2024年江西省吉安市吉安县城北中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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中考全部内容
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 比小4的数是（ ）
A. 2B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2. 在下列化学元素符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A
3. 为了练习分式的化简，张老师让同学们在式子和中间加上“”、“”、“”、“”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为，则所加的运算符号为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据乘、除、减、加的运算法则逐一计算即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D
4. 某中学九（1）班的老师为了解全班学生喜欢的球类情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四种球类项目中调查了全班学生的兴趣爱好，并根据调查的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生只能从这四种球类项目中选择一种自己喜欢的球类），下列结论中，正确的个数为（ ）
①九（1）班的学生人数为；②的值为；③表示“足球”的扇形的圆心角的度数是．
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图，理解条形统计图和扇形统计图、正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵由统计图可知，喜欢篮球的人数是人，占，
∴，故①正确，
，故②正确，
表示“足球”的扇形的圆心角的度数，故③错误，
∴正确的有①②这2个，
故选：B．
5. 如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，根据题意找出角度、线段之间的数量关系是解题关键．延长交于点，由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，根据平行线分线段成比例定理，得出，再证明，结合平行线的性质和对顶角，得出，，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，
，，，，
是的中点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
故选：C
6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点（点在点左侧），平移该抛物线，使点平移后的对应点落在原抛物线的对称轴上，点平移后的对应点落在直线上，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，掌握平移的规律是解题关键．先对抛物线配方，进而得到对称轴为直线，点的坐标为，点的坐标为，由平移的性质可知，点与点的纵坐标相等，且，进而得到点的坐标为，从而得到抛物线的平移方式，得出平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：，
抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得，．
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
由平移的性质可知，点与点的纵坐标相等，且．
由题意可知点的横坐标为1，
点的横坐标为5．
又点落在直线上，
点的坐标为，
需将原抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，
平移后的抛物线的解析式为．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 随着昌景黄高铁的开通，江西省11个设区市全部迈入“高铁时代”，江西省的高铁里程再增加200.3千米，达到2286.3千米，数据2286.3千米用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据2286.3千米用科学记数法表示为米．
故答案为：．
9. 如图，直线，被直线所截，若，则图中除外，与相等的角有______个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可解答．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【详解】解：如图，
∵，
∴，，
∵和是对顶角，
∴，
∴图中除外，与相等的角有，，，共有个，
故答案为：．
10. 定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据新定义得到，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，
∴，
解得.
故答案为：.
11. 将一把直尺与纸片按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，分别与直尺的另一边交于点，若点分别与直尺上的刻度，，5，7对应，直尺的宽为，则点到边的距离为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.由题意可得：，然后作于点G，交于点H，如图，证明，根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：由题意可得：，
作于点G，交于点H，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
即点到边的距离为，
故答案为：1.
12. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，已知点A，B，C，D均在格点上，且点C，D不重合，，则长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用格点的特征作图，然后结合勾股定理分析求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，属于中考常考题型，理解格点的特征，掌握勾股定理是解题关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，，，．求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的加减运算，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，再计算加减法即可；
（2）由已知得出，再利用“”证明即可．
【详解】（1）解：
．
（2）证明：，
，即．
在和中，
，
．
14. 小贤、小艺两位同学合作学习解一元一次不等式组，要求两位同学分别给出一个关于的不等式．
小贤：我写的不等式的解集为．
小艺：我给出的不等式在求解过程中需要去分母．
（1）请你填写符合上述条件的不等式：
小贤：______；小艺：______．
（2）将填写的两个不等式列成不等式组，解此不等式组并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据要求写出不等式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【小问1详解】
解：解集为的不等式为：，
在求解过程中需要去分母的不等式为：，
故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为．
不等式组的解集在数轴上的表示如图所示．
15. 如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中的上找一点，连接，使得．
（2）在图2中的上找一点，连接，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，由菱形的性质得到为的中点，则是的中位线，即可得出；
（2）连接、交于点，连接并延长，交于点，证明，即可推出．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作；

连接、交于点，连接并延长，交于点，
四边形是菱形，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
即．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质正确作图是解题关键．
16. 某市开展“弘扬家风家教，创建文明家庭”系列活动，某校团委积极响应，为宣传活动招募学生宣传员，八年级（1）、（2）班共有六名学生报名，其中八（1）班两名男生、一名女生，八（2）班一名男生、两名女生．
（1）现从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，抽取的学生是女生的概率是______．
（2）现从八年级（1）、（2）班各随机抽取一名学生作为宣传员，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生是一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两名学生是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解题的关键熟练掌握概率公式：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率．
【小问1详解】
解：∵从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，共有种等可能的结果，其中抽取的一名学生是女生的结果有种，
∴抽取学生是女生的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知共有种等可能的结果，其中抽取的两名学生是一男一女的结果数为种，
∴（抽取的两名学生是一男一女），
∴抽取的两名学生是一男一女的概率为．
17. 赣南脐橙被列为国家地理标志产品，其主产地江西赣州属山地丘陵地貌，重峦叠嶂的丘陵构筑了赣州如画的美景，脐橙则是这幅山水画卷中颇为明艳的一抹亮色．赣州当地湿润的气候、充足的阳光和深厚的土层，共同构建了脐橙种植的“黄金产区”，孕育出芳香甘美、饱满多汁的口感．现有甲、乙两家水果店经销同一包装、品质完全相同的赣南脐橙，销售价格如下表：
某客户计划在甲、乙两家水果店中任意选择一家购买赣南脐橙．
（1）请分别写出该客户在甲、乙水果店购买赣南脐橙的总费用（元）与（箱）之间的函数关系式．
（2）若该客户计划用360元购买赣南脐橙，则该客户应选择在哪一家购买，可使购买的赣南脐橙更多？
【答案】（1）当时，，当时，，
（2）甲水果店
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答．
（1）根据购买方案列出函数关系式即可；
（2）可令，分别代入甲水果店和乙水果店的函数表达式中求出对应的的值，通过比较两种情况下的大小关系，选择较大的即可．
【小问1详解】
解：甲水果店：当时，，
当时，，
乙水果店：．
【小问2详解】
当在甲水果店购买时，
，，
购买的水果超过了6箱．
令，解得；
当在乙水果店购买时，
令，解得，
用360元在乙水果店最多购买9箱赣南脐橙．
，
该客户应选择在甲水果店购买，可使购买的赣南脐橙更多．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，．
（1）若．求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和得，，继而得到，即可得证；
（2）如图，过点作于点，延长，交于点，在中，得到，在中，得到，继而得到，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为的长，
∵，，
∴在中，，
∵，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴点到的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定，等腰三角形性质，等腰三角形三线合一性质，三角形内角和，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19. 为了解某市生产相同零件甲、乙两个工厂的工人生产能力情况，决定对其进行抽样调查．现从甲、乙两个工厂各随机抽取了10名工人某天每人加工零件的个数，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：甲工厂10名工人当天每人加工零件的个数为48，52，44，42，48，46，52，48，43，a．
信息二：乙工厂10名工人当天每人加工零件个数频数分布直方图如下图所示．
抽取的甲、乙两个工厂工人当天每人加工零件个数的平均数、众数、中位数情况如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______．
（2）若甲、乙两工厂的总人数相同，则估计当天______（填“甲工厂”或“乙工厂”）工人加工的零件个数更多，并说明理由（只写一个）．
（3）若当天加工零件个数达到或超过50个，视为生产能手．若甲、乙两工厂各有1000名工人，试估计当天甲、乙两工厂生产能手的总人数之和．
【答案】（1）54；48；48.5
（2）乙工厂，见解析 （3）700
【解析】
【分析】本题考查了平均数，中位数和众数的定义及意义，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数的意义分析即可
（3）根据总人数乘以生产能手的占比，分别求出甲、乙两工厂的生产能手，相加即可．
【小问1详解】
解：甲工厂的平均数为，
，
；
甲工厂每人加工零件的个数中，出现了3次，次数最多，
；
乙工厂的中位数为第5个和第6个数据的平均数，
由条形统计图可知，第5个和第6个数据分别为和，
，
故答案为：54；48；48.5；
【小问2详解】
解：乙工厂，
理由为：乙工厂工人当天每人加工零件个数的平均数大于甲工厂（答案不唯一）．
【小问3详解】
解：，，
．
答：估计当天甲、乙两工厂生产能手的总人数之和为700．
20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与经过原点的直线交于两点，且．点在轴正半轴上，连接，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为，连接．
（1）求的值．
（2）猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）4 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数的对称性是解题关键．
（1）由反比例函数图象的中心对称性可得，，进而求出，即可求出的值．
（2）连接．由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据等边对等角的性质和角平分线的性质，得到，推出，进而得到，即可得出结论．
【小问1详解】
解：由反比例函数图象的中心对称性可得，，
，
，即．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，连接．
，为的中点，
，
，
又平分，
，
，
，
，
，即．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 课本再现
如图，是的直径，．
（1）求的度数．
拓展延伸
（2）如图，若，与的交点记作，．
①求的半径；
②如图，若是的切线，且点在的延长线上，求图中阴影部分的周长．

【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余即可得到结论；
（2）①如图，连接，根据圆周角定理得到，，求得，设的半径为，则，根据三角函数的定义即可得到结论；
②如图，连接，根据圆周角定理得到，由①可得的半径为，根据弧长公式得到的长，根据切线的性质得到，解直角三角形得到，可得结论．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵是的直径，，
∴，，
∴，
∴的度数；

（2）①如图，连接，
∵，是的直径，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∴的半径为；

②如图，连接，
∵，
∴，
由①可得的半径为，
∴的长为，
∵是的切线，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长为：，
∴图中阴影部分的周长为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，弧长的计算，切线的性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余等知识点．正确作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，某同学设计了一条抛物线取不同的值，便可得到不同的抛物线，设抛物线与直线交于点．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）设点的纵坐标为，当取得最小值时，抛物线上有两点，且，请求出的最小值，并比较与的大小．
（3）当抛物线与线段有公共点时，求出的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）最小值是，；
（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值：
（1）把抛物线的解析式化顶点式即可求出对称轴及顶点坐标；
（2）把代入抛物线解析式，可得，根据二次函数的最值可得的最小值，确定此时势力的线的解析式，根据增减性和图象可得与的大小．
（3）令，解出两个解，这两个解符合横坐标范围，可解答
【小问1详解】
解： ，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问2详解】
解：把代入抛物线解析式，得，
当时，取得最小值，且最小值是，
此时抛物线的解析式为，
当时，随的增大而增大．
．
【小问3详解】
解：当抛物线分别经过点时，
可得，
解得或．
如图1，当抛物线在对称轴右侧的部分分别经过点时，抛物线与线段有一个公共点，此时；
如图2，当抛物线在对称轴左侧的部分分别经过点时，抛物线与线段有一个公共点，此时．
综上所述，符合题意的的取值范围为或．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题情境
某数学兴趣小组开展综合实践活动：如图1，在中，，，点在边上，且，将绕点逆时针旋转得到，要求大家观察图形，提出问题并加以解决．
问题探究
（1）甲同学提出：当时，求证：四边形是菱形．
（2）乙同学提出：如图2，当，时，求的长．
拓展创新
（3）丙同学提出：如图3，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）15°
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求出，由题意可求出，，即得出．由旋转的性质可证，，即证明，，从而得出四边形是平行四边形，即得出平行四边形是菱形；
（2）过点作，垂足为．易求出，．由等腰直角三角形的判定和性质可求出，即可求出．过点作，垂足为．由含30度角的直角三角形的性质可求出，，，从而可求出，进而可求出，即得出，最后利用求解即可；
（3）连接．易证，得出，，从而可求出．过点作，垂足为．易求出，说明与重合，即，进而即可求解．
【详解】解：（1）证明：，，
，．
，
，
，
．
由旋转的性质可知，，
，，
，，
四边形是平行四边形．
又，
平行四边形是菱形．
（2）如图，过点作，垂足为．
，，
，
，
．
，，
，
．
如图，过点作，垂足．
，
，，，
，
，
，
．
（3）如图，连接．
由题意可得，，，且，
，
．
又，，
，
，，
．
如图，过点作，垂足为．
，
，
与重合，即，
，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等知识．综合性强，较难．熟练掌握上述知识，并正确作出辅助线是解题关键．
不超过6箱
超过6箱
甲水果店
40元/箱
超出部分30元/箱
乙水果店
37.5元/箱
工厂
平均数
众数
中位数
甲
47.7
48
乙
48.8
47