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    2023-2024学年辽宁省朝阳市建平第二高级中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
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    2023-2024学年辽宁省朝阳市建平第二高级中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平第二高级中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析),共12页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知集合A={x|x>−1},B={−2,−1,0,1,2},则(∁RA)∩B=( )
    A. {−2,−1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {1,2}
    2.函数y=lg2x−1的图象与x轴的交点坐标是( )
    A. (0,0)B. (1,0)C. (2,0)D. (−1,0)
    3.“x2=4”是“x3=8”成立的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    4.若函数f( x)的定义域是[1,4],则函数f(x−3)的定义域是( )
    A. [4,5]B. [1,16]C. [1,4]D. [−2,1]
    5.函数f(x)=12lg2x−3(12)x的零点所在区间为( )
    A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
    6.对于任意的x,y∈R,定义运算:x⊙y=x(y+1).若不等式x⊙(x+a)+1>0对任意实数x恒成立,则( )
    A. −17.已知函数f(x)=( 2)x,x≤1,−lnx,x>1,则y=f(2−x)的大致图像是( )
    A. B.
    C. D.
    8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(−∞,0]上单调递增,又a=f(1.10.2),b=f(0.21.1),c=f(lg124),则a,b,c的大小关系为( )
    A. c二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.已知aA. a+cbdC. da>caD. a2>ab>b2
    10.函数D(x)=1,x∈Q0,x∉Q,称为狄利克雷函数,对于狄利克雷函数,下列结论正确的是( )
    A. D(D(2))=D(D( 2))
    B. D(x)的值域与函数f(x)=|x|+x2x的值域相同
    C. D(x)是非奇非偶函数
    D. 对任意实数x,都有D(x+1)=D(x)
    11.若a>0,b>0,且 a+ b=4 ab,则下列不等式恒成立的是( )
    A. a+ b≥1B. ab≥14C. a+b≤12D. a2+b2≥18
    12.已知函数f(x)=lg3(x2−2x),则下列结论正确的是( )
    A. 函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞)B. 不等式f(x)<1的解集是(−1,3)
    C. 函数f(x)的图象关于x=1对称D. 函数f(x)的值域是R
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(12, 22),则f(x)=______.
    14.若f(x)=−x,x≤0,g(2x+1),x>0是奇函数,则g(7)=______.
    15.已知函数f(x)满足f(x+1)=lg2|x+1|+2x+f(x+2),则f(1)−f(3)=______.
    16.已知 8+x2−x≤a2+a对任意的x∈[1,4]恒成立,则实数a的取值范围为______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    化简求值:
    (1) (ab−1)3(a3b−3)12(a>0,b>0);
    (2)lg5+lg22+lg2lg5+lg25×lg254+7lg75.
    18.(本小题12分)
    已知关于x的不等式ax2+2bx−3<0的解集为{x|−1(1)求实数a,b的值;
    (2)解关于x的不等式:(ax+1)(−bx+m)>0,其中m是实数.
    19.(本小题12分)
    已知集合A={x|m−120}.
    (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
    (2)若集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负,求实数m的取值范围.
    20.(本小题12分)
    已知函数f(x)=x2−abx满足f(1)=−14,f(3)=712.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)求函数f(x)在[2,4]上的值域.
    21.(本小题12分)
    定义:将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度,单位是平方公里/小时,如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间,黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为v(单位:平方公里/小时),游客的密集度为x(单位:人/平方公里),当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时,景区道路拥堵,此时游客的步行速度为0;当游客密集度不超过50人/平方公里时,游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时,数据统计表明:当50≤x≤250时,游客的扫码速度是游客密集度x的一次函数.
    (1)当0≤x≤250时,求函数v(x)的表达式;
    (2)当游客密集度x为多少时,单位时间内通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大值?
    22.(本小题12分)
    设函数f(x)=lga(ax−b)(a>0且a≠1,b∈R),已知f(2)=1,f(lga6)=2.
    (1)求f(x)的定义域;
    (2)是否存在实数λ,使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ]?若存在,请求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:因为集合A={x|x>−1},
    所以∁RA={x|x≤−1},
    因为B={−2,−1,0,1,2},
    所以(∁RA)∩B={−2,−1}.
    故选:A.
    根据已知条件,结合补集、交集的定义,即可求解.
    本题主要考查补集及其运算,属于基础题.
    2.【答案】C
    【解析】解:令y=0,lg2x−1=0解得x=2,
    所以函数y=lg2x−1的图象与x轴的交点坐标是(2,0).
    故选:C.
    由函数与方程的关系可知,函数的图象与x轴的交点的横坐标即y=0时,lg2x−1=0的解,从而可求得结果.
    本题考查了函数与方程的关系,对数的运算,是基础题.
    3.【答案】B
    【解析】解:由x2=4⇒x=±2,可知x3=±8,充分性不成立;
    由x3=8⇒x=2⇒x2=4,必要性成立;
    即“x2=4”是“x3=8”成立的必要不充分条件.
    故选:B.
    根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
    本题考查的知识要点:充分条件和必要条件,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
    4.【答案】A
    【解析】解:因为函数f( x)的定义域是[1,4],所以1≤x≤4,所以1≤ x≤2,
    所以f(x)的定义域是[1,2],故对于函数f(x−3),有1≤x−3≤2,解得4≤x≤5,
    从而函数f(x−3)的定义域是[4,5].
    故选:A.
    根据函数f( x)的定义域求出f(x)的定义域,然后求解f(x−3)的定义域即可.
    本题主要考查函数的定义域及其求法,属于基础题.
    5.【答案】C
    【解析】解:由函数f(x)=12lg2x−3(12)x在(0,+∞)上是增函数,
    且满足f(2)=12−34<0,f(3)=12lg23−13>0,
    根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=12lg2x−3(12)x的零点所在的区间为(2,3).
    故选:C.
    根据函数f(x)在R上是增函数,且满足f(2)<0,f(3)>0,结合函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间.
    本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
    6.【答案】C
    【解析】解:由已知得x⊙(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立,
    所以Δ=(a+1)2−4<0,
    解得−3故选:C.
    根据运算法则得到x2+(a+1)x+1>0恒成立,由判别式得到不等式,求出答案.
    本题属于新概念题,考查了一元二次不等式恒成立问题,属于基础题.
    7.【答案】A
    【解析】解:函数f(x)=( 2)x,x≤1,−lnx,x>1,,则y=f(2−x)=( 2)2−x,x≥1,−ln(2−x),x<1.
    根据复合函数的单调性,
    当x≥1时,函数f(2−x)单调递减;
    当x<1时,函数f(2−x)单调递增,只有A符合.
    故选:A.
    根据题意,根据f(x),转换后得到y=f(2−x)=( 2)2−x,x≥1,−ln(2−x),x<1.,根据复合函数的单调性,可求得f(2−x)的单调性,进而可得正确选项.
    本题考查了复合函数的单调性,考查了数形结合思想,属于中档题.
    8.【答案】A
    【解析】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(−∞,0]上单调递增,
    ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.
    而c=f(lg124)=f(−2)=f(2),
    ∵0<0.21.1<1<1.10.2<2,
    ∴f(0.21.1)>f(1.10.2)>f(2),
    即c故选:A.
    由题意得到 f(x)在[0,+∞)上是减函数,再根据0<0.21.1<1<1.10.2<2判断.
    本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用,属于基础题.
    9.【答案】ABD
    【解析】解:由不等式的同向可加性知选项A正确;
    因为a−b>0,−c>−d>0,所以ac>bd,故选项B正确;
    因为c因为−a>−b>0,所以a2>ab,ab>b2,所以a2>ab>b2,故选项D正确.
    故选:ABD.
    结合不等式的性质检验各选项即可判断.
    本题考查了不等式的性质的应用,属于基础题.
    10.【答案】ABD
    【解析】解:对于A,根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))=D(1)=1,D(D( 2))=D(0)=1,即A正确;
    对于B,易知函数f(x)=|x|+x2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),
    当x∈(−∞,0)时,f(x)=|x|+x2x=0;当x∈(0,+∞)时,f(x)=|x|+x2x=1;
    即函数f(x)=|x|+x|2x的值域为{0,1},所以B正确;
    对于C,易知函数D(x)的定义域关于原点对称,当x∈Q时,−x∈Q,则D(−x)=1=D(x);当x∉Q时,−x∉Q,则D(−x)=0=D(x),即D(x)为偶函数,所以C错误;
    对于D,当x∈Q时,x+1∈Q,此时D(x+1)=D(x)=1;当x∉Q时,x+1∉Q,此时D(x+1)=D(x)=0,所以D正确.
    故选:ABD.
    分别对x∈Q和x∉Q进行分类讨论,结合函数的性质检验各选项即可判断.
    本题以新定义为载体,主要考查了函数性质的应用,属于中档题.
    11.【答案】AD
    【解析】解:对于A,a>0,b>0,且 a+ b=4 ab,
    所以 a+ b ab=4,得1 a+1 b=4,则( a+ b)(1 a+1 b)=2+ b a+ a b≥2+2 b a⋅ a b=4,
    当且仅当 b a= a b,即a=b=14时取等号,所以 a+ b≥1,故A正确;
    对于B,( a+ b)2=16ab,结合a+b+2 ab≥4 ab,得16ab≥4 ab,解得ab≥116,
    当且仅当a=b=14时取等号,所以ab≥14不成立,B不正确;
    对于C,由B的分析可知a+b≥2 ab≥12,当且仅当a=b=14时取等号,
    所以a+b≤12不成立,故C不正确;
    对于D,a2+b2≥12(a+b)2≥12×14=18,当且仅当a=b=14时取等号,故D正确.
    故选:AD.
    根据题意,利用不等式的性质与基本不等式,对各项中的结论逐一加以验证,即可得到本题的答案.
    本题主要考查了基本不等式的应用、不等式的性质等知识,属于基础题.
    12.【答案】CD
    【解析】解:对A:令x2−2x>0,解得x>2或x<0,故f(x)的定义域为I=(−∞,0)∪(2,+∞),∵y=lg3u在定义域内单调递增,u=x2−2x在(−∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)在(−∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,A错误;
    对B:f(x)=lg3(x2−2x)<1=lg33,且y=lg3x在定义域内单调递增,
    可得0故不等式f(x)<1的解集是(−1,0)∪(2,3),B错误.
    对C:∵f(2−x)=lg3[(2−x)2−2(2−x)]=lg3(x2−2x)=f(x),即f(2−x)=f(x),故函数f(x)的图象关于x=1对称,C正确;
    对D:∵x2−2x=(x−1)2−1≥−1,即y=x2−2x的值域M=[−1,+∞),∵(0,+∞)⊆M,故函数f(x)的值域是R,D正确.
    故选:CD.
    由题意利用复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.
    本题主要考查复函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,属于中档题.
    13.【答案】x12
    【解析】解:设幂函数y=f(x)=xa,
    其图象过点(12, 22),
    ∴(12)a= 22;
    ∴a=12,
    ∴f(x)=x12.
    故答案为:x12.
    设出幂函数y=f(x)的解析式,根据图象过点(12, 22),求出f(x)的解析式.
    本题考查了用图象上的点求幂函数解析式的问题,是基础题目.
    14.【答案】−3
    【解析】解:根据题意,f(x)=−x,x≤0,g(2x+1),x>0,
    令x=3可得:f(3)=g(7),
    又f(x)是奇函数,
    所以g(7)=f(3)=−f(−3)=−[−(−3)]=−3.
    故答案为:−3.
    根据题意,由函数的解析式分析可得f(3)=g(7),结合函数的奇偶性分析可得答案.
    本题考查函数的奇偶性,涉及函数值的计算,属于基础题.
    15.【答案】4
    【解析】解:令x=0,
    则f(1)=lg2|0+1|+20+f(2)=1+f(2),
    故f(1)−f(2)=1,
    令x=1,
    则f(2)=lg22+21+f(3),即f(2)−f(3)=3,
    故f(1)−f(3)=f(1)−f(2)+f(2)−f(3)=4.
    故答案为:4.
    根据已知条件,结合赋值法,结合函数解析式,即可求解.
    本题主要考查函数的值,属于基础题.
    16.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
    【解析】解:由 8+x2−x≤a2+a,得8 8+x2+x≤a2+a,
    设f(x)=8 8+x2+x,x∈[1,4],
    因为函数y= 8+x2在[1,4]上单调递增,函数y=x在[1,4]上单调递增,
    由函数单调性的性质可知f(x)=8 8+x2+x在[1,4]上单调递减,
    所以f(x)max=f(1)=8 8+1+1=84=2,所以2≤a2+a,解得a≤−2或a≥1,
    故实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[1,+∞).
    故答案为:(−∞,−2]∪[1,+∞).
    依题可得8 8+x2+x≤a2+a,构造函数f(x)=8 8+x2+x,利用函数单调性求得最值,最后解一元二次不等式即可.
    本题考查函数恒成立问题,利用函数的单调性求最值,属中档题.
    17.【答案】解:(1)原式=a32b−32a32b−32=1,
    (2)原式=lg5+lg2(lg2+lg5)+lg5lg2×2lg22lg5+5
    =lg5+lg2+1+5=1+6=7.
    【解析】(1)利用指数幂的性质和运算法则求解.
    (2)利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.
    本题考查指数幂,对数的性质、运算法则及换底公式,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)因为ax2+2bx−3<0,所以ax2+2bx−3=0的根为−1和2,且a>0,
    所以−1+2=−2ba−1×2=−3a,解得a=32b=−34;
    (2)不等式(ax+1)(−bx+m)>0可化为(32x+1)(34x+m)>0,
    即(x+23)(x+4m3)>0,
    ①当−43m<−23,即m>12时,不等式的解集为(−∞,−43m)∪(−23,+∞);
    ②当−43m=−23,即m=12时,不等式的解集为(−∞,−23)∪(−23,+∞);
    ③当−43m>−23,即m<12时,不等式的解集为(−∞,−23)∪(−43m,+∞).
    【解析】(1)根据不等式的解集对应方程的根,利用根与系数的关系列式求解即可;
    (2)根据两根大小关系分类解不等式即可.
    本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是基础题.
    19.【答案】解:(1)B={x|2x2+x−3>0}={x|x<−32或x>1},
    根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集,
    所以m+1≤−32或m−12≥1,
    解得m≤−52或m≥32,
    故实数m的取值范围为(−∞,−52]∪[32,+∞).
    (2)由(1)可知,∁RB={x|−32≤x≤1},则集合∁RB中含有整数元素−1,0,1,
    由集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知−1≤m−12<0m+1>1,
    解得0故实数m的取值范围为(0,12).
    【解析】(1)根据充分不必要条件的定义得到A是B的真子集,然后列不等式求解即可;
    (2)根据集合∁RB得到整数元素为−1,0,1中的两个,然后根据集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负列不等式求解.
    本题考查充分不必要条件的应用,属于中档题.
    20.【答案】解:(1)函数f(x)=x2−abx满足f(1)=−14,f(3)=712,
    则有12−ab=−14,32−a3b=712,解得a=2b=4,
    故f(x)=x2−24x.
    (2)由(1)可知f(x)=x2−24x,函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),
    f(x)=x2−24x=x4−12x,
    因为函数y=x4与y=−12x都在[2,4]上单调递增,
    所以函数f(x)=x4−12x在[2,4]上是增函数.
    因为f(2)=14,f(4)=78,
    所以函数f(x)在[2,4]上的值域为[14,78].
    【解析】(1)由f(1)=−14,f(3)=712,代入函数f(x),求出a,b得解析式;
    (2)利用函数的单调性可得值域.
    本题主要考查函数的解析式和函数的值域,属于中档题.
    21.【答案】解:(1)由题意知0≤x≤50时,v=5公里/小时;
    当50≤x≤250时,设v(x)=ax+b(a≠0),由v(50)=5,v(250)=0,
    则50a+b=5250a+b=0,解得a=−140b=254,
    所以v(x)=5,0≤x≤50−140x+254,50≤x≤250.
    (2)由(1)可得f(x)=xv(x)=5x,0≤x≤50−140x2+254x,50≤x≤250,
    当0≤x≤50时,f(x)=5x,此时f(x)max=50×5=250;
    当50≤x≤250时,f(x)=−140x2+254x=−140(x−125)2+390.625,
    当x=125时,f(x)max=390.625;
    由于250<390.625,所以当游客密集度为125人/平方公里时,通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大值.
    【解析】(1)0≤x≤50时,v(x)=5;当50≤x≤250时,设v(x)=ax+b(a≠0),由v(50)=5,v(250)=0,解出a,b可得函数v(x)的表达式;
    (2)由f(x)=xv(x)解析式,利用函数单调性和配方法,求最大值.
    本题考查了函数模型应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
    22.【答案】解:(1)由f(2)=1,得lga(a2−b)=1,即a2−a−b=0,①
    由f(lga6)=2,得lga(6−b)=2,即6−b=a2,②
    由①②得2a2−a−6=0,解得a=2,或a=−32(舍),b=2,
    所以f(x)=lg2(2x−2),
    由2x−2>0得x>1,
    故f(x)的定义域为(1,+∞);
    (2)假设存在实数λ,n>m>1,使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ].
    令u=2x−2,(u>0),则u在(1,+∞)上单调递增,
    而y=lg2u在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(1,+∞)上单调递增,
    所以lg2(2m−2)=2m−λlg2(2n−2)=2n−λ,即2λ⋅2m−2×2λ=(2m)22λ⋅2n−2×2λ=(2n)2.
    令t1=2m,t2=2n,t0=2λ(t1,t2>2),则t1,t2为方程t2−t0t+2t0=0的两个不等实数根且t1,t2>2,
    令g(t)=t2−t0t+2t0,则Δ=t02−8t0>0t02>2g(2)>0,即{t0<0或t0>8t0>44−2t0+2t0>0,解得t0>8.
    即2λ>8,λ>3,故存在实数λ符合条件,λ的取值范围是(3,+∞).
    【解析】(1)由f(2)=1和f(lga6)=2求得a,b,得函数解析式,即可确定定义域;
    (2)假设存在实数λ,n>m>1,判断出f(x)的单调性,由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根,再由二次方程根的分布知识可得结论.
    本题考查函数解析式的求法及函数的定义域的求法,函数的单调性的应用,属于中档题.
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