，连接，
根据条件证明，可得，
再证明即可求解．
【详解】（1）证明：设，则，
而，
，
即，
．
（2）如图1，连结，连结并延长交于点，

则，即．
，
，
设，则，
．
，
．
（3）如图2，在上截取，则．

∴
设，则，，，
，
∴
，
．
（4）如图3，在上截取，则，连接．

∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
．
∴，即
设，则，，
∴，
∵
∴，
∴
即．
∴
．
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6