江苏省宿迁市沭阳县沭阳如东实验学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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分值：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 笛卡尔心形线B. 赵爽弦图
C. 莱洛三角形D. 科克曲线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 以下调查中，适宜普查的是（ ）
A. 调查全班每位同学所穿鞋子的尺码B. 调查某批次洗衣机的使用寿命
C. 调查公民保护环境的意识D. 调查黄海湿地中现有鱼的种类
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A、调查全班每位同学所穿鞋子的尺码，适宜用普查方式；
B、调查某批次洗衣机的使用寿命适宜用抽样调查方式；
C、调在公民保护环境的意识适宜用抽样调查方式；
D、调查黄海湿地中现有鱼的种类适宜用抽样调查方式．
故选：A．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 购买一张彩票，中奖B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是必然事件，故选项正确；
C、是随机事件，故选项错误；
D、是随机事件，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得，由此即可得．
【详解】解：因为从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，
所以袋子里红球的个数最多，
所以，
所以在四个选项中，的值不可能是10，
故选：D．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据事件发生的可能性的大小求出的取值范围是解题关键．
5. 如图，与关于点成中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. 点与点是对称点B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴点与点是对称点，，，，
∴结论错误．
故选：C．
6. 用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键．
7. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形D. 对角线相等的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
8. 如图，在四边形中，分别是的中点．若，，则的长是（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中位线，勾股定理．取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理可求的长．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，，，
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴的长为5．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 学校为了了解名初三学生的体重情况，从中抽取名学生进行测量，样本容量是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【详解】解：学校为了了解名初三学生的体重情况，从中抽取名学生进行测量，样本容量是．
故答案为：．
10. 若要制作统计图来反映某品牌奶粉中蛋白质、钙、维生素糖和其他物质含量的百分比，最适当的统计图是_________统计图．（填“折线”、“条形”或“扇形”）
【答案】扇形
【解析】
【分析】根据三种统计图所反映的数据的特征，进行选择即可．
【详解】解：要反映某种品牌奶粉中蛋白质，钙，维生素，糖和其它物质的含量的百分比，需选用扇形统计图．
故答案为：扇形．
【点睛】本题考查扇形统计图的特征，掌握扇形统计图反映各个部分占整体的百分比是正确判断的前提．此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
11. 已知样本的数据个数为30，且被分成4组，第一组至第四组的数据个数之比为2∶4∶3∶1，则第三组的数据频率为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查频数和频率，首先计算出第三组的频数，然后再算频率即可．
【详解】解：第三组的频数：，
∴第三组的数据频率为，
故答案为：．
12. 在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在_________区域的可能性最大（填A或B或C）．

【答案】A．
【解析】
【分析】根据哪个区域的面积大落在那个区域的可能性就大解答即可．
【详解】由题意得：，故落在A区域的可能性大，
故答案为A．
【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是了解那个区域的面积大落在那个区域的可能性就大．
13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：将绕点顺时针旋转到的位置，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 _____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的面积公式进行计算即可；
【详解】解：由菱形的面积公式：对角线乘积的一半得：
；
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的面积．熟记菱形的面积公式是解题的关键．
15. 如图，中，分别是的中点，点在上，延长交于，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【详解】∵，分别是，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，正方形的边长为，点分别在边上，若，则的周长等于_______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定；根据正方形的性质得，，根据旋转的定义，把绕点顺时针旋转可得到，根据旋转的性质得，，，，，于是可判断点在的延长线上，接着利用“”证明，得到，然后利用三角形周长的定义得到答案．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
把绕点顺时针旋转可得到，如图，
，，，，
点在的延长线上，
，
，
，
在和中，
，
，
，
而，
，
的周长
故答案为：．
17. 如图，正方形的边长为1，E为与点不重合的动点，以一边作正方形，设，点与点的距离分别为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接、、，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴的最小值为，
故答案为：．
18. 如图，点为内一点点不在上，过点作，与各边分别相交于点．设四边形的面积为，四边形的面积为，则的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由题意四边形，四边形都是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：点为平行四边形内一点点不在上，，，
四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，将按照某种方式平移得到，其中点的对应点的坐标为．

（1）请图中画出；
（2）已知与关于原点成中心对称，请在图中画出，此时与关于某点成中心对称，这一点的坐标为_______；
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形以及中心对称的性质，坐标与图形；
（1）根据点的坐标，可得出平移的方向和距离，据此可解决问题．
（2）根据题意，画出，据此即可解决问题．
【小问1详解】
因为，的坐标为，
所以向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度．如图所示，即为所求作的三角形．
【小问2详解】
如图所示，即为所求作的三角形．

因为与的交点坐标为，
所以与关于点成中心对称．
故答案为：．
20. 如图，为等边三角形，是等边三角形内一点．经过逆时针旋转后到达的位置．
（1）图中的对应边是_______，的对应角是_______；
（2）是_______三角形；
（3）若，则_______度．
【答案】（1），
（2）等边 （3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理；
（1）根据旋转的性质找出对应边、对应角即可；
（2）根据旋转的性质结合等边三角形的判定即可得出结论；
（3）根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可得出结果．
【小问1详解】
解：经过逆时针旋转后到达的位置，
图中的对应边是，的对应角是，
故答案为：，；
【小问2详解】
是等边三角形，
，
即旋转角的度数为，
即，
又与是旋转前后的对应边，
，
是等边三角形，
故答案为：等边；
【小问3详解】
由（2）知，是等边三角形，
，，
经过逆时针旋转后到达的位置，
，
，
是直角三角形，且，
，
故答案为：．
21. 环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下（每组含起点值，不含终点值）：
请解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______°；
（3）若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．
【答案】（1）见解析 （2）108
（3）该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数有260个．
【解析】
【分析】（1）先由B组频数及其对应百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他组的频数可得C组频数，即可补全频数分布直方图；
（2）用360°乘以C组频数所占比例即可；
（3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可．
【小问1详解】
解：∵样本容量为10÷25%=40，
∴C组频数为：40-（4+10+6+8）=12，
补全频数分布直方图如图：
；
【小问2详解】
解：在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×=108°，
故答案为：108；
【小问3详解】
解：估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为400×=260（个）．
答：该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数有260个．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布直方图，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体．
22. 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
（1）按表格数据格式，表中的______；______；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
【答案】（1）123；0.404；（2）0.40；（3）0.6；（4）15．
【解析】
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
【详解】解：（1），；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；
（3）由题意得：摸到白球的概率为0.4，
则摸到红球的概率是；
（4）设红球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，x=15是所列分式方程的解，
则口袋中红球有15只；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1．
23. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式；
（1）由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
24. 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE．
（1）求证：BF=DF.（2）若BC=8，DC=6，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）BF的长为6.25．
【解析】
【分析】（1）由翻折的性质可知∠EBD=∠CBD，由矩形的性质可知：AD∥BC，从而得到∠ADB=∠DBC，于是∠EBD=∠ADB，故此BF=DF；
（2）证明△ABF≌△EDF，根据全等三角形的性质有AF=EF，设BF=x，则AF=FE=8–x，在Rt△AFB中，可得：BF2=AB2+AF2，即可求出BF的长．
【详解】(1)矩形ABCD得出AD∥BC，
∴∠ADB=∠FDB根据对折得，∠FDB=∠DBC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴BF=DF(等边对等角)；
（2）在△ABF与△EDF中，∵∠AFB=∠EFD，∠A=∠E=90°，AB=DE，
∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF，
设BF=x，则AF=FE=8–x，
在Rt△AFB中，可得：BF2=AB2+AF2，
即x2=62+（8–x）2，解得x=6.25．
故BF的长为6.25．
【点睛】考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理等，难度不大.
25. 如图，的面积为与交于点，分别过点作的平行线相交于点，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是_______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，及三角形的中位线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，找准有最小值时的P点位置是解题的关键．
（1）证明四边形是平行四边形，再证明，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，则，再证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
四边形是平行四边形，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
平行四边形为菱形；
【小问2详解】
解：点是的中点，点是四边形边上的动点，
当垂直于菱形的一边时，有最小值．
过点作于点，
当点为的中点时，连接，
则为的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，
，
即，
解得：，
，
即的最小值是．
故答案为：．
26. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.
（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．
试题解析：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．
考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝5，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF．
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）能构成菱形，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE＝DF，根据，即可证明四边形为平行四边形；
（2）首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE＝AD时，求出t的值，进而得出答案；
（3）分三种情况讨论：①当∠EDF＝90°时；②当∠DEF＝90°时；③当∠EFD＝90°时，分别分析得出即可．
【小问1详解】
证明：在△DFC中，DF⊥BC，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF，
【小问2详解】
四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝5，
∴，
∵AE=t，CD=2t，
∴AD=10-2t，
又∵AE＝DF，AE//DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10﹣2t，
解得：．
即当时，四边形AEFD为菱形．
【小问3详解】
当秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
当∠EDF＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
∴．
②∠DEF＝90°时，
四边形AEFD为平行四边形．
则
AD＝AE，即10﹣2t＝t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
故当秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．解题关键是熟练掌握相关知识．
28. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_______．
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形．
【问题解决】：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结．求证：四边形是“中方四边形”：
【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，分别是的中点．
(1)试探索与的数量关系，并说明理由；
(2)若的最小值是4，则的长度为_______．(不需要解答过程)
【答案】[概念理解]D；[问题解决]证明见解析；[拓展应用]（1），理由见解析；（2）
【解析】
【分析】[概念理解]由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；
[问题解决]如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出▱是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；
[拓展应用] （1）如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；
（2）如图，记、的中点分别为、，连接交于，连接、，当点在上即、、共线时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（1）的结论即可求得答案．
【详解】[概念理解] 解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，
∴一定是“中方四边形”的是正方形；
故答案为：D；
[问题解决] 证明：如图2，设四边形的边、、、的中点分别为、、、，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为、、、，
、，，分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
，，
又，，
，
平行四边形是菱形，
，
．
又，，
，
，
又，
．
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
[拓展应用] （1）解：；理由如下：
如图3，记、的中点分别为、，连接，
四边形是中方四边形，，分别是，的中点，
四边形是正方形，
，，
，
，分别是，的中点，
，
；
（2）解：如图4，连接交于，连接、，
当点在上即、、共线时，最小，最小值为的长，
的最小值，
由性质探究知：，
又，分别是，的中点，
，，
，
的最小值，
则，
由拓展应用（1）知：；
；
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到白球的频数n
63
a
247
365
484
606
摸到白球的频率
0.420
0.410
0.412
0406
0.403
b