专题1.6 整式的除法之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31786" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31786 \h 1
\l "_Tc8005" 【考点一 单项式除以单项式】 PAGEREF _Tc8005 \h 1
\l "_Tc13547" 【考点二 多项式除以单项式】 PAGEREF _Tc13547 \h 5
\l "_Tc9545" 【考点三 含整式除法的整式四则混合运算】 PAGEREF _Tc9545 \h 7
\l "_Tc30130" 【考点四 整式的混合运算之化简求值】 PAGEREF _Tc30130 \h 10
\l "_Tc16282" 【考点五 含整式除法的新定义型问题】 PAGEREF _Tc16282 \h 12
\l "_Tc4455" 【考点六 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式】 PAGEREF _Tc4455 \h 13
\l "_Tc10912" 【过关检测】 PAGEREF _Tc10912 \h 17
【典型例题】
【考点一 单项式除以单项式】
例题：（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方；
（1）根据单项式除以单项式的法则计算即可；
（2）根据单项式除以单项式的法则计算即可；
（3）对原式变形，然后根据幂的运算法则计算即可；
（4）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握单项式除以单项式运算法则．
（1）根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
（2）首先将转化成a，然后根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
（3）根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
（4）根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
（5）根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
（6）把或看成整体，然后根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
【详解】（1）
；
（2）解法一：
；
解法二：
；
（3）解法一：
；
解法二：
；
（4）解法一：
；
解法二：
．
（5）
；
（6）解法一：
；
解法二：
．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用单项式除以单项式得运算法则计算；
（2）利用单项式除以单项式得运算法则计算；
（3）利用单项式除以单项式得运算法则，积的乘方运算法则计算；
（4）利用单项式除以单项式得运算法则计算．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【考点二 多项式除以单项式】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．
（1）用多形式的每一项分别与单项式相除即可
（2）用多形式的每一项分别与单项式相除即可
【详解】（1）原式
；
（2）原式=
．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）原式
（2）原式．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题主要考查整式的除法，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．
（1）先计算幂的乘方，再根据整式的除法运算法则，再由减法的运算法则计算即可．
（2）根据单项式除以单项式运算法则计算即可；
（3）根据单项式除以单项式运算法则计算即可；
（4）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；
（5）根据多项式除以单项式运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
．
【考点三 含整式除法的整式四则混合运算】
例题：（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用多项式除以单项式及积的乘方运算法则计算后，再合并；
（2）利用多项式除以单项式运算法则就算后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．
（1）首先计算括号内的平方差公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项，然后计算多项式除以单项式；
（2）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式和单项式除以单项式，然后计算加减．
【详解】（1）
．
（2）
．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据多项式与多项式的乘法法则和多项式与单项式的除法法则计算，再合并同类项；
（2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可；
（3）先算积的乘方，再算除法和乘法，然后合并同类项；
（4）根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【考点四 整式的混合运算之化简求值】
例题：（2019下·七年级单元测试）先化简再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把所给代数式化简，再把代入计算即可．
【详解】
，
当时，
原式．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，根据整式的加减运算法则以及整式的乘除法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式
，
，，
原式．
2．（2023上·海南海口·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，1．
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性和整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【详解】解：原式
；
，
且，
解得：，
将代入，得：．
3．（2023上·山东日照·八年级日照港中学校考阶段练习）先化简，再求值：，其中满足：
【答案】，0
【分析】本题考查整式的化简与求值，0指数幂，先根据平方差公式，完全平方公式对整式进行化简，再根据0指数幂求出a的值，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
；
，
当时，原式．
【考点五 含整式除法的新定义型问题】
例题：（2023下·福建三明·七年级统考期中）若定义表示xyz，表示，则运算 的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义的公式列式计算即可．
【详解】解：由题意得：
故选：A．
【点睛】此题考查了单项式除以单项式，正确理解定义的计算公式及单项式除以单项式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）定义新运算符号⊕：，求．
【答案】
【分析】根据新运算得出原式，再根据整式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题的关键．
2．（2022上·内蒙古通辽·八年级统考期末）在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“”如下：＝，根据这个新规定可知＝．
【答案】
【分析】根据题意直接由定义运算的顺序转化为整式的混合运算，进一步计算得出答案即可．
【详解】解：2x@（-3x）
=2x（-3x）÷（-3x）2
=-6x2÷9x2
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的整式的混合运算，理解规定的运算方法，把问题转化进行解决问题．
【考点六 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式】
例题：（2023上·山西晋城·八年级统考期中）阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．
项目实施：
【答案】（1）；（2）B；（3）；
【分析】本题主要考查了多项式的除法运算，
（1）根据题意，把按的指数从大到小排列即可；
（2）理解“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，是类比的数学思想，选择答案即可；
（3）根据“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”，用竖式计算，得出答案即可；
理解题意“把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上”是解题的关键．
【详解】（1）把按的指数从大到小排列：，
故答案为：；
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比，
故选：B；
（3）根据题目方法用竖式计算：
∴的商式是，余式是，
故答案为：；．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图：
+
，
．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：余式为，能被整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式除以多项式，所得的商式为______ ；
(2)已知能被整除，则 ______ ；
(3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)能，另一边长为
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（3）根据题意，得到张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案．
【详解】（1）解：列竖式如下：
多项式除以多项式，所得的商式为，
故答案为：；
（2）列竖式如下：
能被整除，
，
解得：，
故答案为：；
（3）解：能，理由如下：
根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是，
张卡片，张卡片，张卡片的总面积为，
列竖式如下：
余式为，
能被整除，商式为，
可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为．
【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）计算：的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）小明在计算时，把括号内的减号不小心抄成加号，那么正确结果和错误结果的差是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】略
3．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）若三角形的面积为，底边上的高为，则三角形的底边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：三角形的底边长为，
故选C．
4．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）若，则的取值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据题意列出式子，然后根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
故选：A．
5．（2023上·天津河东·八年级统考期末）下列计算中，正确的个数有（ ）
（1） （2）
（3）
（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，逐一计算判断即可．
【详解】解：（1），正确，符合题意；
（2），错误，不符合题意；
（3），错误，不符合题意；
（4），错误，不符合题意；
故选：A．
二、填空题
6．（2023上·八年级课时练习）（1）．
（2）．
【答案】
【分析】（1）利用整式的除法法则计算各题即可；
（2）利用整式的除法法则计算各题即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
7．（2023下·甘肃张掖·七年级校考阶段练习）已知，那么的值为．
【答案】4
【分析】利用单项式除以单项式得，又与相等，求出，再计算即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，同类项的概念，解题的关键是掌握判定同类项注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．
8．（2024下·全国·七年级假期作业）若,，则的值是．
【答案】
【解析】略
9．（2024下·全国·七年级假期作业）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果是，则．
【答案】
【解析】略
10．（2023上·全国·八年级课堂例题）小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为被除式，要求商必须为．若小明报的整式是，则小亮应报的整式是．
【答案】
【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可．
【详解】解：根据题意，小亮报的整式为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．
三、解答题
11．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂乘法及单项式除以单项式
（1）本题考查幂的乘方，同底数幂乘法及多项式除以单项式，先计算括号，再根据多项式除以单项式即可得到答案；
（2）本题考查同底数幂乘法及单项式除以单项式，先算乘法，再算除法即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（2022上·安徽阜阳·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，
（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘法和除法即可；
（2）先利用完全平方公式计算中括号内的，合并化简，再计算除法即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：：
．
13．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)0
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键；
（1）分别根据幂的乘方和同底数幂的乘法化简后计算即可；
（2）先算积的乘方，再算除法，最后算减法即可；
（3）先根据积的乘方和幂的乘方运算，再算除法和加法；
（4）先算积的乘方，再算乘除即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
14．（2023上·全国·八年级课堂例题）已知，求，的值．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方，以及单项式与单形式的除法运算，把左边按“先乘方，再乘除”的运算顺序进行计算．所计算的结果与等式的右边相等，依据相等关系构造方程（组）求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得．
15．（2023上·全国·八年级课堂例题）先化简，再求值：
，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键．先利用多项式乘多项式，平方差公式、完全差平方公式进行计算化简后，然后算除法，再算加法，最后代值求解即可；
【详解】解：
原式
．
当，时，
原式．
16．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，原式利用完全平方公式及平方差公式，以及多项式乘除单项式法则计算化简，再代入即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
17．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）化简求值：当，求值时，小明说“条件是多余的”．小刚说：“不给条件b，就求不出结果，所以不是多余的”．谁说的对?说明为什么?
【答案】小明说得对，理由见解析
【分析】本题主要考查了代数式的化简与求值、整式的混合运算等知识点，灵活运用整式的混合运算法则代数式是解题的关键．
先对代数式进行化简，即将字母和指数均相同的同类项进行合并，从而得到化简后的代数式；将代数式化简后，原式中若还不包含b的式子，则小明说的对，反之则小刚说的对即可完成解答．
【详解】解：小明说得对，理由如下：
∵
．
∴原式化简结果不含b，计算结果与b无关，
∴小明的说法正确．
18．（2023下·江苏·七年级校联考期中）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如：


即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：
余式为0
能被整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式除以多项式，所得的商式为________；
(2)已知关于x的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式；
(3)已知能被整除，则________；
(4)如图，有2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3；
(4)能，．
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）根据被除式除式商式余式进行计算，即可求出多项式；
（3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（4）根据题意，得到6张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案．
【详解】（1）解：列竖式如下：
多项式除以多项式，所得的商式为，
故答案为：；
（2）解：关于x的二次多项式除以，商式是，余式是，
该二次多项式为：，
即多项式为：；
（3）解：列竖式如下：
能被整除，
，
解得：，
故答案为：3；
（4）解：能，
根据题意，A卡片的面积是，B卡片的面积是，C卡片的面积是，
2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片的总面积为，
列竖式如下：
余式为0，
能被整除，商式为，
可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为．
【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式．
任务一 搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数．
（1）请把按的指数从大到小排列：．
任务二 竖式计算：
例如：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．

（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．方程
任务三 学以致用
（3）的商式是，余式是．