上海市闵行区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1. 在数，，，，，（相邻两个“3”之间“0”的个数一次加1个）中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．据此解答即可．
【详解】解：．
无理数有，，（相邻两个“3”之间“0”的个数一次加1个），共3个．
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意．
故选：C．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 不带根号的数都是有理数B. 只有正数才有平方根
C. 无理数都是无限小数D. 数轴上的点与有理数一一对应
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数、无理数、平方根的定义以及实数与数轴的性质，直接利用有理数、无理数、平方根的定义以及实数与数轴的性质分析得出答案．
【详解】解：A、不带根号的数不一定是有理数，例如π是无理数，故不符合题意；
B、正数和0都有平方根，故不符合题意；
C、无理数都是无限小数，故符合题意；
D、数轴上的点与实数一一对应，故不符合题意．
故选：C．
4. 如图，，与互余，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数．
【详解】解：如图，，
∵与互余，
∴与互余，
∵，
∴．
故选：B．
5. 如图，下列说法中错误的是（ ）
A. 与是同位角B. 与是内错角
C. 与是同位角D. 与是同旁内角
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案．
【详解】解：A．∠1与∠4是同位角，说法正确，不符合题意；
B．∠3与∠4是内错角，说法正确，不符合题意；
C．∠B与∠3不是同位角，说法错误，符合题意；
D．∠1与∠3是同旁内角，说法正确，不符而合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、用旁内角，利用同位角、内错角、同旁内角的意义是解题关键．
6. 如图，m//n，那么、、的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作∠1和∠2公共边的延长线，与直线n交于一点，根据平行线的性质和三角形外角性质求解．
【详解】解：作∠1和∠2公共边延长线，与直线n交于一点，
∵m//n，
∴∠1+∠4=180°，
∵∠4=∠2-∠3，
∴∠1+∠2-∠3=180°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质，此题的辅助线作法是关键，也是常用的方法．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
8. 计算：_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】．
故答案为：．
9. 比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ．
【答案】＜
【解析】
【分析】先对二次根式进行变形，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解答此题的关键．
10. 把写成底数是整数的幂的形式是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】利用分数指数幂的法则及负指数幂法则直接计算即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，
，
∴把写成底数是整数的幂的形式是，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了分数指数幂及负指数幂法则，熟练掌握分数指数幂的法则是解题的关键．
11. 已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点．
【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2，
∴点A对应的数是．
当点A对应的数是2时，则数轴上到点A的距离为的点是，
当点A对应的数是时，则数轴上到点A的距离为的点是，
∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个，
故答案为：4．
12. 据上海旅游大数据监测，今年春节假日全市共接待游客约1676万人次，同比增长约50%， 1676万人可用科学记数法表示为________人．（保留三位有效数字）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，近似数的有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法和有效数字的概念求解即可．
【详解】1676万．
故答案为：．
13. 如果，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．
有理数乘方定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，BC⊥AC，BC=12，AC=9，AB=15，则点 C 到线段 AB 的距离是_____．
【答案】72
【解析】
【分析】设点C到线段AB的距离是x，然后根据△ABC的面积列方程求解即可．
【详解】设点C到线段AB距离是x．
∵BC⊥AC，∴S△ABCAB•xAC•BC，即15•x9×12，解得x=7.2，即点C到线段AB的距离是7.2．
故答案为7.2．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题的关键在于利用三角形的面积列出方程．
15. 如图，直线相交于点O，平分；平分．若，则____°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
根据对顶角相等求得的度数，再根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，根据求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
又∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，已知，、交于点O，若，，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平行线间的距离，熟练掌握性质是解题的关键．
首先根据平行线间的距离相等得到，进而求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
17. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则为_________°．
【答案】58
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据两直线平行同旁内角互补即可求出，再根据两直线平行同位角相等即可求出．
【详解】解：∵水面和杯底相互平行，
∴，
∵，
∴，
∵水中的两条光线平行，
∴，
故答案为：58．
18. 如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，若∠DEF=x，将图③中∠CFE用x表示为_________
【答案】180°-3x##-3x+180°
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠BFE=∠DEF=x；根据题意可得图①、②中的∠CFE=180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE，由此即可表示∠CFE.
【详解】∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE=∠DEF=x；
∴图①中的∠CFE=180°﹣∠BFE，
∴图②中的∠CFB=180°﹣2∠BFE，
∵以下每折叠一次，减少一个∠BFE，
∴图③中的∠CFE=180 °﹣3x．
故答案为180°-3x．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分）
19. 计算：|﹣|++（+1）．
【答案】
【解析】
【分析】先去绝对值符号、计算立方根和乘法，再计算加减可得．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的性质、立方根的定义和乘法分配律．
20. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，原式先计算括号内的乘法，再计算除法即可
【详解】解：
22. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式和二次根式的混合运算，根据完全平方公式去括号后再合并即可
【详解】解：
23. 用幂的运算性质计算：
【答案】1
【解析】
【分析】根据分数指数幂和根式的转化即可解答.
【详解】解：原式= ，故答案为1.
【点睛】本题考查了分数指数幂和根式的转化，准确计算是解题的关键.
四、解答题（本大题共3小题，每题6分，满分18分）
24. 如图，点在外，点在边上，按要求画图，写出结论，并填空．
（1）联结，用尺规作出线段的垂直平分线；
（2）过、两点分别画出、的平行线交于点， 若，则 °．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线，平行四边形的判定与性质：
（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
（2）由作图过程可得，所以得四边形是平行四边形，进而可以解决问题．
小问1详解】
解：如图1，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点G即为所求，
由作图过程可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：120．
25. 如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．

解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴____，____(_____)
即，，
又∵(___)，
∴____=____(___)，
∴ (___)．
【答案】、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】根据垂直的性质，平行线的判定求证即可．
【详解】证明：∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴，(垂直的定义)
即，，
又∵(已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)．
故答案为：、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
26. 如图，E、F分别是和上的点，、分别交于G、H，，，，试说明：．（写出推理依据）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
五、综合题（本大题共1小题，第（1）问2分，第（2）问4分，第（3）问4分，满分10分）
27. 闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．

（1）求a，b的值；
（2）如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数；
（3）如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案．
【答案】（1），
（2）
（3）15秒或82.5秒
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由非负数的性质即可得出结果；
（2）如图1，过点作，可得，设两灯转动时间为秒，则，，根据角的和差关系得到关于的方程，解方程即可求解；
（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后；进行讨论即可求解．
【小问1详解】
解： ，
，，
解得：，；
【小问2详解】
解：如图，过点作，

，
，
设两灯转动时间为秒，则，，
，
，，
，
，
解得，
，
；
【小问3详解】
解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①如图，

，
，
，
，
，
在灯射线到达之前，由题意得：，
解得：；
②如图，

，
，
，
，
，
在灯射线到达之后，由题意得：，
解得：．
综上所述，灯转动15秒或秒时，两灯的光束互相平行．