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黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 外切C. 内切D. 相离
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则的值为（ ）
A. B. C. 4D. 13
7. 已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线:对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分:100分），得到如下的频率分布直方图，则（ ）
注:同一组中的数据用该组区间中点值代表.
A. 图中的值为0.004
B. 估计样本中竞赛成绩众数为70
C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分
D. 估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
10. 某杂交水稻种植研究所调查某地所种植超级杂交水稻的株高（单位:）的情况，得出，且大于120的概率为0.1.现从中随机选取20棵超级杂交水稻，记其中株高在区间[80，100]的水稻棵数为随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的导函数为，，，且为奇函数，若，则（ ）
A. B. 的一个周期为2
C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某智能手机的开机密码是六位数字，现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码，若要求两个2不相邻，两个0相邻，则不同的开机密码总个数为____________.（答案用数字表示）
13. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________.
14. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在上，，则的离心率为____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
（2）讨论的单调性与极值.
16. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点.
（1）求证：//平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
（1）在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;
（2）每盒绿茶（净重）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望.
18. 已知双曲线的焦距为，点在上.
（1）求的方程;
（2）直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.
19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.
（1）若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
（2）若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
（3）已知数列，求证:.
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 外切C. 内切D. 相离
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则的值为（ ）
A. B. C. 4D. 13
7. 已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线:对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分:100分），得到如下的频率分布直方图，则（ ）
注:同一组中的数据用该组区间中点值代表.
A. 图中的值为0.004
B. 估计样本中竞赛成绩众数为70
C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分
D. 估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
10. 某杂交水稻种植研究所调查某地所种植超级杂交水稻的株高（单位:）的情况，得出，且大于120的概率为0.1.现从中随机选取20棵超级杂交水稻，记其中株高在区间[80，100]的水稻棵数为随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的导函数为，，，且为奇函数，若，则（ ）
A. B. 的一个周期为2
C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某智能手机的开机密码是六位数字，现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码，若要求两个2不相邻，两个0相邻，则不同的开机密码总个数为____________.（答案用数字表示）
13. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________.
14. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在上，，则的离心率为____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
（2）讨论的单调性与极值.
16. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点.
（1）求证：//平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
（1）在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;
（2）每盒绿茶（净重）原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望.
18. 已知双曲线的焦距为，点在上.
（1）求的方程;
（2）直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.
19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.
（1）若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
（2）若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
（3）已知数列，求证:.
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