2024年浙江省九年级学业水平考试数学模拟练习试卷解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．在，0，，四个数中，最小的数为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据实数比较大小的方法判断即可．
【详解】解：∵，
∴−2＜＜−1＜0．
故选：A．
2 .直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）

A． B．C． D．
【答案】
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可。
【详解】从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项中的图形符合题意，
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数的幂相除，二次根式的性质与化简，掌握相关的法则是解题的关键．
根据相关的运算法则计算后判定即可．
【详解】A． ，正确，该选项符合题意；
B． ，错误，该选项不符合题意；
C． ，错误，该选项不符合题意；
D． ，错误，该选项不符合题意；
故选：A．
4.如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据题意可得，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，，，
∴四个选项中，只有D选项结论成立，符合题意；
故选：D．
“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，，米，
测得某地夏至正午时“表”的影长米，冬至时的正午太阳高度角，
则夏至到冬至，影长差的长为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据题意，利用正切函数求出的长，则影长差，即可求解．
【详解】解：中，米，，
∵，
∴（米），
∴米，
故选：D．
在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学
担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键．
运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故选：D．
如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，
则OP的长为（ ）
A．3B．4
C．D．
【答案】C
【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【详解】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点．
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3，
∵AB，CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90°
∵，，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==，
故选C．
8．2023年元旦期间，小华和家人到西湖公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15B．16C．17D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，
【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选:．
如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，
以下结论错误的是 （ ）

A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
10如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接，交于点，过点作于点．若，，则的值为（ ）
A．10B．11C．D．
【答案】B
【分析】过点作交的延长线于点，设与交于点，易得，再由和勾股定理求得，的长，推出，根据等腰三角形三线合一，求得，再解直角三角形求得，即可求得的长度．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，设与交于点，
四边形是正方形，是直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
设，，则，
，
，
，
由勾股定理得，，即，
，
解得，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
，，
，
，
，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
12. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，
且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 __ 个．
【答案】10
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为求出x的值即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
13. 已知一次函数的图象经过点和，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，
∴；
故答案为：
14. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是____________

【答案】米
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，
从而可得米，然后在中，
利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故答案为：米
如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，
点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为__________

【答案】5
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，
利用三角形的面积公式，结论可求．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故答案为：5
如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，
点A的坐标为____________．

【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17.（1）计算：．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】（1）2，（2）
解：（1）
．
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，
∴原不等式组的解集为．
18.宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：

(1)本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级；
(2)补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________；
(3)若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数；
(4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)50，B
(2)见解析，36°
(3)320
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出B等级人数，依据中位数的定义可得答案；
（2）根据（1）中所求结果即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案；
（3）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽取的学生人数为（人），
则B等级人数为（人），A等级人数为（人），
成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级，
故答案为：50、B；
（2）补全直方图如下：

扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）（人），
答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
19 .某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【答案】（1）轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米
（2）点B的坐标是，s＝60t－60
（3）小时
【解析】
【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解；
(2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式；
(3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值
【小问1详解】
解：设轿车行驶时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时．
根据题意，得:,
解得x＝2．
则(千米)，
∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．
【小问2详解】
解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，
∴点B的坐标是．
由题意，得点A的坐标为．
设AB所在直线的解析式为，
则：
解得k＝60，b＝－60．
∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60．
【小问3详解】
解：由题意，得，
解得：，
故a的值为小时．
20 . 第19届亚运会”于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，
吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】
（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）
解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，
长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)；
(2)减少了，
【分析】（1）作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于点O．

根据题意有：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴（）；
（2）作于F，于P，于G，于H．
则四边形是矩形，

∵根据（1）求出，，
∴，
∵，
∴，
∴（），（），
∴（），
∴下降高度：（）．
22 .如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．

(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
(2)；
(3)不能．
【分析】
（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可；
【详解】（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
23．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4．
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
23．小明在探究三角形与圆的位置变化关系时，发现图形随着圆的位置变化存在一些特殊的关系．探究过程如下：如图，已知在等腰中，，已知，，点是边上一点，以为半径作，发现：始终与边，边相交，与边的交点记为点．连接，作点关于直线的对称点，连接CC．小明按照以下步骤进行探究：

(1)直接写出的长： ．
(2)设，．
①求y关于x的函数表达式．
②当 时，求的值．
(3)点在边上移动，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)5
(2)①，②
(3)或
【分析】（1）作，垂足为H，得，根据，解三角形即可；
（2）①由，易得，从而证明，可得，即可求出函数解析式；②延长交于于G点，由对称性质可知：，，根据，得，求出此时即可解题；
（3）分两种情况：当时，此时D是中点，当时，解三角形求解即可．
【详解】（1）解：作，垂足为H，

∵在等腰中，，已知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
解得：（负值已以舍去）
故答案为：5．
（2）解：①，，
∴，
∴，
∴，
设，．则，
∴，
∴，
为边上一动点，
；
即
关于的函数关系式为（）；
②延长交于于G点，

由对称性质可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即：
∴
（3）解：点在边上移动，当是以为腰的等腰三角形时，
若当时，
∵
∴，
即当时，，

若当时，过作，
∴，
∵，
∴，
，
由②可得，
∴
∴，，
∴，
∴
在直角中，，
，
解得：，（不合题意舍去）
当时，即，解得．