2022-2023学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷及答案解析

这是一份2022-2023学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷及答案解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
3．（3分）若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．78°B．68°C．58°D．56°
5．（3分）若二次函数y＝ax2+b的图象经过点P（﹣2，4），则下列各点中一定在该图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（﹣4，2）
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A'B'C，连接AB'，若∠B'A'A＝25°，则∠B的大小为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
8．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
9．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28D．x（x﹣1）＝28
10．（3分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
11．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象的顶点坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③c﹣4a＝1；
④b2＞4ac；
⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横线上.
13．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．（3分）将方程x2+4x+3＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 ．
15．（3分）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 ．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
17．（3分）如图所示，A，B，C是半径为3的⊙O上的三个点，若四边形ABCO为平行四边形，则四边形ABCO的面积等于 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＜90°，∠B＝30°，AB＝10，AC＝7，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤360°）得到△AB'C'，点M的对应点为M'，连接OM'，在旋转过程中，线段OM'的长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解方程．
（1）（x+5）2﹣25＝0；
（2）3x2+20x﹣7＝0．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，求k的值．
21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）该二次函数解析式为 ，m＝ ，n＝ ；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）根据图象直接写出下列问题：
①当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”）是 ．
②若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）满足2＜x1＜x2，则y1 y2（从符号＜，≤，≥，＞，＝中选择一个填空）
③当ax2+bx+c＞n时，x的取值范围是 ．
④当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围是 ．
22．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为的中点，连接BC，OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．
23．（10分）如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD≥AB（即长不小于宽），设矩形的宽AB的长为x米，矩形ABCD面积为y平方米．
（1）若矩形ABCD的面积150平方米，求宽AB的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD面积最大，并求出最大面积．
24．（10分）将矩形纸片ABCO放在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（﹣8，0），点C（0，6）．现绕点O顺时针旋转矩形纸片ABCO，得到新的矩形A'B'C'O，其中A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．当直线BC与直线B'C'有交点时，设交点为D．
（1）在旋转过程中，判断线段CD和C'D的数量关系，并以图①为例说明理由；
（2）在旋转过程中，当点A'落在线段BC上时（如图②），直接写出点A'的坐标 ；
（3）在旋转过程中，若线段A'O恰好过线段BC中点E时（如图③），求线段CD的长；
（4）在旋转过程中，当线段A'O与线段BC的交点M恰好是线段BD中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．
25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式．
（2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
【点评】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
3．（3分）若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】把x＝1代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得：12﹣2×1+c＝0，
∴1﹣2+c＝0，
∴c＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x＝1代入方程，得到关于c的一元一次方程．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．78°B．68°C．58°D．56°
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得到∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，然后利用平角的定义计算∠AOE的度数．
【解答】解：∵点D、C是的三等分点，
即＝＝，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣3×34°＝78°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．（3分）若二次函数y＝ax2+b的图象经过点P（﹣2，4），则下列各点中一定在该图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（﹣4，2）
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为y轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2+b，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵抛物线经过P（﹣2，4），
∴抛物线经过（2，4），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A'B'C，连接AB'，若∠B'A'A＝25°，则∠B的大小为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】由旋转的性质可得∠B＝∠CA'B'，AC＝B'C，∠ACB'＝90°，由等腰三角形的性质可得∠CAB'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A'B'C，
∴∠B＝∠CA'B'，AC＝B'C，∠ACB'＝90°，
∴∠CAB'＝45°，
∴∠CA'B'＝∠CAB'+∠A'B'A＝45°+25°＝70°，
∴∠B＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
8．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣2）2﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
9．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28D．x（x﹣1）＝28
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝28．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
10．（3分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断y3＜y2；根据二次函数的性质即可判断y1＞y2＞y3．
【解答】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y3）和（0，y3）关于直线x＝1对称，
因为﹣2＜﹣1＜0，故y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
11．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．
【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD＝DB＝DA＝＝，
∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：C．
【点评】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象的顶点坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③c﹣4a＝1；
④b2＞4ac；
⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断；
②根据x＝﹣1时，y＜0，即可判断．
③根据对称轴x＝﹣＝2，即可判断．
③根据抛物线与x轴有两个交点，可知Δ＞0，即可判断．
④根据抛物线的顶点坐标为（2，1），函数有最大值，由此即可判断．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴a＜0，b＞0，c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴﹣＝2，b＝﹣4a，
∵4a+2b+c＝1，
∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1），
∴am2+bm+c≤1（m为任意实数），故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横线上.
13．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 （﹣1，4） ．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可得出结论．
【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（3分）将方程x2+4x+3＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 3 ．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵x2+4x+3＝0，
∴x2+4x＝﹣3，
则x2+4x+4＝﹣3+4，即（x+2）2＝1，
∴a＝2，b＝1，
∴a+b＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
15．（3分）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 y＝2x2﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y＝ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y＝ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，
故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜且k≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k×3＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k×3＞0，
解得k且k≠0．
即k的取值范围为：k＜且k≠0．
故答案为：且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17．（3分）如图所示，A，B，C是半径为3的⊙O上的三个点，若四边形ABCO为平行四边形，则四边形ABCO的面积等于 ．
【分析】连接OB，过点O作OD⊥AB，垂足为D，利用平行四边形的性质可得AB＝OC，从而可得OA＝OB＝AB，进而可得△AOB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠A＝60°，再在Rt△OAD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，最后利用平行四边形的面积公式，进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB，过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△OAD中，OA＝3，
∴OD＝OA•sin60°＝3×＝，
∴四边形ABCO的面积＝AB•OD＝3×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＜90°，∠B＝30°，AB＝10，AC＝7，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤360°）得到△AB'C'，点M的对应点为M'，连接OM'，在旋转过程中，线段OM'的长度的最小值是 1.5 ．
【分析】由题意可得点M'在以A点为圆心，AM为半径的圆上，可得AM'的最小值，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，连接AM，AM'，
根据题意，点M'在以A点为圆心，AM为半径的圆上，
当AM⊥BC时，AM最短，此时AM＝AB＝5，
∵OM'≥AM'﹣AO（当且仅当M'、O、A共线时取等号）
∴M'O的最小值为5﹣3.5＝1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解方程．
（1）（x+5）2﹣25＝0；
（2）3x2+20x﹣7＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x+5）2﹣25＝0，
（x+5）2＝25，
x+5＝±5，
x+5＝5或x+5＝﹣5，
x1＝0，x2＝﹣10；
（2）3x2+20x﹣7＝0，
（3x﹣1）（x+7）＝0，
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，求k的值．
【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，再利用（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，得到10k2＝20，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×1×3k2＝4k2，
∵对于任意实数k，均有k2≥0，
∴Δ＝4k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣4kx+3k2＝0的两个实数根x1，x2，
∴，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝（4k）2﹣6k2＝10k2，
∴10k2＝20，
解得：．
故k的值是±．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）该二次函数解析式为 y＝﹣x2+2x+6 ，m＝ 8 ，n＝ 6 ；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）根据图象直接写出下列问题：
①当x＝ 2 时，y有最 大 值（填“大”或“小”）是 8 ．
②若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）满足2＜x1＜x2，则y1 ＞ y2（从符号＜，≤，≥，＞，＝中选择一个填空）
③当ax2+bx+c＞n时，x的取值范围是 0＜x＜4 ．
④当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围是 0＜y≤8 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解函数的解析式，进而利用解析式即可求得m、n的值；
（3）利用五点画出函数的图象即可；
（3）根据图象即可得出结论．
【解答】解：（1）把点（﹣2，0），（0，6），（6，0）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴该二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+6，
把（2，m）代入得，m＝﹣×4+2×2+6＝8，
把（4，n）代入得，n＝﹣×16+2×4+6＝6，
故答案为：y＝﹣x2+2x+6，8，6；
（2）描点、连线画出函数图象如图：
（3）观察函数的图象，
①当x＝2时，y有最大值是8；
②若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）满足2＜x1＜x2，则y1＞y2；
③当ax2+bx+c＞n时，x的取值范围是0＜x＜4．
④当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围是0＜y≤8．
故答案为：①2，大，8；②＞；③0＜x＜4；④0＜y≤8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
22．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为的中点，连接BC，OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．
【分析】（1）连接BD，由D为AC的中点，得＝，则∠ABD＝∠CBD，由等腰三角形的性质得∠ABD＝∠BDO，推出∠CBD＝∠BDO，即可得出结论；
（2）由垂径定理得OF⊥BC，由平行线的性质得DO⊥EF，则△DOE是等腰直角三角形，∠OED＝45°，易证△OGB是等腰直角三角形，得BG＝OB，再由BC＝2BG，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠BDO，
∴∠CBD＝∠BDO，
∴OD∥BC；
（2）解：∵G为BC中点，
∴OF⊥BC，
由（1）得：OD∥BC，
∴DO⊥EF，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠EOA＝∠BOG＝45°，
∴△OGB是等腰直角三角形，
∴BG＝OB＝×2＝，
∴BC＝2BG＝2．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD≥AB（即长不小于宽），设矩形的宽AB的长为x米，矩形ABCD面积为y平方米．
（1）若矩形ABCD的面积150平方米，求宽AB的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD面积最大，并求出最大面积．
【分析】（1）根据矩形面积公式“面积＝长×宽”列出方程求解便可；
（2）设矩形的宽为x米，则长为（40﹣2x）米，根据矩形面积公式“面积＝长×宽”列出函数的关系式；
（3）根据（2）函数解析式和二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（40﹣2x）米，
∴x（40﹣2x）＝150，
整理，得x2﹣20x+75＝0，
解得：x₁＝5，x₂＝15，
由题意可知40﹣2x≥x，
∴x≤，
∴x＝5．
答：矩形的宽为5米；
（2）依题意，有y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
又∵x＞0，且40﹣2x≥x．
∴．
∴；
（3）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵，
∴当x＝10时，y有最大值，其最大值为200．
答：当宽为10米时，矩形ABCD面积最大，最大面积为200平方米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，关键是根据矩形面积公式求出二次函数的解析式．
24．（10分）将矩形纸片ABCO放在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（﹣8，0），点C（0，6）．现绕点O顺时针旋转矩形纸片ABCO，得到新的矩形A'B'C'O，其中A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．当直线BC与直线B'C'有交点时，设交点为D．
（1）在旋转过程中，判断线段CD和C'D的数量关系，并以图①为例说明理由；
（2）在旋转过程中，当点A'落在线段BC上时（如图②），直接写出点A'的坐标 ；
（3）在旋转过程中，若线段A'O恰好过线段BC中点E时（如图③），求线段CD的长；
（4）在旋转过程中，当线段A'O与线段BC的交点M恰好是线段BD中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．
【分析】（1）证明Rt△COD≌Rt△C′OD（HL），即可求解；
（2）在Rt△A′OH中，∵AH＝BA＝6，OA′＝OA＝8，即可求解；
（3）证明∠CDO＝∠EOD，则，进而求解；
（4）证明OM＝OD，即x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，即可求解．
【解答】解：（1）结论：CD＝C′D，理由：
如图①，连接OD，
∵在矩形ABCO中，点A（﹣8，0），点C（0，6）；
∴AO＝BC＝8，AB＝OC＝6，
∵矩形 A′B′C′O是由矩形纸片ABCO旋转得到的，
∴A′O＝B′C′＝8，A′B′＝OC′＝6，且 A′O∥B′C′．
∵在Rt△OCD和Rt△OC'D中，
，
∴Rt△COD≌Rt△C′OD（HL），
∴CD＝C′D；
（2）如图②，过点A′作A′H⊥x轴于点H，
在Rt△A′OH中，∵AH＝BA＝6，OA′＝OA＝8，
∴HO＝＝＝2，
∴A'的坐标为 ，
故答案为：；
（3）∵E为线段BC中点，
∴EC＝4．
在Rt△EOC中，∵CO＝6，CE＝4．
∴，
连接OD，由（1）知：Rt△COD≌Rt△C′OD，
∴∠CDO＝∠C′DO．
∵A′O∥B′C′，
∴∠C′DO＝∠EOD．
∴∠CDO＝∠EOD．
∴，
∴；
（4）设CM＝x，则BM＝8﹣x，
∵M恰好是线段BD中点，则CD＝8﹣x﹣x＝8﹣2x，
由（3）知OM＝BM，
即x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，
则8﹣2x＝，
∴点M的坐标点为 ，点D的坐标为 ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角函数等知识，有一定的综合性，难度适中．
25．（10分）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式．
（2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（ t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），可得DP＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，线段DP有最大值，最大值为 ．此时点P的坐标为 ；
（3）过点Q作QG∥y轴交AB于点G，设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），则S△ABQ＝×3×|n2﹣5n+4|＝15，求出n的值即可求Q点坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4+m，
∴C（0，4+m），
∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的对称轴为直线x＝2，
∴B（4，4+m），
将A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
∴C（0，3），B（4，3），
将A（1，0），B（4，3）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）设P（ t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），
∵点P从A点沿抛物线向B点运动且点P不与A、B重合，
∴1＜t＜4，
∴DP＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，线段DP有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为 ；
（3）存在点Q，使S△ABQ＝15，理由如下：
∵B（4，3），A（1，0）
过点Q作QG∥y轴交AB于点G，
设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），
∴QG＝|n2﹣4n+3﹣n+1|＝|n2﹣5n+4|，
∴S△ABQ＝×3×|n2﹣5n+4|＝15，
解得n＝6或n＝﹣1，
∴Q（﹣1，8）或（6，15）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．
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