专题1.4 平方差公式与完全平方公式之八大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19931" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19931 \h 1
\l "_Tc32527" 【考点一 判断是否可用平方差公式运算】 PAGEREF _Tc32527 \h 1
\l "_Tc8488" 【考点二 运用平方差公式进行运算】 PAGEREF _Tc8488 \h 2
\l "_Tc24373" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc24373 \h 4
\l "_Tc10165" 【考点四 利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】 PAGEREF _Tc10165 \h 7
\l "_Tc14126" 【考点五 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc14126 \h 8
\l "_Tc15109" 【考点六 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc15109 \h 11
\l "_Tc4391" 【考点七 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc4391 \h 12
\l "_Tc16510" 【考点八 完全平方公式与几何图形】 PAGEREF _Tc16510 \h 16
\l "_Tc22831" 【过关检测】 PAGEREF _Tc22831 \h 20
【典型例题】
【考点一 判断是否可用平方差公式运算】
例题：（2023上·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）下列各乘法中，不能用平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·上海长宁·七年级上海市复旦初级中学校考期中）下列各等式中，不能用平方差公式的是( )
A．B．
C．D．
【考点二 运用平方差公式进行运算】
例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)；(2)；(3)．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：
(1)(2)
【考点四 利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】
例题：（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值：
(1)(2)．
【变式训练】
1．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）利用乘法公式进行简便计算．
(1)(2)
2．（2023上·八年级课时练习）用简便方法计算：
(1) ；(2)．
【考点五 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
【变式训练】
1．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：
已知，，求的值．
解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
参考上述过程解答：
(1)若，．
①___________；
②求的值；
(2)已知，，求的值．
2．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
(1)问题发现：若x满足，求：的值．
(2)若，求：的值．
【考点六 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如果是一个完全平方式，那么k的值是．
【变式训练】
1．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）若是x的完全平方式，则
2．（2023上·全国·八年级期末）若多项式的结果是一个多项式的平方，则单项式．
【考点七 平方差公式与几何图形】
例题：（2023上·吉林·八年级统考期末）探究活动：
（1）如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是．（写成两数平方差的形式）
（2）如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是．（写成多项式乘积的形式）
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：．
知识应用：
①计算：；
②计算
【变式训练】
1．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)请应用这个等式完成下列各题：
①已知，则______．
②计算：．
2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是．
(2)若，，求的值．
(3)计算的值是．
【考点八 完全平方公式与几何图形】
例题：现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）；
图1表示： ；图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若，，则 ； ；
(3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【变式训练】
1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则；
(2)若，，求的值；
(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为．
2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．
(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ；
(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；
(3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）如果一个数，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（ ）
A．37B．80C．84D．225
3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）下列运算：①；②；③；④．其中，运算错误的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第一中学校考期中）已知是完全平方式，为常数，则的值为( )
A．或B．或C．或D．
5．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，一块直径为的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a，b的两个圆纸后剩下的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：．
7．（2023上·广西河池·八年级统考期末）已知，，则的值为．
8．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）若，则，．
9．（2023上·吉林白山·七年级统考期末）如果，那么式子的值是．
10．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）有两个正方形．现将放在的内部得到图甲，将并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和24．则正方形的边长之和为 ．
三、解答题
11．（2024上·北京西城·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题
(1)
(2)
(3)
(4)
13．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
14．（2023下·山东济南·六年级校考阶段练习）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中
15．（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）已知,．求:
(1)的值;
(2)的值．
16．（2023上·全国·八年级课堂例题）利用乘法公式计算：
(1)；
(2)；
(3)．
17．（2023上·江西南昌·八年级校考期中）阅读下列材料：
规定一种新运算：．例如：，按照这种运算的规定，请解答下列问题：
(1)当，求的值；
(2)若，求的值．
18．（2023上·吉林·八年级校考期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：______；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，求的值：
②计算：．
19．（2024上·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
(1)由图2可以直接写出之间的一个等量关系是；
(2)两个正方形如图3摆放，边长分别为．若，求图中阴影部分面积和．
20．（2023上·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为
所以
所以
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若则_____；
(3)如下图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．