专题1.3 整式的乘法之七大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22347" 【典型例题】 PAGEREF _Tc22347 \h 1
\l "_Tc27402" 【考点一 计算单项式乘单项式】 PAGEREF _Tc27402 \h 1
\l "_Tc7672" 【考点二 计算单项式乘多项式】 PAGEREF _Tc7672 \h 4
\l "_Tc6559" 【考点三 计算多项式乘多项式】 PAGEREF _Tc6559 \h 6
\l "_Tc3212" 【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 PAGEREF _Tc3212 \h 9
\l "_Tc22666" 【考点五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 PAGEREF _Tc22666 \h 10
\l "_Tc17130" 【考点六 多项式乘多项式——化简求值】 PAGEREF _Tc17130 \h 12
\l "_Tc8877" 【考点七 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】 PAGEREF _Tc8877 \h 13
\l "_Tc18668" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18668 \h 16
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【分析】（1）根据积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）根据积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（3）根据积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（4）根据积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算，最后合并同类项即可求解；
（5）根据积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算，最后合并同类项即可求解；
（6）根据积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：；
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟练掌握整式指数幂的运算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)；
(7)；(8) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式计算可得结果；
（2）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；
（3）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；
（4）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果；
（5）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；
（6）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；
（7）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果；
（8）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：；
（7）解：；
（8）解：．
【点睛】本题考查单项式与单项式相乘，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
2．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)；
(7)；(8)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)0；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【分析】（1）根据幂的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（2）根据积的乘方，同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解；
（3）根据幂的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（4）根据单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（5）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（6）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（7）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（8）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
（5）解：原式．
（6）解：原式．
（7）解：原式．
（8）解：原式．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
【考点二 计算单项式乘多项式】
例题：（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用单项式乘多项式法则计算；
（2）先算积的乘方，再利用单项式乘多项式法则计算；
（3）先算单项式乘多项式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：；
（2）
（3）．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘多项式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法则，细心计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的乘法法则，正确计算是解题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式：
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（4）根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
【考点三 计算多项式乘多项式】
例题：（2023下·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；
（2）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；
（3）先利用多项式乘多项式法则作乘法，再加减．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；
（4）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则．
2．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键．
【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2023上·吉林长春·八年级统考期末）若，则的值为．
【答案】4
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值．
【详解】解：解：，
，
．
故答案为：4．
【变式训练】
1．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）若，则．
【答案】30
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用等式的恒等性求出、是解题关键．先去括号，再根据等式的恒等性求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：，，
，，
；
故答案为：30．
2．（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级天门市九真中学校联考阶段练习）如果P为整数，且 ，则m的值为．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，计算，令其对应项系数相等即可求解．
【详解】解：∵
∴
解得：
故答案为：
【考点五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（2023上·山东济宁·七年级统考期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为．
【答案】
【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键．
【详解】解：多项式不含项和项，
，
解得：，
原多项式为，
当时，
原式
；
故答案：．
【变式训练】
1．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）如果的乘积中不含项，则m=．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法，先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意二次项的系数等于0列式求解即可．
【详解】
∵乘积中不含项，
∴，
解得，
故答案为：．
2．（2023上·湖北·八年级校考周测）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4．求：
(1)系数与的值；
(2)二项式与的积．
【答案】(1)系数的值为，系数的值为；
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式．
（1）先计算，得，再根据关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于与的方程，解方程即可得到答案；
（2）把与的值代入，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，
，
解得：，
系数的值为，系数的值为；
（2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为，
二项式与的积为：
．
【考点六 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）化简，其中
【答案】
【分析】本题主要考查整式乘法，注意按照多项式乘多项式运算法则，不要漏乘，最后合并同类项，结果为最简．
【详解】解：原式
当时，原式．
【变式训练】
1．（2023上·广东广州·八年级校联考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则去括号，合并同类项，再将字母的值代入计算即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
当时，原式．
2．（2023上·上海松江·七年级校考阶段练习）先化简再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】
，
∵，
∴原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键．
【考点七 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积；
（2）当，时，代入（1）中代数式计算即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
；
（2）当，时，原式．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
(1)求计划种植草坪的面积；
(2)已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
【答案】(1)计划种植草坪的面积为
(2)种植草坪应投入的资金是243000元
【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．
（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2），，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．

(1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）
(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示）
(3)如果，，求整个长方形运动场的面积．
【答案】(1)右上方区长方形场地的周长为：，左下角区长方形场地的周长为：
(2)整个长方形运动场的周长为：
(3)整个长方形运动场的面积为
【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键．
（1）区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，图形结合即可求解；
（2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解；
（3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入，计算即可．
【详解】（1）解：区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，
∴区长方形场地的长为：，宽为：，
∴右上方区长方形场地的周长为：，
左下角区长方形场地的周长为：．
（2）解：由（1）可知，区长方形场地的长为：，宽为，
∴整个长方形运动场的长为：，宽为：，
∴整个长方形运动场的周长为：．
（3）解：整个长方形运动场的长为：，宽为：，
∴整个长方形运动场的面积为：，
当，时，原式，
∴整个长方形运动场的面积为．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·重庆·九年级校联考期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法．熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
根据同底数幂的乘法计算求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式进行排除选项．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，计算正确，故符合题意；
C、与不是同类项，不能计算，错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
3．（2023上·上海青浦·七年级统考期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
故选B．
4．（2023上·吉林四平·八年级统考期末）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，直接利用多项式乘以多项式运算法则计算出与的乘积，再根据条件可得，再解得出答案．
【详解】解：，
乘积中不含的一次项，
，
解得：，
故选：D．
5．（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）已知 ，代数式的值是（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】C
【分析】由得到，再代入所求，进行化简，整体代入即可求解．
【详解】∵，
∴，，
∴==，
故选C．
二、填空题
6．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期中）计算．
【答案】
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则进行计算即可．
【详解】，
故答案为：．
7．（2023上·黑龙江绥化·八年级校考期中）已知的乘积项中不含项，则．
【答案】2
【分析】本题主要考查多项式中无关项问题，涉及多项式乘多项式，解一元一次方程等知识，利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件求解列方程求解，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：
∵乘积项中不含项，
∴，解得，
故答案为：2．
8．（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）长方形的长是，它的周长是，则它的面积是．
【答案】
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式与图形面积，整式的加减运算的应用，本题先求解长方形的宽，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵长方形的长是，它的周长是，
∴长方形的宽为：，
∴面积为：，
故答案为：
9．（2023上·河南鹤壁·八年级校联考期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则手掌捂住的多项式是．
【答案】
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，根据题意可得捂住的部分为，利用整式的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）若规定符号的意义是：，当时，的值为．
【答案】9
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值．熟练掌握多项式乘以多项式，代数式求值是解题的关键．
由题意可得，，由，可得，，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：9．
三、解答题
11．（2023上·全国·八年级专题练习）计算下列各题．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算；
（2）先根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用多项式的乘法法则即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．
14．（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】首先去括号、合并同类项，得到最简式，把x、y的值代入最简式，求出即可．
【详解】

当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，熟练掌握整式的混合运算和求值是解题的关键．
15．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】，
【分析】根据整式的混合运算法则进行计算化简，再根据偶次幂和绝对值非负求出，，最后代入计算即可．
【详解】
；
∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
则原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，偶次幂和绝对值非负等知识，掌握整式的混合运算法则，是解答本题的关键．
16．（2023上·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）若的积中不含项与项，
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先去括号，合并同类项，再根据积中不含项与项，可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可求得；
（2）把p、q的值分别代入代数式，计算即可求得．
【详解】（1）
积中不含有项与项
，解得；
（2）
将，代入，得
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值问题，解题的关键是正确求出p，q的值．
17．（2023上·全国·八年级专题练习）如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．

(1)用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
(2)若，，求出绿化面积．
【答案】(1)平方米
(2)1700平方米
【分析】此题考查整式的混合运算，
（1）根据矩形和正方形的面积公式列式计算即可得到结论；
（2）把，代入（1）的结果计算即可得到结论．
熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）绿化的面积是：
（平方米），
答：绿化的面积是平方米；
（2）当，时，
原式
（平方米），
答：绿化面积为1700平方米．
18．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

(1)当，，，时，__________，__________．
(2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示）
(3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示）
【答案】(1)，
(2)，
(3)b
【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】（1）解：，
，
，，，，
，
；
故答案为：，；
（2）解：，，
，
；
故答案为：，；
（3）解：，，
，
，
，
．
故答案为：．