2024年甘肃省武威二十一中联片教研中考数学二模试卷（含解析）

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这是一份2024年甘肃省武威二十一中联片教研中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的相反数是( )
A. 19B. 9C. −9D. −19
2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.点P1(−1,y1)、P2(2,y2)在一次函数y=−2x+b图象上，下列结论正确的是( )
A. y1>y2B. y14.篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)分别是：188，190，192，194，195.现用一名身高为191cm的队员换下身高为195cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
5.如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为( )
A. 2
B. 2 3
C. 4
D. 4 3
6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
7.已知二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1①若x>2时，则y随x的增大而减小；
②若图象经过点(0,1)，则−1③若(−2023,y1)，(2023,y2)是函数图象上的两点，则y1④若图象上两点(14,y1)，(14+n,y2)对一切正数n.总有y1>y2，则32A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④
8.正比例函数y1=k1x(k1>0)的图象与反比例函数y2=2x的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为2，当y1A. x<−2或x>2B. −22
C. −29.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E.若AE过圆心O，OA=1.则四边形BEOF的面积为( )
A. 38
B. 34
C. 32
D. 3
10.如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y=kx(x<0)和y=2x(x>0)的图象上，则k−2的值为( )
A. −6
B. 6
C. −4
D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若单项式5xm+1y与单项式−x6yn−1的和仍是一个单项式，则mn的值是______．
12.写出一个关于x的不等式，使−5，2都是它的解，这个不等式可以为______．
13.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_____．
14.因式分解：x3y−10x2y+25xy= ______．
15.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．
16.如图，AB为⊙O的直径，AC=2BC，M为BC的中点，过M作MN//OC交AB于N，连接BM，则∠BMN的度数为______．
17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1//AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE=3S△ACE，则AB的长为______．
18.如图，矩形ABCO的顶点B(10,8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y=kx的图象与边AB交于点F，则线段BF的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算与解方程：
(1)3 8−( 12+ 13)；
(2)x2−6 2x−3=0．
20.(本小题4分)
如图，是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图.(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)．
(1)如图1，请画出△ABC的高CD和中线AE；
(2)如图2，AD是△ABC的角平分线，请画出△ABC的角平分线BE，并在射线BE上画点F，使BE=2AF．
21.(本小题6分)
接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的1.25倍，且甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少2天．
(1)求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
(2)一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度.该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了25%，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了5m人，但不低于800人，这样乙社区接种点(m+15)天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多6000人，求m的值．
22.(本小题6分)
小刚和小明两位同学玩一种游戏，游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局.例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．
(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？
(2)如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么第一次出牌小刚胜得概率是多少？用列表法或树状图法加以说明．
23.(本小题8分)
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上(D与A，B不重合)，CD⊥AB且CD=AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF与⊙O相切．
(1)求证：EF=EC；
(2)若D是OA的中点，AB=4，求BF的长．
25.(本小题8分)
小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度.如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离BC=2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD=2m，坡角(∠CDN)为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面MN上的影长DE长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m.请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度.(结果保留根号)
26.(本小题8分)
已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
27.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线x=m(−5(3)若抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据相反数的定义，得9的相反数是−9．
故选C．
求一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
注意：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：因为一次函数y=−2x+b中，k=−2<0，
所以y随x的增大而减小．
因为−1<2，
所以y1>y2．
故答案为：A．
先根据函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：用一名身高191cm的队员换下场上身高195cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变，所以他们的平均数变小，由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小．
故选：A．
根据平均数和方差的定义计算即可得出答案．
本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差、平均数的计算公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：连接OA．
∵⊙O的直径CD=8，
∴OA=OC=4，
∵AB⊥CD，
∴AM=12AB，
在Rt△AOM中，
∵OA=4，OM=2，
∴AM= OA2−OM2= 42−22=2 3，
∴AB=2AM=4 3．
故选：D．
先根据CD=8cm求出OA的长，连接OA，由垂径定理可得出AM=12AB，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可得出AB的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC，继而可得答案．
【解答】
解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=180°−∠DCA2=180°−30°2=75°，
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1∴当y=0时，x1=−1，x2=m，x1又∵当x<−1时，y随x的增大而增大，
∴a<0，开口向下．
∴当x>2>x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
又∵对称轴为直线x=−b2a=−1+m2，1∴0<−1+m2<12．
若(−2021,y1)，(2021,y2)是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，
又抛物线开口向下，
则y1若图象上两点(14,y1)，(14+n,y2)对一切正数n，总有y1>y2，1又该函数与x轴的两个交点为(−1,0)，(m,0)，
∴0<−1+m2≤14．
解得1∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1∴a<0．
若图象经过点(0,1)，则1=a(0+1)(0−m)，得1=−am．
∵a<0，1∴−1∴①③正确；②④错误，
故选：B．
依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y2=2x的图象过点A，A点的横坐标为2
∴A(2,1)，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点B(−2,−1)．
观察函数图象，发现：
当0∴当y1故选：D．
由正、反比例的对称性结合点A的横坐标即可得出点B的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接OB，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=2∠C，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
∵∠AOF=∠COE，OA=OC，
∴△AFO≌△CEO(AAS)，
∴∠C=∠A，
∴∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=12AO=12，AF= 3OF= 32，
同理CE= 32，OE=12，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，
由垂径定理得：BF=AF= 32，BE=CE= 32，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=12×12× 32+12×12× 32= 34．
故选：B．
根据垂径定理求出AF=BF，CE=BE，AD=BD，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
∴S△OAE=12×|k|=−12k，S△OCE=12×2=1，
∴S△OAC=−12k+1，
∵▱ABOC的面积=2S△OAC=6．
∴−k+2=6，
∵k−2=−6，
故选：A．
连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以S△OAC=−12k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积=2S△OAC=6，即可求出k−2的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
11.【答案】25
【解析】解：∵单项式5xm+1y与单项式−x6yn−1的和仍是一个单项式，
∴5xm+1y与−x6yn−1是同类项，
∴m+1=6，n−1=1，
∴m=5，n=2，
∴mn=52=25．
故答案为：25．
单项式5xm+1y与单项式−x6yn−1的和仍是一个单项式，则5xm+1y与−x6yn−1是同类项，根据同类项的定义确定m和n的值即可解答．
本题考查了同类项的概念，解题的关键是掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：所含字母相同；相同字母的指数相同．
12.【答案】2x<6(答案不唯一)
【解析】解：由−5，2均小于2可得x<3，
所以符合条件的不等式可以是2x<6，
故答案为：2x<6(答案不唯一)．
由−5，2均小于3可得x<3，在此基础上求解即可．
本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
13.【答案】4：5：6
【解析】【分析】
首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【解答】
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=(12AB⋅OD)：(12BC⋅OF)：(12AC⋅OE)=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
故答案为：4：5：6．
14.【答案】xy(x−5)2
【解析】解：x3y−10x2y+25xy
=xy(x2−10x+25)
=xy(x−5)2．
故答案为：xy(x−5)2．
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF=12DN，然后结合图形解答即可．
【解答】
解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，
∴BD= AD2+AB2= 22+(2 3)2=4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF=12DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
16.【答案】45°
【解析】解：连接OM．
∵AB是直径，AC=2BC，
∴∠BOC=13×180°=60°，
∵CM=BM，
∴∠MOB=∠COM=30°，
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB=12(180°−30°)=75°，
∵OC//MN，
∴∠MNB=∠COB=60°，
∴∠BMN=180°−∠BNM−∠NBM=180°−60°−75°=45°，
故答案为：45°．
连接OM.想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．
本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】4 5
【解析】解：设A1C交AB于D，如图：
∵A1B1//AC，
∴∠A1=∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1=∠BAC，
∴∠A1CA=∠BAC，
∴CD=AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BAC=90°=∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD，
∴S△BDE=S△ADE=12S△ABE，
∵S△ABE=3S△ACE，
∴S△BDE=S△ADE=32S△ACE，
∴S△ACES△ADE=23，
∴CEDE=23，
设CE=2x，则DE=3x，CD=5x=BD=AD，
∴BE= BD2−DE2=4x，
∴BC= BE2+CE2=2 5x，
∵∠BCE=∠CBA，∠BEC=90°=∠BCA，
∴△BCE∽△ABC，
∴BEAC=BCAB，
∵AC=8，
∴4x8=2 5xAB，
∴AB=4 5．
故答案为：4 5．
设A1C交AB于D，由A1B1//AC，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，可得CD=AD，而∠ACB=90°，即可得BD=CD=AD，故S△BDE=S△ADE=12S△ABE，因S△ABE=3S△ACE，即有S△ACES△ADE=23，CEDE=23，设CE=2x，则DE=3x，CD=5x=BD=AD，求出BE= BD2−DE2=4x，BC= BE2+CE2=2 5x，证明△BCE∽△ABC，即可得4x8=2 5xAB，从而AB=4 5．
本题考查旋转的性质，涉及相似三角形的判定与性质，平行线性质及应用，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理．
18.【答案】254
【解析】解：
∵△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，
∴AD=AB=10，DE=BE，
∵AO=8，AD=10，
∴OD= 102−82=6，
∴CD=10−6=4，
设点E的坐标是(10,b)，
则CE=b，DE=10−b，
∵CD2+CE2=DE2，
∴42+b2=(8−b)2，
解得b=3，
∴点E的坐标是(10,3)，
设反比例函数y=kx，
∴k=10×3=30，
∴反比例函数解析式为y=30x，
∵F点纵坐标为8，
∴8=30x，解得x=154，即AF=154，
∴BF=AB−AF=10−154=254，
故答案为：254．
首先根据翻折变换的性质，可得AD=AB=10，DE=BE；然后设点E的坐标是(10,b)，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得BF的长．
(1)此题主要考查了翻折变换(折叠问题)，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
(2)此题还考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19.【答案】解：(1)原式=6 2−2 3− 33
=6 2−7 33；
(2)x2−6 2x−3=0，
∵a=1，b=−6 2，c=−3，
∴Δ=(−6 2)2−4×1×(−3)=4×21>0，
∴x=6 2±2 212×1=3 2± 21，
∴x1=3 2+ 21，x2=3 2− 21．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，体会合并同类二次根式即可；
(2)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了二次根式的加减运算．
20.【答案】解：(1)如图1中，线段CD，AE即为所求；
(2)如图2中，射线BE，线段AF即为所求．

【解析】(1)根据三角形的高，中线的定义画出图形；
(2)根据三角形的角平分线交于一点，画出△ABC的角平分线BE，作线段AC的垂直平分线l交射线BE一点F，连接AF，延长AF交直线BC于点J(可以证明BA=BJ，BE=AD=AJ，推出AF=FJ=12BE)，线段AF即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25x人，
由题意得：30001.25x=4000x−2，
解得：x=800，
经检验，x=800是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.25x=1.25×800=1000，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种1000人，乙社区疫苗接种点平均每天接种800人；
(2)由题意得：(1000−5m)×2m+6000=800×(1+25%)×(m+15)，
整理得：m2−100m+900=0，
解得：m1=90，m2=10，
∵1000−5m≥800，
∴m≤40，
∴m1=90不符合题意舍去，
答：m的值为10．
【解析】(1)设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25x人，根据题意：甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少2天．即可列出关于x的分式方程，解分式方程即可，注意检验；
(2)根据题意：乙社区接种点(m+15)天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多6000人，列出关于m的一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】解：(1)象有1张，共有3张牌，所以一次出牌小刚出“象”牌的概率是13；
(2)
共9种情况，有3种情况小刚胜，所以概率为13．
【解析】(1)看“象”牌的情况数占总情况数的多少即可；
(2)列举出所有情况，看第一次出牌小刚胜的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
23.【答案】解：证明：连接OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
又OC为圆O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
【解析】连接OC，由于OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据圆的切线的判定定理得到结论．
本题考查了圆的切线的判定，也考查了等腰三角形的性质．
24.【答案】(1)证明：连接OF，则OF=OB，
∵EF与⊙O相切于点F，
∴EF⊥OF，
∴∠OFE=90°，
∴∠EFC+∠OFB=180°−∠OFE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∵∠OFB=∠B，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
(2)解：连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=∠CDB=90°，
∴∠B=∠B，
∴△AFB∽△CDB，
∴BFBD=ABCB，
∵D是OA的中点，AB=4，
∴OA=OB=12AB=2，OD=AD=12OA=1，
∴BD=OB+OD=2+1=3，
∵CD=AB=4，
∴CB= BD2+CD2= 32+42=5，
∴BF=AB⋅BDCB=4×35=125，
∴BF的长是125．
【解析】(1)连接OF，由切线的性质得EF⊥OF，则∠OFE=90°，所以∠EFC+∠OFB=90°，由CD⊥AB，得∠CDB=90°，则∠C+∠B=90°，而∠OFB=∠B，所以∠EFC=∠C，则EF=EC；
(2)连接AF，由AB是⊙O的直径，得∠AFB=∠CDB=90°，而∠B=∠B，所以△AFB∽△CDB，则BFBD=ABCB，由D是OA的中点，AB=4，求得OA=OB=2，OD=AD=1，则BD=3，因为CD=AB=4，所以CB= BD2+CD2=5，则BF=AB⋅BDCB=125．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，

则四边形BHGC是矩形，
∴HG=BC=2，∠CGD=90°，BH=CG，
∵∠CDG=30°，CD=2m，
∴CG=12CD=1m，DG= 3m，
∴HE=HG+GD+DE=8+ 3，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴AHEH=1.61.2，
∴AH8+ 3=1.61.2，
∴AH=43(8+ 3)m，
∴AB=AH−BH=43(8+ 3)−1=29+4 33m，
答：旗杆AB的高度约为29+4 33m．
【解析】延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，根据矩形的性质得到HG=BC=2，∠CGD=90°，BH=CG，解直角三角形得到CG=12CD=1，DG= 3，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形−坡度坡角问题，平行投影，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解题的关键．
26.【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAM=∠FCN，
又∵AD//BC，
∴∠E=∠F．
∵在△AEM与△CFN中，
∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN(ASA)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =//CD，
又由(1)得AM=CN，
∴BM =//DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【解析】(1)先根据平行四边形的性质可得出AD//BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BM =//DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．
27.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
∵A(1,0)，B(−5,0)，
∴y=−(x−1)(x+5)，
∴y=−x2−4x+5；
(2)∵y=−x2−4x+5与y轴交于点C，
∴C(0,5)，
设直线BC为y=kx+5(k≠0)，
将B(−5,0)代入得−5k+5=0，
解得k=1．
∴直线BC的解析式为y=x+5．
由已知得D(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，
∴DF=−m2−4m+5−(m+5)=−m2−5m=−(m+52)2+254，
∵−1<0，
∴抛物线y=−x2−4x+5开口向下．
∴当m=−52时，DF的最大值为254；
(3)∵y=−x2−4x+5=−(x+2)2+9，
∴抛物线顶点P(−2,9)，对称轴为直线x=−2，
设Q(−2,n)，
∵C(0,5)．
∴PQ= (9−n)2，
PC= 22+(9−5)2=2 5，
QC= 22+(n−5)2，
①当CQ为菱形的对角线，PQ=PC时，

(9−n)2=2 5，
解得n=9±2 5，
∴Q(−2,9+2 5)或(−2,9−2 5)，
∴点R的坐标为(0,5+2 5)或(0,5−2 5)；
②当PQ为菱形的对角线，QC=PC时，

22+(n−5)2=2 5，
解得n=1或9(舍去)，
∴Q(−2,1)，
∴点R的坐标为(−4,5)；
③当CP为菱形的对角线，PQ=QC时，

(9−n)2= 22+(n−5)2，
解得n=132，
∴Q(−2,132)，
∴点R的坐标为(0,152)；
综上，点R的坐标为(0,5+2 5)或(0,5−2 5)或(−4,5)或(0,152).
【解析】(1)根据抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，可得抛物线的解析式；
(2)利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+5，由已知得D(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，DF=−m2−4m+5−(m+5)=−m2−5m，根据二次函数的性质即可求解；
(3)求出顶点P(−2,9)，分三种情况讨论：①当CQ为菱形的对角线，PQ=PC时；②当PQ为菱形的对角线，QC=PC时；③当CP为菱形的对角线，PQ=QC时，根据菱形的性质求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、菱形的性质等知识点，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题．

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