内蒙古自治区呼和浩特市第五中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．答卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试范围：第十六章、第十七章．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简的正确结果是（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. ＝﹣7C. ＝3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质，二次根式的加减法逐项判断即可
【详解】A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ＝7 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ＝3,故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查二次根式的化简与加减运算，熟练掌握二次根式的性质及加减运算法则是解题关键．
3. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x>8B. x<8C. x≤8D. x≥8
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】∵二次根式有意义，
∴x－8≥0，
∴x≥8．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题．
4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是线段的中点，则线段的长为（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】已知两点，首先根据中点坐标公式计算出C点的坐标，再构造直角三角形利用勾股定理计算即可．
【详解】点A的坐标为，点B的坐标为，
线段的中点C的坐标为，
线段的长为，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查中点坐标的求解以及运用勾股定理计算，熟练掌握中点坐标公式是解答本题的关键.
5. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答．
【详解】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示的数为．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查勾股定理、在数轴上表示实数等知识点，熟记勾股定理的公式是解题的关键．
6. 下列几组数中是勾股数的是（ ）
A. 、、1B. 3，4，6C. 5，12，13D. 0.9，1.2，1.5
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、但、不是正整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、32+42≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、52+122=132，是勾股数，故本选项符合题意．
D、0.92+1.22=1.52，但0.9，1.2，1.5不是正整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选C．
7. 如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．
【详解】解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．
直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．
在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，
根据勾股定理得：BD==2．
故选 C
【点睛】本题考查等边三角形的性质和勾股定理，熟练运用等边三角形的三线合一性质和勾股定理是解题的关键．
8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A. B. 0.8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
【详解】解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
9. 二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式乘法的应用；设圆的半径为，根据面积不变列出方程，即可求解．
【详解】解：设圆的半径为，根据题意得，
解得：（负值舍去）
故选：D．
10. 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为( )

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，根据勾股定理可求的值即可求解．
【详解】解： ，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为和，斜边为，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 与最简二次根式是可以合并的二次根式，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【详解】解：由题意可得与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴，解得：．
故答案为2．
12. -1的最小值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解．
【详解】解：-1
=-1
∵最小值为：1，
∴-1的最小值是0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了二次根式求最小值，其中运用完全平方公式，化简原式寻找求最小值的思路是解答本题的关键．
13. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．
【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为“两直线平行，同位角相等”．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键．
14. 如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是______cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”，将点A和点B所在的各面展开，展开为矩形，AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离，再由勾股定理求解即可．
【详解】将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB==cm．
故蚂蚁沿正方体的最短路程是cm．
故答案为.
【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
15. 如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，连接，利用勾股定理可求出的长，进而可得出，，利用勾股定理的逆定理可得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出．
【详解】解：连接，
根据题意，可知：．
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
16. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
整理得，，
又，
∴，
解得，或（负值舍去），
故答案为：8．
三、解答题（本题共7小题，共52分）解答应写出演算步骤或证明过程．
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 化简并求值
（1）已知：，求值；
（2）已知：，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握完全平方公式，绝对值的非负性是解题的关键．
（1）先根据非负性得到，求出x，y的值，然后代入解题即可；
（2）先计算出的值，然后根据代入解题即可．
分式的性质，分式的化简、代入求值的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴,
．
19. 西城中学“主题开放日”到了，曹师傅正在对活动会场进行精心布置．如图，曹师傅将梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离长为．底端到墙面的距离为．
（1）求曹师傅所用梯子的长度；
（2）若梯子的底端B向墙角内移动到时，顶端A向上滑动到，求的长．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）利用勾股定理求解；
（2）梯子移动前后长度不变，用勾股定理解求出，即可求出的长．
【小问1详解】
解：由题意得：，，，
由勾股定理得：，
即曹师傅所用梯子的长度为；
【小问2详解】
解：，
在中，，
由勾股定理得：，
．
即的长为．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
（2）在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为；
（3）在图③中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及等腰三角形性质和直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据等腰三角形的性质，可能是腰或底两种情况，考虑所做线段也是有小正方形组成的矩形的斜边，点C的位置不唯一，找到一个符合条件的点C，连结即可．
（2）根据网格可知得长度为，根据直角边之比为及勾股定理可知，为一个小正方形的对角线，，为边长为2两个网格的正方形的对角线，即可得出交点即为所求，
（3）以B为顶点的一个小正方形对角线得到，再加一个正方形的角，故点E在B为顶点的一个小正方形对角线即为所求。
【小问1详解】
如图所示：即为所求
【小问2详解】
如图所示：即为所求；
【小问3详解】
如图所示：即为所求；

21. 小明在探究二次根式时发现了两个有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（1）请观察上面解题过程，直接写出下列各式的结果．
①______；
②（为正整数）______．
（2）求的值．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键．
（1）①根据探究中的解法解答即可；
②根据探究中的解法解答即可；
（2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题；
【小问1详解】
解：①；
②
小问2详解】
．
22. （1）【操作】将如图①所示的四张大小形状完全相同的长方形纸片按如图②方式拼成一个大正方形，利用面积的不同表示方法可以表示的代数恒等式___________；
（2）【应用】按图③方式顺次连接图②中四张长方形纸片的对角线，得到正方形，设，利用正方形的面积的表示方法证明勾股定理；
（3）【拓展】如图③，若，中间小正方形的面积是，求的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，勾股定理的知识，解题的关键是掌握完全平方公式，勾股定理的运用．
（1）根据图形，则正方形的边长为，根据正方形的面积公式，则，根据正方形的面积也等于个小长方形面积加一个正方形的面积，即可；
（2）根据图形，图中正方形的面积为，同时正方形的面积也等于大正方形的面积减去四个小三角形的面积，即，即可；
（3）根据勾股定理，则；再根据中间小正方形的面积是，则，求出，即可．
【详解】（1）由图形可得，正方形的边长为，
∴正方形的面积为：；
∵正方形的面积也等于个小长方形面积加一个正方形的面积，
即，正方形的面积为，
∴，
故答案为：．
（2）∵图中正方形的面积为，同时正方形的面积也等于大正方形的面积减去四个小三角形的面积，即，
∴，
∴．
（3）由（2）得，，
∵，
∴，
∵小正方形的面积为：，
∴，
∴，
解得：，
∴．
23. 如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点运动，点不与点，重合，连接、．设点的运动时间用“秒”表示．
（1）求的长；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）在点运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，动点问题，分点P在上和点P在上两种情况分类讨论是解题的关键．
（1）根据三角形性的面积公式计算解题；
（2）先根据勾股定理求出长，然后分为点P在上和点P在上两种情况解题即可；
（3）点在上时，存在是等腰直角三角形；当点在上时，存在是等腰直角三角形分别根据等腰三角形的性质解题即可．
【小问1详解】
解∵，
∴，
【小问2详解】
解：，
当时，点P在上，；
当时，点P在上，；
∴；
【小问3详解】
如图，当点在上时，存在是等腰直角三角形，
则，即，解得：，
∴
∴；
如图，当点在上时，存在是等腰直角三角形，
则，即，解得：；
∴，
∴；
∴图中存在等腰直角三角形时，的面积为或．