苏科版八年级上册4.1 平方根课后练习题

这是一份苏科版八年级上册4.1 平方根课后练习题，文件包含专题42算术平方根-讲练课堂2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典原卷版苏科版docx、专题42算术平方根-讲练课堂2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

【名师点睛】
1.算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为√a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2.非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
【典例剖析】
【考点1】求一个的算术平方根
【例1】（2019·江苏·南通市启秀中学七年级阶段练习）9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．±3D．3
【答案】A
【分析】先计算9=3，再求3的算术平方根即可．
【详解】解：∵9=3，
∴3的算术平方根是3．
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的计算，注意先化简9=3，再进行求值，这道题属于易错题．
【变式1】（2022·江苏·南京市第一中学一模）49的值等于（ ）
A．23B．−23C．±23D．1681
【答案】A
【分析】根据算术平方根的性质求解即可．
【详解】解：49=23，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
【考点2】算术平方根的非负性
【例2】（2019·江苏·仪征市第三中学八年级阶段练习）若实数m、n满足|m−3|+n−6=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．12B．16C．12或15D．15
【答案】D
【分析】根据非负数的性质求得m,n的值，进而根据等腰三角形的定义，以及三角形三边关系取舍，即可求解．
【详解】解：m−3+n−6=0，
m-3=0，n-6=0，
m=3，n=6，
当等腰△ABC的底边是3时，腰是6；△ABC的周长：3+6+6=15，
当等腰三角形的底边是6时，三角形的三边为：6，3，3，不能构成三角形．
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键
【变式2】（2022·江苏·八年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2−2ab+b2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解．
【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0，
解得a=b，b=c，
所以，a=b=c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
【考点3】算术平方根的估算
【例3】（2022·江苏南通·七年级期末）已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（ ）
A．5与6之间B．4与5之间C．3与4之间D．2与3之间
【答案】B
【分析】由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为17,由4<17<5,可得17,的取值范围．
【详解】解：设正方形的边长为a，
∵正方形的面积是17，
∴a2=17,
∵a>0,
∴a=17,
∵4<17<5,
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，以及平方根的定义和估算无理数的大小，根据题意得出正方形的边长是解此题的关键．
【变式3】（2021·江苏·八年级专题练习）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵25<30<36，∴5<30<6，
且与30最接近的整数是5，∴当x−30取最小值时，x的值是5，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
【考点4】算术平方根的整数部分与小数部分
【例4】（2022·江苏·八年级专题练习）已知：2a−1的算术平方根是3，3b+1的立方根是−2，c是30的整数部分，求2a+b−3c的值．
【答案】−8
【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算30的大小，求出c值，代入即可．
【详解】解：∵2a−1的算术平方根是3，
∴2a−1=9，
∴a=5，
∵3b+1的立方根是−2，
∴3b+1=−8，
∴b=−3，
∵25<30<36 即：5<30<6，
∴c=5，
∴2a+b−3c=2×5+(−3)−3×5=−8．
【点睛】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键．
【变式4】（2022·江苏·八年级）设2+6的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】3．
【详解】试题分析：先找到6介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜6＜3，
即6的整数部分是2，
所以2+6的整数部分是4，小数部分是2+6-4=6-2，
即x=4，y=6-2，所以x−1=4−1=3．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
【考点5】算术平方根的规律探究
【例5】（2022·江苏·八年级专题练习）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.0001=0.01，0.01=0.1，1=1，100=10，10000=100，……
(1)已知20≈4.47，求2000的值；
(2)已知3.68≈1.918，a≈191.8，求a的值；
(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知3n≈1.26，3m≈12.6，用含n的代数式表示m．
【答案】(1)44.7
(2)a=36800
(3)m=1000n
【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（2）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（1）∵ 20≈4.47，∴ 2000=20×100≈4.47×10=44.7．
（2）∵191.8=1.918×100，∴ a=3.68×100=3.68×10000=3.68×10000=36800．∴a=36800．
（3）∵1.26×10=12.6，∴ 3n×10=3m．∴ 3n×31000=31000n=3m．∴1000n=m，即m=1000n．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．
【变式5】．（2022·江苏·八年级）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究n与n数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知2.06≈1.435，则20600≈ ；
②已知3.3489＝1.83，若x＝0.183，则x＝ ．
【答案】(1)0.4；40
(2)①143.5；②0.03489
【分析】（1）把n=0.16代入x=n求解即可；把n=1600代入y=n求解即可；
（2）①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解；
②根据算术平方根小数点向左移动1位；则被开方数小数点向左移动了2位求解．
(1)
解：当n=0.16时，x=n=0.16=0.4，
当n=1006时，x=n=1600=40，
故答案为：0.4，40；
(2)
解：①已知2.06≈1.435，则20600≈143.5；
故答案为：143.5；
②已知3.3489＝1.83，若x＝0.183，则x＝0.03489．
故答案为：0.03489．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
【考点6】算术平方根的实际应用问题
【例6】（2022·江苏南通·七年级期中）小丽手中有块周长为120cm的长方形硬纸片，其长比宽多10cm．
(1)求长方形的面积；
(2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为7：5，面积为805cm2的长方形纸片，试判断小丽能否成功，并说明理由．
【答案】(1)长方形的面积为815cm2
(2)小丽能成功，理由见解析
【分析】（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长比宽多10cm且长方形的周长是100cm，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出得出x、y的值，再利用长方形的面积公式即可求出结论；
（2）设长方形纸片的长为7a（a＞0）cm，则宽为5acm，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果．
(1)
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：x−y=102x+y=120，
解得：x=35y=25，
∴xy=35×25=815．
答：长方形的面积为815cm2．
(2)
解：能成功，理由如下：设长方形纸片的长为7a（a＞0）cm，则宽为5acm，
根据题意得：7a•5a=805，
解得：a1=23，a2=−23（舍去），
∴7a=723<35，5a=523<25，
∴小丽能成功．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、算术平方根以及长方形的周长（面积），解题的关键是：找准等量关系，正确列出相应的方程．
【变式6】（2022·云南昭通·七年级期中）如图，是一块面积为100平方分米的正方形工料．
(1)该正方形工料的边长为_________分米．
(2)工人师傅能否从该工料中裁出一块面积为72平方分米且长、宽比为4：3的长方形工件？若能，求出工件的长和宽；若不能，请说明理由（提示：6≈2.45）．
【答案】(1)10
(2)能裁出符合要求的长方形工件，工件长为9.8分米，宽为7.35分米
【分析】（1）根据算术平方根即可求解；
（2）设长方形工件的长为4x分米，宽为3x分米，根据题意求得边长为6，估算6的大小即可求解．
（1）设正方形的边长为a分米，根据题意得a2=100，∴a=10（负值舍去），故答案为：10；
（2）解：能．设长方形工件的长为4x分米，宽为3x分米，4x⋅3x=72，12x2=72，x2=6，解得x=6≈2.45（负值舍去）．∵4x≈9.8<10，3x≈7.35<10，∴能裁出符合要求的长方形工件，工件长为9.8分米，宽为7.35分米．
【点睛】本题考查了平方根的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•如皋市期末）4的算术平方根等于（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．4
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】∵22＝4，
∴4的算术平方根为2．
故答案为：2．
故选：A．
2．（2022春•海陵区期末）4的值等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】根据二次根式的性质即可解答．
【解析】4=2，
故选：D．
3．（2022春•铜山区期末）9的值为（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．92
【分析】9的算术平方根为3．
【解析】9=3．
故选：C．
4．（2022春•新罗区期中）下列计算正确的是（ ）
A．9=±3B．4=2C．0.4=0.2D．(−3)2=−3
【分析】应用算术平方根的定义进行求解即可得出答案．
【解析】A．因为9=3，所以A选项计算错误，故A选项不符合题意；
B．因为4=2，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；
C．因为0.4=105，所以C选项计算错误，故C选项不符合题意；
D．因为(−3)2=3，所以D选项计算错误，故D选项不符合题意；
故选：B．
5．（2022春•安陆市期中）已知：23.6=4.858，2.36=1.536，则0.00236=（ ）
A．48.58B．0.04858
C．0.1536D．以上答案全不对
【分析】根据二次根式的被开方数与算术平方根的关系即可直接求解．
【解析】0.00236是由23.6小数点向左移动4位得到，则0.00236=0.04858；
故选：B．
6．（2022春•老河口市月考）下列各式计算正确的是（ ）
A．(−6)2+(−8)2=−14B．(−6)2+(−8)2=14
C．−64=−8D．(−6)2+(−8)2=10
【分析】根据算术平方根的定义分别求出(−6)2+(−8)2和64的值，即可得出答案．
【解析】∵(−6)2+(−8)2=36+64=100=10，
故A，B选项均不正确，D选项正确；
∵64=8，
故C选项错误．
故选：D．
7．（2021秋•仪征市期末）已知实数x，y满足（x﹣3）2+y−4+|z﹣5|＝0，则以x，y，z的值为边长的三角形的周长是（ ）
A．6B．12
C．14D．以上答案均不对
【分析】根据绝对值、偶次方、算术平方根的非负性解决此题．
【解析】∵（x﹣3）2≥0，y−4≥0，|z﹣5|≥0，
∴当（x﹣3）2+y−4+|z﹣5|＝0，则（x﹣3）2＝0，y−4=0，|z﹣5|＝0．
∴x＝3，y＝4，z＝5．
∴以x，y，z的值为边长的三角形的周长是3+4+5＝12．
故选：B．
8．（2021秋•泰兴市期末）若方程x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．5的平方根是aB．5的平方根是b
C．5的算术平方根是aD．5的算术平方根是b
【分析】根据算术平方根、平方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解析】∵x2＝5的解分别为a、b，
∴5的平方根是a、b，
∴选项A不符合题意；
∵x2＝5的解分别为a、b，
∴5的平方根是a、b，
∴选项B不符合题意；
∵x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，
∴5的算术平方根是a，
∴选项C符合题意；
∵x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，
∴5的算术平方根是a，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
9．（2022春•镜湖区校级期末）在下列结论中，正确的是（ ）
A．(−54)2=±54B．x2的算术平方根是x
C．﹣x2一定没有平方根D．9的平方根是±3
【分析】根据平方根的意义逐项判断．
【解析】A.(−54)2=54，故错误；
B．x2的算术平方根是|x|，故错误；
C．﹣x2，当x＝0时，平方根为0，故错误；
D.9的平方根为±3，正确．
故选：D．
10．（2021春•江津区校级月考）已知a、b满足（a+3）2+b−1=0，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣2B．4C．2D．﹣4
【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解析】因为（a+3）2+b−1=0，
所以a+3=0b−1=0，
解得a=−3b=1，
所以b﹣a＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2022•雅安）4= 2 ．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解析】∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，即4=2．
故答案为：2．
12．（2022•营口二模）5的算术平方根 5 ．
【分析】利用算术平方根定义解答即可．
【解析】5的算术平方根是5．
故答案为：5．
13．（2022•南岗区校级开学）若4a+1的算术平方根是5，则a的算术平方根是 6 ．
【分析】根据算术平方根的定义求出a的值即可．
【解析】∵4a+1的算术平方根是5，
∴4a+1＝25，
解得a＝6，
∴a的算术平方根是6．
故答案为：6．
14．（2022春•思明区校级期末）已知a2≤40，若a+2是整数，则a＝ 2或﹣2或﹣1 ．
【分析】利用a+2是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤40得到﹣2＜a＜2且a为整数，然后找出满足条件的整数a的值即可．
【解析】∵a+2是整数，
∴a为整数且a≥﹣2，
∵a2≤40，
∴﹣2＜a＜2且a为整数，
∴当a＝﹣2或﹣1或2时，a+2是整数．
故答案为2或﹣2或﹣1．
15．（2022春•徐汇区校级期中）计算：(π−17)2= 17−π． ．
【分析】根据二次根式的化简方法进行计算即可．
【解析】原式＝|π−17|
=17−π．
故答案为：17−π．
16．（2022春•工业园区校级月考）代数式2020−x+2y的最大值是 2020 ．
【分析】根据算术平方根的非负数性质解答即可．
【解析】∵x+2y≥0，
∴2020−x+2y≤2020，
∴代数式2020−x+2y的最大值是2020．
故答案为：2020．
17．（2022春•海安市期末）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如下：
根据表中数据写出262.44的算术平方根 16.2 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案．
【解析】∵16.22＝262.44，
∴262.44=16.2．
故答案为：16.2．
18．（2021秋•苏州期末）在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为 5 厘米（π取3）．
【分析】根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程计算．
【解析】设溢水杯内部的底面半径为x，由题意得：
πx2×0.8＝60．
∴x2=600.8π=25．
∵x＞0．
∴x=25=5（厘米）．
故答案为：5．
三．解答题（共6小题）
19．（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．
（1）169；
（2）481；
（3）0.09；
（4）（﹣3）2．
【分析】利用求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助乘方运算来寻找一个非负数的算术平方根．
【解析】（1）∵132＝169，
∴169的算术平方根是13，
即169=13；
（2）∵（29）2=481，
∴481的算术平方根是29，
即481=29；
（3）∵0.32＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3，
即0.09=0.3；
（4）∵32＝9＝（﹣3）2，
∴（﹣3）2的算术平方根是3，
即(−3)2=3．
20．（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（12m﹣2）2+2n+6=0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
（2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
【解析】（1）由题意得，12m﹣2＝0，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3；
（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
21．（2020秋•耒阳市校级期中）求下列式子中的x、y的值：
（1）（3x﹣1）2＝4；
（2）2x−1+(4x+y)2=0．
【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）根据非负数的性质求解即可．
【解析】（1）（3x﹣1）2＝4，
3x﹣1＝2或3x﹣1＝﹣2，
解得x＝1或x=−13；
（2）∵2x−1+(4x+y)2=0，而2x−1≥0，（4x+y）2≥0，
∴2x−1=04x+y=0，
解得x=12y=−2．
22．（2022春•寿光市期中）（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 2 位，其算术平方根的小数点向 右 移动 1 位；
（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈ 0.2236 ，500≈ 22.36 ；
（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由240=4×60=4×60代入计算即可得出答案，由0.54=9×0.06=9×0.06根据（1）中的规律代入计算即可得答案．
【解析】（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈0.2236，500≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
（3）240=4×60=4×60≈2×7.746≈15.492，
0.54=9×0.06=9×0.06≈3×0.2449≈0.7347．
23．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 3 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是2，请写出两个满足要求的x值．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）2和4都可以．
【解析】（1）第一次，81的算术平方根是81=9，9是有理数，不能输出；
第二次，9的算术平方根是3，3是有理数不能输出；
第三次，3的算术平方根是3，是无理数，输出3，
故答案为：3；
（2）0和1满足要求．理由如下：
0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）∵4的算术平方根是2，2的算术平方根是2．
∴两个满足要求的x值为4和2．
24．（2021春•嘉祥县期中）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为360cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．
【分析】根据算术平方根的概念求出正方形的边长，根据长方形纸片的面积求出边长，计算比较得到答案．
【解析】不同意小明的说法，
面积为400cm2的正方形纸片的边长为：400=20，
设面积为360cm2的长方形纸片的长为4x，宽3x
∴4x•3x＝360
∴x=30
∴长方形纸片的长为430，宽330
∵430＞20
∴小丽能不用这块纸片裁出符合要求的纸片．
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
n
4
x
0.04
y
400
…
x
16.0
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
x2
256.00
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56