2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x|x<3}，则A∩B=( )
A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}
2.命题“∃x∈[0,+∞),x3+x<0”的否定是( )
A. ∀x∈(−∞,0)，x3+x≥0B. ∀x∈[0,+∞),x3+x≥0
C. ∃x∈[0,+∞),x3+x<0D. ∃x∈[0,+∞),x3+x≥0
3.函数f(x)=lg2x2x−1的定义域为( )
A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (0,12)∪(12,+∞)
4.若a、b、c∈R，则“aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )
A. 154B. 158C. 15π4D. 15π8
6.函数f(x)=lg2x，g(x)=lg5x，h(x)=lgx的图象如图所示，则f(x)，g(x)，h(x)的图象所对应的编号依次为( )
A. ①②③
B. ③①②
C. ③②①
D. ①③②
7.已知函数f(x)=sin(x−π4)在区间[−a,a]上单调递增，则实数a的最大值是( )
A. π4B. π2C. 3π4D. π
8.已知函数y=f(x)的定义域为R，f(x)的图象关于点(0,0)对称，f(3)=0，且对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0.则不等式(x−1)f(x+1)≥0的解集是( )
A. (−∞,1]∪[2,+∞)B. [−4,−1]∪[0,1]
C. [−4,−1]∪[1,2]D. [−4,−1]∪[2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列有关幂函数f(x)=xα的结论中，正确的是( )
A. f(x)的图象都经过点(1,1)
B. f(x)的图象可能会出现在第四象限
C. 当α=12时，f(x)在(0,+∞)是增函数
D. 当α=−1时，f(x)在(0,+∞)是减函数
10.若实数a，b满足aA. 1a<1bB. lna2>lnb2C. a|a|11.下列说法正确的是( )
A. −4π3是第二象限角
B. 点(π3,0)是函数f(x)=cs(2x+π3)的一个对称中心
C. 若角α终边上一点P的坐标为(4t,−3t)(其中t>0)，则sinα=−35
D. 函数f(x)=2tan(2x+π3)的图象可由函数g(x)=2tan(2x)图象向左平移π3个单位得到
12.已知函数f(x)=(13)x+1,x<0x2−4x+2,x≥0，若函数g(x)=f(x)−m恰有3个零点，则m的取值可能为( )
A. 13B. 1C. 2D. 52
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=2x+1,x>1x2+2,x≤1，则f(f(1))=______.
14.已知cs(π6+α)=12，则sin(π3−α)=______.
15.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.25t.现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要______分钟饮用口感最佳.(参考数据；ln3≈1.099，ln2≈0.693，结果精确到0.01位)
16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻的两个零点之间的距离是π6，且直线x=π18是f(x)图象的一条对称轴，则f(π12)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−21}.
(1)求集合∁RB；
(2)设集合M={x|a18.(本小题12分)
已知csφ=35，φ∈(0,π2)，求sin(φ−π6)，tan(φ+π4)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的增函数，并且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=4.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)若f(2x+3)−f(x)<8，求x的取值范围．
20.(本小题12分)
设函数f(x)=csxcs(x−π6)+ 3sin2x−3 34.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[π12,π2]时，求函数f(x)的最大值及此时的x值.
21.(本小题12分)
已知关于x的不等式2ax2−8x−3a2<0的解集为{x|−1(1)求实数a，b的值；
(2)当x>0，y>0，且满足ax+by=1时，求3x+2y的最小值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x1+2x+a.
(1)若f(x)是奇函数，求a的值；
(2)若f(x)≥0在x∈[−1,1]上恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由交集的定义可知A∩B={0,1,2}.
故选：B.
利用交集的概念计算即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题“∃x∈[0,+∞),x3+x<0”的否定是∀x∈[0,+∞),x3+x≥0.
故选：B.
利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得x>02x−1≠0，解得x∈(0,12)∪(12,+∞).
故选：D.
根据真数大于0，分母不等式0得到不等式组，求出定义域．
本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：a、b、c∈R，则“a“ac20，可以推出“a故“a故选：B.
根据充分条件和必要条件，判断即可．
本题考查了充分条件和必要条件，考查了推理能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：圆心角α=lR=308=154.
故选：A.
由题意利用弧长公式l=αR，可求圆心角．
本题考查任意角与弧度制，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为lg22>lg52>lg2，
故f(x)，g(x)，h(x)的图象所对应的编号依次为③②①．
故选：C.
令x=2，然后结合对数函数的性质比较相应的函数值，即可找出函数图象对应的变号，
本题主要考查了对数函数与底数的联系，考查数形结合的思想．
7.【答案】A
【解析】解：令−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[−π4+2kπ,3π4+2kπ],k∈Z.
又f(x)在区间[−a,a]上单调递增，
∴[−a,a]⊆[−π4+2kπ,3π4+2kπ],k∈Z，
∴−π4≤−a<0，即0故选：A.
根据f(x)=sin(x−π4)的单调区间可求．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，不妨设x1可得x2−x1>0，f(x2)−f(x1)<0，
即当x1f(x2)成立，
故f(x)在(−∞,0)单调递减；
f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)是奇函数，
由奇函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)单调递减；
又因为函数y=f(x)的定义域为R，所以f(0)=0，
又f(3)=0，则f(−3)=−f(3)=0，
作出函数f(x)大致图象，如图所示：
不等式(x−1)f(x+1)≥0等价于(x−1)f(x+1)=0或(x−1)f(x+1)>0，
①由方程(x−1)f(x+1)=0，得x−1=0，或x+1=0或−3或3，
解得x=1或−1或−4或2.
②由不等式(x−1)f(x+1)>0可化为x−1>0f(x+1)>0，或x−1<0f(x+1)<0，
即x>10解得，1综上可知，−4≤x≤−1，或1≤x≤2.
故选：C.
先研究函数的单调性与对称性，结合函数零点作出图象，借助函数图象由符号法则解不等式．
本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由幂函数的性质可知f(1)=1，即f(x)的图象都经过点(1,1)，故A正确；
若函数f(x)的图象出现在第四象限，且函数f(x)在第一象限内必有图象，
从而存在x>0，使得一个x对应两个y值，与函数的定义矛盾，故B错误；
当α=12时，f(x)=x12在(0,+∞)是增函数，故C正确；
当α=−1时，f(x)=x−1在(0,+∞)是减函数，故D正确．
故选：ACD.
根据幂函数的性质逐项分析即得．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：A项，∵a1b，错误；
B项，∵ab2>0，lna2>lnb2，正确；
C项，∵a|b|>0，又−a>−b>0，则−a|a|>−b|b|>0，∴a|a|D项，∵a故选：BCD.
根据不等式的性质，逐一检验选项即可．
本题考查不等式的性质，考查对数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，−4π3的终边与2π3的终边相同，所以−4π3为第二象限角，故A正确；
对于B，由f(π3)=cs(2×π3+π3)=csπ=−1≠0，故B错误；
对于C，利用三角函数的定义知sinα=−3t (4t)2+(−3t)2=−35，故C正确；
对于D，由f(x)=2tan(2x+π3)=2tan[2(x+π6)]，可由函数g(x)=2tan(2x)的图象向左平移π6个单位得到，故D错误．
故选：AC.
利用弧度制与角度制的转化及象限角的定义可判断A；直接代入检验即可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用三角函数的图象的平移变换可判断D.
本题主要考查三角函数图像和性质，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：如图，画出函数f(x)的图象，
若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，即f(x)=m有3个实数根，即函数y=f(x)和y=m有3个交点，
结合图像，可知13故选：BC.
首先画出函数f(x)的图象，利用函数零点的定义，转化为函数y=f(x)和y=m有3个交点，利用数形结合，即可求m的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】7
【解析】解：函数f(x)=2x+1,x>1x2+2,x≤1，
则f(1)=3，
f(f(1))=f(3)=7.
故答案为：7.
利用函数的解析式，求解函数值即可．
本题考查函数值的求法，是基础题．
14.【答案】12
【解析】解：由题意得：sin(π3−α)=sin[π2−(π6+α)]=cs(π6+α)=12.
故答案为：12.
利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案．
本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】2.77
【解析】解：∵θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.25t，
由题意得52=12+(92−12)e−0.25t，
∴e−0.25t=12，即−0.25t=ln12=−ln2≈−0.693，解得t≈2.77，
故若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳．
故答案为：2.77.
根据题意代入数据，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】 32
【解析】解：函数f(x)的相邻的两个零点之间的距离是π6，
可得f(x)的最小正周期为2πω=π3，则ω=2ππ3=6.
由直线x=π18是f(x)图象的一条对称轴，可得6×π18+φ=kπ+π2,k∈Z，
则φ=kπ+π6,k∈Z，又0<θ<π2，则φ=π6，则f(x)=sin(6x+π6).
则f(π12)=sin(6×π12+π6)= 32.
故答案为： 32.
由题意，先利用题给条件求得函数f(x)的解析式，进而求得f(π12)的值．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为B={x|x>1}，
所以∁RB={x|x≤1}；
(2)因为M={x|a所以A⊆M，
所以a≤−2a+6≥2，即−4≤a≤−2，
故a的取值范围为[−4,−2].
【解析】(1)由已知结合集合的补集运算即可求解；
(2)由已知得A⊆M，然后结合集合的包含关系可得关于a的不等式组，解不等式组可求．
本题主要考查了集合的补集运算，还考查了集合并集的性质，属于基础题．
18.【答案】解：∵csφ=35，φ∈(0,π2)，
∴sinφ= 1−(35)2=45，tanφ=43，
则sin(φ−π6)=sinφcsπ6−csφsinπ6=45× 32−35×12=4 3−310，
tan(φ+π4)=tanφ+11−tanφ=43+11−43=−7.
【解析】此题考查同角三角函数基本关系的运用，以及两角和与差的正弦、正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于简单题．
由csφ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinφ的值，进而求出tanφ的值，原式分别利用两角和与差的正弦、正切函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
19.【答案】解：(1)令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0；
(2)因为函数f(x)的定义域为R，令y=−x，
则有f(x−x)=f(x)+f(−x)，即f(x)+f(−x)=0，
∴f(−x)=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数；
(3)因为f(1)=4，
所以f(2)=f(1+1)=4+4=8，
又因为f(2x+3)−f(x)<8，
即有f(2x+3−x)即f(x+3)又因为f(x)为增函数，
所以x+3<2，解得x<−1，
故x的取值范围为{x|x<−1}.
【解析】(1)令x=y=0，即可得答案；
(2)令y=−x结合(1)的结论即可判断；
(3)由题意可得f(2)=8，f(2x+3)−f(x)=f(x+3)，则原不等式等价于f(x+3)本题考查抽象函数及其应用，函数奇偶性的定义与判断，抽象函数的奇偶性根据函数的单调性解不等式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=csxcs(x−π6)+ 3sin2x−3 34=csx(csx⋅ 32+sinx⋅12)+ 3⋅1−cs2x2−3 34
= 32⋅1+cs2x2+14sin2x+ 3⋅1−cs2x2−3 34=14sin2x− 34cs2x=12sin(2x−π3)，
所以f(x)的最小正周期为2π2=π，
由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)⇒kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)；
(2)当x∈[π12,π2]时，2x−π3∈[−π6,2π3]，
所以当2x−π3=π2时，即当x=5π12时，函数f(x)有最大值12.
【解析】(1)根据两角差的余弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式和单调增区间进行求解即可；
(2)根据正弦型函数的最值性质进行求解即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为不等式2ax2−8x−3a2<0的解集为{x|−1所以a>0，且−1，b是方程2ax2−8x−3a2=0的两个根，
由根与系数的关系知，−1+b=4a−1×b=−32a，
解得a=2或a=−43(不合题意，舍去)，b=3.
(2)当x>0，y>0时，由(1)得2x+3y=1，
所以2x+y=(3x+2y)(2x+3y)=12+4yx+9xy≥12+2 4yx⋅9xy=24，
当且仅当4yx=9xy2y+3x=xy，即x=4，y=6时，等号成立，
所以3x+2y的最小值为24.
【解析】(1)根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、b的值．
(2)根据题意，利用基本不等式，即可求出3x+2y的最小值．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)的定义域为R且是奇函数，
∴f(0)=0，
解得a=−12，经检验符合题意；
(2)∵f(x)≥0在x∈[−1,1]上恒成立，
∴f(x)min≥0，
令t=2x，x∈[−1,1]，
则t∈[12,2],y=t1+t+a=−11+t+1+a，
因为y=−11+t+1+a在[12,2]单调递增，
所以ymin=−11+12+1+a=a+13，
即f(x)min=a+13，
故a+13≥0，解得a≥−13，
所以a的取值范围是[−13,+∞).
【解析】(1)由f(0)=0即可求得a；
(2)设t=2x，由函数的单调性求得最小值即可得解．
本题考查奇函数的性质及不等式的求解，属于中档题．