专题2.1 两条直线的位置关系之七大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28020" 【典型例题】 PAGEREF _Tc28020 \h 1
\l "_Tc17202" 【考点一 对顶角的定义】 PAGEREF _Tc17202 \h 1
\l "_Tc24540" 【考点二 利用对顶角相等求角度】 PAGEREF _Tc24540 \h 2
\l "_Tc9760" 【考点三 求一个角的余角、补角】 PAGEREF _Tc9760 \h 4
\l "_Tc23741" 【考点四 垂线的定义的理解与应用】 PAGEREF _Tc23741 \h 5
\l "_Tc16920" 【考点五 利用垂线的定义求角的度数】 PAGEREF _Tc16920 \h 7
\l "_Tc17958" 【考点六 作垂线与求点到直线的距离】 PAGEREF _Tc17958 \h 10
\l "_Tc28301" 【考点七 与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题】 PAGEREF _Tc28301 \h 14
\l "_Tc9426" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9426 \h 18
【典型例题】
【考点一 对顶角的定义】
例题：（2024上·山西晋城·七年级统考期末）下列各选项中，与属于对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了对顶角的定义：如果两个角有公共顶点，且角的两边应互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此可得答案．
【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的与属于对顶角，
故选：A．
【变式训练】
1．（2024上·重庆沙坪坝·七年级统考期末）下列各图中，与互为对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
根据对顶角的概念判断即可．
【详解】解：A、图中，与不是对顶角，不符合题意；
B、图中，与是对顶角，符合题意；
C、图中，与不是对顶角，不符合题意；
D、图中，与不是对顶角，不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列所给的和中，是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点即可解答．
【详解】A、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故A项错误；
B、的反向延长线并不是的两边，不符合对顶角的定义，故B项错误；
C、的反向延长线是的两边，且两角有公共顶点，符合对顶角的定义，故C项正确；
D、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故D项错误．
故选：C．
【考点二 利用对顶角相等求角度】
例题：（2024上·山西晋城·七年级统考期末）如图，直线与交于点O，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】主要考查了对顶角性质和垂线的定义，正确得出的度数是解题关键．直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【变式训练】
1．（2024上·福建福州·七年级校联考期末）如图，已知直线，相交于O，平分，，则．
【答案】/35度
【分析】根据角平分线定义得到，根据对顶角性质得到．
本题主要考查了角平分线，对顶角．熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，是解决问题的关键．
【详解】∵平分，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
2．（2024上·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，AB与CD相交于点O，，，则．
【答案】/90度
【分析】本题考查对顶角，角的和差计算，解题的关键是根据对顶角相等得到，再根据，代入计算计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【考点三 求一个角的余角、补角】
例题：（2024上·江苏南京·七年级校考期末）若，则的余角是，的补角是．
【答案】
【分析】本题考查了余角和补角，互余两角之和为，互补两角之和为，据此可解．
【详解】解：的余角是，
的补角是，
故答案为：，
【变式训练】
1．（2024上·河北承德·七年级统考期末），则的余角为，的补角为．
【答案】
【分析】本题考查余角和补角的性质定理，根据余角和补角的定义解题即可．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】∵，
∴的余角等于；
的补角等于，
故答案为；．
2．（2024上·陕西宝鸡·七年级统考期末）已知与互余，与互补，若，则的度数为．
【答案】
【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，度分秒的换算，根据两角之和为，则这两个角互余，两个角度之和为，则这两个角互补，以及进行计算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵与互余，，
∴，
∵与互补，
∴，
故答案为：．
【考点四 垂线的定义的理解与应用】
例题：（2024上·江苏徐州·七年级校考期末）如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离，熟练掌握垂线段的长度是点到线段的距离是解题的关键．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥．
【详解】解：①∵，
∴；故①正确；
②，由垂线的性质知与不垂直；故②错误；
③点C到的垂线段是线段的长度；故③错误；
④点A到的距离是线段的长度；故④正确；
⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤正确；
⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥错误；
综上：正确的是：，共3个；
故选A．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图，下列线段中，长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴长度最短的是，
故选：C
2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段B．点到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段D．线段是点到的垂线段
【答案】C
【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
B、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
C、线段是点到的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；
D、线段是点到的垂线段，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】
例题：（2024上·江苏南京·七年级统考期末）如图，直线、相交于点，，．
(1)写出图中的余角______；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了余角的定义，对顶角相等，同角的余角相等，
（1）根据垂直的定义得出，再根据余角的定义求解即可；
（2）根据平角的定义和已知条件可得，进而求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴图中的余角有，，，
故答案为：，，；
（2），，，
，
．
【变式训练】
1．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，．
(1)若，试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）由，结合，可得，可得．
【详解】（1）解： ．
理由：，
，
即．
，
，
即，
．
（2）∵，，
∴，
，
，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查的是垂直的含义，互余的含义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．
2．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）如图，直线，交于点O，已知，．
(1)若，分别写出的补角、余角，并求出相应的度数；
(2)若，试证明．
【答案】(1)的余角为，的补角为，，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，垂直的定义，对顶角相等：
（1）根据垂直的定义得到，则，根据平角的定义得到，再由度数之和为90度的两角互余，度数之和为180度的两角互补即可得到答案；
（2）先由垂直的定义得到，则，由对顶角相等得到，则，即可推出，即．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的余角为，的补角为；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【考点六 作垂线与求点到直线的距离】
例题：（2024上·江苏南京·七年级校考期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点、、均在格点上．
(1)过点画线段的平行线；
(2)过点画线段的垂线，垂足为；
(3)线段的长度是点到直线的距离；
(4)比较线段、的大小关系（用“