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山东省临沂市临沭县第三初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
2. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以
【详解】解：35800
故选D
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
4. 的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
6. 如图，若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：的图象经过二、三、四象限，
，，
抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线，
对称轴在y轴的左边，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．
7. 如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题重点考查了矩形的性质，勾股定理，关键是由已知和为的中点得出为的中垂线．
由已知和为的中点，可得为的中垂线，连接可得，分别在和中由勾股定理求出和，最后在中由勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
∵且为的中点，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故选：C．
8. 如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x的函数解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，把题中数据代入即可得答案．
【详解】∵g取10N/kg，铁球质量为10kg，
∴G=mg=10×10=100（N），
∵OA=1m，OB=xm，
∴由杠杆平衡原理可得：F×OB=G×OA，即，
∴F关于x的函数解析式为．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握杠杆平衡原理是解题关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知正六边形循环了８次，由可知和的坐标相同，即可求出结果．
【详解】解：由题意可知：正六边形绕点O顺时针旋转一圈，旋转了8个，
∵当时，，
的坐标与的坐标相同，
如图所示：过点于点H，过点D作轴于点F，
，，
，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
，，
又，在中
，，
，，
又∵点在第三象限，
∴点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化，解直角三角形，学会探究规律的方法，确定和是解决问题的关键．
10. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．
【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．
∵ME⊥AB，，
∴是直角三角形，，，，
∵，
∴，．
又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是解题的关键．
13. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是__________.
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“”的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，
丙烷分子结构中“”的个数是：，
……
庚烷分子结构中“”的个数是：，
故答案为：16．
14. 如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
15. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
由题意得：平分，
∴
∵
∴
∵的面积为2，
∴的面积为，
∴的面积为，
故答案为：
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（－2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴，
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴，
∴，
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴，
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解．
三、解答题（共72分）
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握基本的解不等式组的方法是解题的关键．
先求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①可得：；
解不等式②可得：；
所以不等式组的解集为．
18. 先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，涉及通分、因式分解、分式加减乘除混合运算、约分、分式有意义的条件等知识，先将分式分子分母因式分解、再由分式加减乘除混合运算法则，利用通分、约分化简，再根据分式有意义的条件取得的值，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式加减乘除混合运算法则，根据分式有意义的条件取值是解决问题的关键．
【详解】解：
，
分式分母不能为0，
，则原式．
19. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
（1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
（2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）点A到地面的距离为；
（2）点A上升的高度为；
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解；
【小问1详解】
作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴m
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
m
∴点A到地面的距离为．
【小问2详解】
记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
m，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
20. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
21. 甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求乙车从B地到达A地的速度；
（2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程；
（3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间．
【答案】（1）100千米/小时；（2）100千米；（3）1.3小时或1.7小时
【解析】
【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论；
（2）根据题意求出n的值以及甲车的速度为即可解答；
（3）求出甲车速度以及乙车返回前的速度，再根据题意列方程解答即可．
【详解】解：（1）m＝300÷（180÷1.5）＝2.5，
∴乙车从A地到达B地所用的时间为2.5小时，
∴乙车从B地返回A地所用时间：5.5－2.5＝3（小时），
∴乙车从B地到达A地的速度：300÷3＝100（千米/小时）；
（2）n＝300÷[（300﹣180）÷1.5]＝3.75，
甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝80（千米/时），
故乙车到达B地时甲车距A地的路程为：80×（3.75﹣2.5）＝100（km）；
（3）甲车的速度为80千米/时，
乙车返回前的速度为：180÷1.5＝120（千米/时），
设乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为x小时，根据题意得：
80x+120x＝300﹣40或80x+120x＝300+40，
解得x＝1.3或x＝1.7，
故乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，甲车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．
【点睛】本题考查了函数的图象、有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键．
22. 夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元．若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%．
该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；
（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
【答案】（1）2000元
（2）A型号空调134台，B型号空调266台
【解析】
【分析】（1）设去年7月份A型空调每台销售价x元，那么今年7月份A型空调每台销售（x＋400）元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题；
（2）设今年7月份进A型空调m台，则B型空调（400−m）台，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【小问1详解】
解：设去年7月份该品牌A型号空调销售价为每台x元，那么今年7月份A型号空调每台销售（元），
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
当时，，
答：今年7月份该品质A型号空调销售价为每台2000元；
【小问2详解】
解：设进该品质A型号空调m台，则B型号空调台，获得的总利润为y元，
根据题意得，解得：，
，
的系数，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，可以获得最大利润，
答：进货方案是A型号空调134台，B型号空调266台.
【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据单价＝总价÷数量，列出关于x的分式方程；（2）根据总利润＝单辆利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．
23. 已知二次函数的图象过点，，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求函数y的最大值和最小值；
（3）当时，函数y的取值范围为，求m的取值范围；
（4）点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）最小值为0，最大值4；
（3）；
（4）或．
【解析】
【分析】（1）将，，代入解析式即可求解；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式，根据对称轴和x的取值范围即可得到最大值和最小值；
（3）根据抛物线的顶点式，结合函数图象即可求得m的取值范围；
（4）令可得，，，结合图象分交点在对称轴左侧和右侧两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：将，，代入，
可得：，
解得：，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴当时，最小值为，
当时，最大值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
令可得，，，
∴当，m的取值范围为；
【小问4详解】
解：令可得，，，
如图所示，当线段与该函数图象的交点在对称轴左侧时，，
解得：；
如图所示，当线段与该函数图象的交点在对称轴右侧时，，
综上，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其它数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：已知，正方形和正方形，连接，．当正方形绕点A旋转，如图1，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）类比探究：如图2，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）实践应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），若，且，，求线段的长．
【答案】（1），，证明见解析
（2），，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，则；延长交于Q，交于H，由三角形全等可知，证明，即可得到结论；
（2）证明，则，，则，再证明，即可得到；
（3）与交点记作M，先证明点B，E，F在同一条直线上，则，根据勾股定理得，；由得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
如图，延长交于Q，交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
，，理由如下：
如图，延长交于I，交于H，
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，与的交点记作M，
∵，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得， ，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图4，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，是解题的关键．A型号
B型号
进货价格（元/台）
1100
1400
销售价格（元/台）
今年的销售价格
2400
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
2. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以
【详解】解：35800
故选D
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
4. 的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
6. 如图，若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：的图象经过二、三、四象限，
，，
抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线，
对称轴在y轴的左边，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．
7. 如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题重点考查了矩形的性质，勾股定理，关键是由已知和为的中点得出为的中垂线．
由已知和为的中点，可得为的中垂线，连接可得，分别在和中由勾股定理求出和，最后在中由勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
∵且为的中点，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故选：C．
8. 如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x的函数解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，把题中数据代入即可得答案．
【详解】∵g取10N/kg，铁球质量为10kg，
∴G=mg=10×10=100（N），
∵OA=1m，OB=xm，
∴由杠杆平衡原理可得：F×OB=G×OA，即，
∴F关于x的函数解析式为．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握杠杆平衡原理是解题关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知正六边形循环了８次，由可知和的坐标相同，即可求出结果．
【详解】解：由题意可知：正六边形绕点O顺时针旋转一圈，旋转了8个，
∵当时，，
的坐标与的坐标相同，
如图所示：过点于点H，过点D作轴于点F，
，，
，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
，，
又，在中
，，
，，
又∵点在第三象限，
∴点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化，解直角三角形，学会探究规律的方法，确定和是解决问题的关键．
10. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．
【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．
∵ME⊥AB，，
∴是直角三角形，，，，
∵，
∴，．
又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是解题的关键．
13. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是__________.
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“”的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，
丙烷分子结构中“”的个数是：，
……
庚烷分子结构中“”的个数是：，
故答案为：16．
14. 如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
15. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
由题意得：平分，
∴
∵
∴
∵的面积为2，
∴的面积为，
∴的面积为，
故答案为：
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（－2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴，
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴，
∴，
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴，
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解．
三、解答题（共72分）
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握基本的解不等式组的方法是解题的关键．
先求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①可得：；
解不等式②可得：；
所以不等式组的解集为．
18. 先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，涉及通分、因式分解、分式加减乘除混合运算、约分、分式有意义的条件等知识，先将分式分子分母因式分解、再由分式加减乘除混合运算法则，利用通分、约分化简，再根据分式有意义的条件取得的值，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式加减乘除混合运算法则，根据分式有意义的条件取值是解决问题的关键．
【详解】解：
，
分式分母不能为0，
，则原式．
19. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
（1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
（2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）点A到地面的距离为；
（2）点A上升的高度为；
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解；
【小问1详解】
作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴m
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
m
∴点A到地面的距离为．
【小问2详解】
记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
m，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
20. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
21. 甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求乙车从B地到达A地的速度；
（2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程；
（3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间．
【答案】（1）100千米/小时；（2）100千米；（3）1.3小时或1.7小时
【解析】
【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论；
（2）根据题意求出n的值以及甲车的速度为即可解答；
（3）求出甲车速度以及乙车返回前的速度，再根据题意列方程解答即可．
【详解】解：（1）m＝300÷（180÷1.5）＝2.5，
∴乙车从A地到达B地所用的时间为2.5小时，
∴乙车从B地返回A地所用时间：5.5－2.5＝3（小时），
∴乙车从B地到达A地的速度：300÷3＝100（千米/小时）；
（2）n＝300÷[（300﹣180）÷1.5]＝3.75，
甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝80（千米/时），
故乙车到达B地时甲车距A地的路程为：80×（3.75﹣2.5）＝100（km）；
（3）甲车的速度为80千米/时，
乙车返回前的速度为：180÷1.5＝120（千米/时），
设乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为x小时，根据题意得：
80x+120x＝300﹣40或80x+120x＝300+40，
解得x＝1.3或x＝1.7，
故乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，甲车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．
【点睛】本题考查了函数的图象、有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键．
22. 夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元．若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%．
该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；
（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
【答案】（1）2000元
（2）A型号空调134台，B型号空调266台
【解析】
【分析】（1）设去年7月份A型空调每台销售价x元，那么今年7月份A型空调每台销售（x＋400）元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题；
（2）设今年7月份进A型空调m台，则B型空调（400−m）台，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【小问1详解】
解：设去年7月份该品牌A型号空调销售价为每台x元，那么今年7月份A型号空调每台销售（元），
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
当时，，
答：今年7月份该品质A型号空调销售价为每台2000元；
【小问2详解】
解：设进该品质A型号空调m台，则B型号空调台，获得的总利润为y元，
根据题意得，解得：，
，
的系数，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，可以获得最大利润，
答：进货方案是A型号空调134台，B型号空调266台.
【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据单价＝总价÷数量，列出关于x的分式方程；（2）根据总利润＝单辆利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．
23. 已知二次函数的图象过点，，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求函数y的最大值和最小值；
（3）当时，函数y的取值范围为，求m的取值范围；
（4）点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）最小值为0，最大值4；
（3）；
（4）或．
【解析】
【分析】（1）将，，代入解析式即可求解；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式，根据对称轴和x的取值范围即可得到最大值和最小值；
（3）根据抛物线的顶点式，结合函数图象即可求得m的取值范围；
（4）令可得，，，结合图象分交点在对称轴左侧和右侧两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：将，，代入，
可得：，
解得：，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴当时，最小值为，
当时，最大值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
令可得，，，
∴当，m的取值范围为；
【小问4详解】
解：令可得，，，
如图所示，当线段与该函数图象的交点在对称轴左侧时，，
解得：；
如图所示，当线段与该函数图象的交点在对称轴右侧时，，
综上，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其它数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：已知，正方形和正方形，连接，．当正方形绕点A旋转，如图1，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）类比探究：如图2，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）实践应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），若，且，，求线段的长．
【答案】（1），，证明见解析
（2），，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，则；延长交于Q，交于H，由三角形全等可知，证明，即可得到结论；
（2）证明，则，，则，再证明，即可得到；
（3）与交点记作M，先证明点B，E，F在同一条直线上，则，根据勾股定理得，；由得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
如图，延长交于Q，交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
，，理由如下：
如图，延长交于I，交于H，
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，与的交点记作M，
∵，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得， ，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图4，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，是解题的关键．A型号
B型号
进货价格（元/台）
1100
1400
销售价格（元/台）
今年的销售价格
2400
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