江苏省南京市致远初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B. 任意画一个三角形，其内角和是360°
C. 367人中至少有2人生日相同
D. 掷一枚骰子，向上一面的点数是6
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解：A选项：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故本选项错误；
B选项：任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件，故本选项错误；
C选项：367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故本选项正确；
D选项：掷一枚质地均匀的骰子，“向上一面的点数是6”是随机事件，故此选项错误；
故选C.
【点睛】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，正确把握相关定义是解题关键．
3. 若分式中的x、y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的倍D. 不变
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：中的x、y都扩大为原来的2倍，得
==，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．
4. 下列根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5. 已知a＝﹣1，b＝+1，那么a与b的关系为（ ）
A. 互为相反数B. 互为倒数
C. 相等D. a是b的平方根
【答案】B
【解析】
【分析】计算出ab的值即可作出判断．
【详解】∵ab＝（1）（1）＝1，∴a、b互为倒数．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与倒数的定义．
6. 顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍；②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；③三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角．其中真命题是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据中点三角形的性质判断即可．
【详解】解：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍是真命题；
②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边是真命题；
③三角形的三条内角平分线平分它的中点三角形的三个内角，三角形的角平分线不一定经过对边中点，是假命题；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________；
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得：，
解得：且，
∴x的取值范围是且，
故答案为：且．
8. 若分式的值等于，则的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．
9. 已知实数、y，如果，那么_________；
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式，当时有意义，也考查了算术平方根．
根据二次根式有意义的条件得到得，即可求解y，即可得到的值．
【详解】解：由题意得：，解得，
∴，
∴，
故答案为：3．
10. 在中，，则______°．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，

在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
11. 若，则的值为_________；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．根据得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若，则代数式的值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用配方法把x2﹣4x﹣6变为(x-2)2-10，然后把x＝2﹣代入计算即可.
【详解】∵x＝2﹣，
∴x2﹣4x﹣6
=(x-2)2-10
=(2﹣ -2)2-10
=10-10
=0.
故答案为：0．
【点睛】本题考查了整式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握配方法是解答本题的关键. 配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
13. 已知关于x的方程的解是正数，则实数m的取值范围为_________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程根的情况求参数，注意分式方程的分母不能为0．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据解为正数，求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵该方程的解是正数
∴，
解得，
又，即，
∴，
故答案为：且．
14. 为了了解我校美食节上同学们喜欢的美食种类情况，大金同学运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．①收集数据；②设计、分发调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．则正确的步骤顺序为_________．（填序号）；
【答案】②①④⑤③
【解析】
【分析】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法．根据已知统计调查的一般过程进而得出答案．
【详解】解：解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序为：
②设计、分发调查问卷；①收集数据；④整理数据；⑤分析数据；③用样本估计总体．
故答案为：②①④⑤③．
15. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝_____．
【答案】6．
【解析】
【分析】证明△CDA≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AD=DF，CF=AC，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：在△CDA和△CDF中，
∴△CDA≌△CDF，
∴AD=DF，CF=AC=15，
∴BF=BC-CF=12，
∵AD=DF，AE=EB，
.
故答案为6．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16. 如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为 （ 0＜＜ 180 ） ，连接 B ' D 、 C ' D ，若 B ' D  C ' D ，则  =____．
【答案】60°
【解析】
【分析】作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，根据旋转的性质得AD′＝AD，∠DAD′＝α，再根据等腰三角形的性质由B'D＝C'D得到B′H＝C′H，则AG＝DG′，从而在Rt△ADG′中可计算出∠ADG＝30°，于是得到∠DAG＝60°，从而得到α的度数．
【详解】解：作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形AB'C'D'，旋转角为α，
∴AD′＝AD，∠DAD′＝α，
∵B'D＝C'D，
∴B′H＝C′H，
∵四边形AB'C'D'为正方形，
∴AG＝DG′，
在Rt△ADG′中，AG＝
∴∠ADG＝30°，
∴∠DAG＝60°，
即α＝60°．
故答案为60°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
（1）先把各个二次根式化为最简二次根式，然后合并括号内的同类二次根式，再进行乘法运算；
（2）先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，将除法化为乘法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解 （2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先去分母化为一元整式方程，再解方程，注意检验；
（2）先去分母化为一元整式方程，再解方程，注意检验．
【小问1详解】
解：
，
解得：，
检验：当，，则是原方程的增根，
所以原方程无解．
【小问2详解】
解：
，
解得：，
检验：当，，则是原方程的增根，
所以原方程无解．
19. 先化简：，再从﹣2，﹣1，0，1这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，当a＝-2时，原式＝
【解析】
【分析】根据分式的计算方法化简，代入-2求值即可；
【详解】解：原式＝，
＝，
＝，
＝，
当a＝﹣2时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确计算是解题的关键．
20. 新学期开学时，某校对八年级学生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格（说明：成绩大于或等于60分为合格），学校随机选取了部分学生的成绩，整理并绘制成以下不完整的图表：
部分学生测试成绩统计表
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）表中 ， ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据该频数分布直方图，你获得哪些信息？
【答案】（1）0.1、0.3、18
（2）见详解 （3）答案不唯一：如本次测试成绩人数最少，说明很少一部分同学对“中学生日常行为规范”掌握不牢固
【解析】
【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据．
（1）先由分数段频数及其频率求得总人数，再根据“频率频数总数”可分别求得、、的值；
（2）根据以上所求结果即可补全直方图；
（3）依据频数分布直方图获取信息，答案不唯一．
【小问1详解】
被调查的总人数为，
、、，
故答案为：0.1、0.3、18；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：答案不唯一：如本次测试成绩人数最少，说明很少一部分同学对“中学生日常行为规范”掌握不牢固．
21. 利用中位线定理，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，， ．
求证： ．
【答案】是中点，．证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理．取的中点，连接，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，从而可得是的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，即可解答．
【详解】已知：如图，在中，，是的中点．
求证：．
证明：如图，取的中点，连接，
点是的中点，
是的中位线，
∴，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
故答案为：是的中点，．
22. 某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？
【答案】先遣队的速度是6km/h，大队的速度是5km/h
【解析】
【分析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程求解即可．
【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：，
解得：x=5，
经检验，x=5是所列分式方程的解，
∴1.2x=1.2×5=6（km/h），
答：先遣队的速度是6km/h，大队的速度是5km/h．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．
23. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为 ；
（3）小亮用转盘来代替摸球做实验．下面是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，使得转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．（友情提醒：在转盘上用文字“红色”或“白色”注明颜色，并标出白色区域的扇形的圆心角的度数）

【答案】（1）
（2）
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
【小问1详解】
解：∵摸到白球的频率约为，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵摸到白球的频率约为，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵摸到白球的频率约为，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为，
如图所示：
．
24. 已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足．
（1）不用圆规，请只用不带刻度直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）；
（2）判断：四边形的形状是 ．
【答案】（1）见解析 （2）正方形
【解析】
【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；
（2）证明，推出，得到四边形是菱形，再证明，即可得到四边形是正方形．
【小问1详解】
解：如图所示：；
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
∵正方形中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∵正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形．
【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键．
25. 如图，在平行四边形中，、为对角线上两点，，连接、、、．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，连接交于点，若．求证：四边形为正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于点，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，然后求出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据菱形的对角线互相垂直可得，从而得到，所以需要满足是菱形，即邻边相等；
（3）在（2）的条件下，由勾股定理得，可得，可得，得到，，进一步得到，再根据正方形的判定可得四边形是正方形．
【小问1详解】
证明：如图，连接交于点，
在中，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
【小问2详解】
证明：在中，，
是菱形，
，
，
平行四边形是菱形．
【小问3详解】
证明：在（2）的条件下，
，
设，则，，
由勾股定理得，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，作出辅助线是解题的关键．
26. 像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．
进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键．
（1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可；
（2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可；
（3）利用有理化分子，化去分母中的根号，再进行比较即可．
小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵
，
，
，
∴
∴．
27. 学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：
（1）阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接……”，
请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明；
（2）阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角四边形是矩形”，请你完成证明过程；
已知：如图2，四边形中，，，求证：四边形是矩形．
（3）茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形折叠，使得A、C两点重合，点B落在点，折痕分别交边于E、F两点，交于O两点，则四边形是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路．
茜茜的证明思路
（4）茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，将矩形沿着直线折叠，使点A与矩形内部的点P重合，问的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）；；
（4）的最小值是．
【解析】
【分析】（1）重新拼接如图所示，即可证明四边形不是平行四边形；
（2）连接，证明，推出，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是矩形；
（3）由折叠的性质得是的垂直平分线，证明，推出，证明四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立；
（4）当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，即可求得的最小值．
【小问1详解】
解：等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接如图所示，
∴，，而，
∴四边形不是平行四边形，
∴命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，，且，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
证明：由折叠知是的垂直平分线，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
故答案为：；；；
【小问4详解】
解：如图，连接，．

，，
，此时的最小值，
，
，
当与重合时，的值最小，由折叠得：，
由勾股定理得：，
，
当，，共线时，有最小值，
，
则的最小值是．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，注意运用数形结合的思想．分数段
频数
频率
9
36
0.4
27
0.2
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
由折叠易知是的垂直平分线，可以先证① ，得到② ，又由，可得四边形是平行四边形，再由③ ，于是是菱形．