山东省德州市乐陵市孔镇镇张桥中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1. 适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A. 13B. 14C. 5D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵,
∴
∴，
∴，
∴正整数a的值为1，2，3，
∴．
故选：B．
2. 下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：，
A、，能合并，故本选项错误；
B、，不能合并，故本选项正确；
C、，能合并，故本选项错误；
D、-，能合并，故本选项错误．
故选B．
3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴距离为3，到原点距离为5，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查第二象限坐标的特点、勾股定理、以及点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键．根据题意画出图形，利用勾股定理算出，再根据横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离，即可得到点M的坐标．
【详解】解：由题意画图如下：
轴于点，连接，
点M到x轴距离为3，到原点距离为5，
，，
，
的坐标是．
故选：C．
4. 满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三边之比为B. 三内角之比为
C. 其中一个内角度数等于另外两个内角度数的差D. 三边长分别为、、
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：A、设三边为，，，因为，所以是直角三角形；
B、因为，所以不直角三角形；
C、因为一个内角的度数等于另外两个内角度数的差，即：，
因为，即，
则，所以是直角三角形；
D、因为，所以是直角三角形；
故选：B．
5. 小明的作业本上有以下四题（其中）：
①；
②；
③ ；
④；
做错的题是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次根式的性质：．分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．
【详解】解：①，正确；
②由式子可判断，
∴，正确；
在③中，与不是同类二次根式，不能合并，错误；
④由式子可判断，
∴，正确；
综上分析可知，做错的题是③．
故选：C．
6. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：
①；
②；
③；
④．
其中说法正确的是( )
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确．
【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故式①正确；
②小正方形面积为，则其边长是2，
因为是四个全等三角形，所以有，所以，故式②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故式③正确；
④因为，所以，故式④不正确．
综上，①②③正确．
故选：B．
7. 在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（ ）
A. 如果，那么是直角三角形
B. 如果，那么是直角三角形且
C. 如果，那么是直角三角形
D. 如果，那么是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可，如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：A、，，
，那么是直角三角形，故A正确，不符合题意；
B、，
，那么是直角三角形且，故B错误，符合题意；
C、设，则，，可得，
解得，故，那么是直角三角形，故C正确，不符合题意；
D、，
，那么是直角三角形，故D正确，不符合题意，
故选：B．
8. 如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】如图：

根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）AB2=（2+3）2+42=41；
（2）AB2=32+（4+2）2=45；
（3）AB2=22+（4+3）2=53；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB2=41，即AB=
故选：B
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
9. 观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可．
【详解】解：根据所给式子的规律可得：，
解得：．
故选：B．
10. 化简：的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
．
故选：D．
11. 直角三角形的斜边比一直角边长，另一直角边长为，则它的斜边长（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用．设直角三角形的斜边是，则另一条直角边是．根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设直角三角形的斜边是，
则另一条直角边是cm．
根据勾股定理，
得，
解得：，
则斜边的长是．
故选：C．
12. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ）
A. 90B. 100
C. 110D. 121
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以四边形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此矩形KLMJ面积为10×11=110．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）.
13. 若最简二次根式、是同类二次根式，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可．
【详解】解：根据题意得，
整理得，，
故答案为：．
14. 已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值为__________．
【答案】．
【解析】
【分析】由，估计的大小，可得a、b的值，将a、b的值代入代数式可得答案．
【详解】解：∵
∴2＜
∴a=2，b=
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查估算无理数的大小；二次根式化简．
15. 对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算“※”如下：※，则2※______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进一步化简即可．
【详解】解：2※
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算，正确列出算式，并掌握二次根式乘除法计算法则；解题的关键是掌握化简过．
16. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键．
【详解】解：由图可知，，
∴，，，
则
，
故答案：．
17. 若直角三角形两条直角边分别是1和，则它的斜边上的高为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据勾股定理可以求得斜边的长，然后根据等积法可以求得斜边上的高．
【详解】解：该直角三角形的面积为：，设斜边上的高为h，
由题意得斜边长为：，
∴，
则，
故答案为：．
18. 小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为______米．
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高即可．
【详解】解：如图所示：

设旗杆米，则米，
在中，，
即，
解得：．
旗杆的高为12米
故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，熟练运用勾股定理．
三、解答题(本大题共7小题，共78分).
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的混合运算法则进行实数混合运算即可求解；
（2）根据零指数幂、负指数幂、绝对值及二次根式的性质计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、绝对值、零指数幂、负指数幂以及完全平方公式，掌握二次根数的混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．
20. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知，求这块四边形土地的面积．
【答案】36平方米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握：勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
如图，连接，由勾股定理得，，由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形土地的面积为36平方米．
21. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且．
（1）若点A、B到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度；
（2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，
设，则，根据题意得，，结合勾股定理，即可求得；
由题意得和，可证，则有，即可求得，进一步求得点C距离地面的高．
【小问1详解】
解：设，则，
∵点A、B到地面的距离是分别是、，
∴，
则，
∵，，
∴，
∴，解得．
答：秋千的长度为．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
那么C距离地面的高．
答：爸爸在距离地面高的地方接住小丽的．
22. 一架云梯AB长25米，如图那样斜靠在一面墙AC上，这时云梯底端B离墙底C的距离BC为7米．
（1）这云梯的顶端距地面AC有多高？
（2）如果云梯的顶端A下滑了4米，那么它的底部B在水平方向向右滑动了多少米？
【答案】（1）24m高（2）8m．
【解析】
【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）首先求出AC的长，利用勾股定理可求出B′C的长，进而得到BB′=CB′﹣CB的值．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
即AC2+72=252，
所以AC=24（m），
即这架云梯的顶端A距地面有24m高；
（2）梯子的底端在水平方向也滑动了8m．
理由：∵云梯的顶端A下滑了4m至点A，
∴AC=AC﹣A′A=24﹣4=20（m），
在Rt△ACB′中，由勾股定理得AC2+BC′2=AB′2，
即202+B′C2=252
所以B′C=15（m）
BB′=CB′﹣BB=15﹣7=8（m），
即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
23. 如图矩形（长方形）沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出,设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∵折叠
∴
∴
∵
∴
∴
设，
在中，
即
解得
∴的长为
24. 如图，在中，，，，．
（1）请判断的形状，并证明；
（2）过点B作于点E，交于点F，求和的长．
【答案】（1）等腰三角形，证明过程见详解；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，熟知相关定理是正确解决本题的关键．
（1）用勾股定理先求出的长，再用勾股定理求出的长即可证明结论；
（2）用等积法求出，作于H，先证明设，得，设，则，用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
是等腰三角形．
证明：中，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：，即，
，
作于H，
是等腰三角形，且，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度
（1）当t=2时，CD=______，AD=______；（请直接写出答案）
（2）当△CBD是直角三角形时，t=______；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．

【答案】（1）CD＝2，AD＝8；（2） t=3.6或10秒；（3）t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
【详解】（1）t=2时，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC==10，
AD=AC-CD=10-2=8；
（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC•BD=AB•BC，
即×10•BD=×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD==3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=10÷1=10秒，
综上所述，t=3.6或10秒；
故答案为（1）2，8；（2）3.6或10秒；
（3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，

则CE=BE，
∴CD=AD=AC=×10=5，
t=5÷1=5；
②CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
综上所述，t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．