2023-2024学年辽宁省朝阳市建平第二高级中学高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.已知集合A={x|x>−1},B={−2,−1,0,1,2},则(∁RA)∩B=( )
A. {−2,−1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {1,2}
2.函数y=lg2x−1的图象与x轴的交点坐标是( )
A. (0,0)B. (1,0)C. (2,0)D. (−1,0)
3.“x2=4”是“x3=8”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若函数f( x)的定义域是[1,4],则函数f(x−3)的定义域是( )
A. [4,5]B. [1,16]C. [1,4]D. [−2,1]
5.函数f(x)=12lg2x−3(12)x的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
6.对于任意的x,y∈R,定义运算:x⊙y=x(y+1).若不等式x⊙(x+a)+1>0对任意实数x恒成立,则( )
A. −17.已知函数f(x)=( 2)x,x≤1,−lnx,x>1,则y=f(2−x)的大致图像是( )
A. B.
C. D.
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(−∞,0]上单调递增,又a=f(1.10.2),b=f(0.21.1),c=f(lg124),则a,b,c的大小关系为( )
A. c二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知aA. a+cbdC. da>caD. a2>ab>b2
10.函数D(x)=1,x∈Q0,x∉Q,称为狄利克雷函数,对于狄利克雷函数,下列结论正确的是( )
A. D(D(2))=D(D( 2))
B. D(x)的值域与函数f(x)=|x|+x2x的值域相同
C. D(x)是非奇非偶函数
D. 对任意实数x,都有D(x+1)=D(x)
11.若a>0,b>0,且 a+ b=4 ab,则下列不等式恒成立的是( )
A. a+ b≥1B. ab≥14C. a+b≤12D. a2+b2≥18
12.已知函数f(x)=lg3(x2−2x),则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞)B. 不等式f(x)<1的解集是(−1,3)
C. 函数f(x)的图象关于x=1对称D. 函数f(x)的值域是R
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(12, 22),则f(x)=______.
14.若f(x)=−x,x≤0,g(2x+1),x>0是奇函数,则g(7)=______.
15.已知函数f(x)满足f(x+1)=lg2|x+1|+2x+f(x+2),则f(1)−f(3)=______.
16.已知 8+x2−x≤a2+a对任意的x∈[1,4]恒成立,则实数a的取值范围为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值:
(1) (ab−1)3(a3b−3)12(a>0,b>0);
(2)lg5+lg22+lg2lg5+lg25×lg254+7lg75.
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2+2bx−3<0的解集为{x|−1
(2)解关于x的不等式:(ax+1)(−bx+m)>0,其中m是实数.
19.(本小题12分)
已知集合A={x|m−12
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负,求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−abx满足f(1)=−14,f(3)=712.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[2,4]上的值域.
21.(本小题12分)
定义:将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度,单位是平方公里/小时,如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间,黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为v(单位:平方公里/小时),游客的密集度为x(单位:人/平方公里),当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时,景区道路拥堵,此时游客的步行速度为0;当游客密集度不超过50人/平方公里时,游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时,数据统计表明:当50≤x≤250时,游客的扫码速度是游客密集度x的一次函数.
(1)当0≤x≤250时,求函数v(x)的表达式;
(2)当游客密集度x为多少时,单位时间内通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大值?
22.(本小题12分)
设函数f(x)=lga(ax−b)(a>0且a≠1,b∈R),已知f(2)=1,f(lga6)=2.
(1)求f(x)的定义域;
(2)是否存在实数λ,使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ]?若存在,请求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:因为集合A={x|x>−1},
所以∁RA={x|x≤−1},
因为B={−2,−1,0,1,2},
所以(∁RA)∩B={−2,−1}.
故选:A.
根据已知条件,结合补集、交集的定义,即可求解.
本题主要考查补集及其运算,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】解:令y=0,lg2x−1=0解得x=2,
所以函数y=lg2x−1的图象与x轴的交点坐标是(2,0).
故选:C.
由函数与方程的关系可知,函数的图象与x轴的交点的横坐标即y=0时,lg2x−1=0的解,从而可求得结果.
本题考查了函数与方程的关系,对数的运算,是基础题.
3.【答案】B
【解析】解:由x2=4⇒x=±2,可知x3=±8,充分性不成立;
由x3=8⇒x=2⇒x2=4,必要性成立;
即“x2=4”是“x3=8”成立的必要不充分条件.
故选:B.
根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
本题考查的知识要点:充分条件和必要条件,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
4.【答案】A
【解析】解:因为函数f( x)的定义域是[1,4],所以1≤x≤4,所以1≤ x≤2,
所以f(x)的定义域是[1,2],故对于函数f(x−3),有1≤x−3≤2,解得4≤x≤5,
从而函数f(x−3)的定义域是[4,5].
故选:A.
根据函数f( x)的定义域求出f(x)的定义域,然后求解f(x−3)的定义域即可.
本题主要考查函数的定义域及其求法,属于基础题.
5.【答案】C
【解析】解:由函数f(x)=12lg2x−3(12)x在(0,+∞)上是增函数,
且满足f(2)=12−34<0,f(3)=12lg23−13>0,
根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=12lg2x−3(12)x的零点所在的区间为(2,3).
故选:C.
根据函数f(x)在R上是增函数,且满足f(2)<0,f(3)>0,结合函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间.
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】解:由已知得x⊙(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立,
所以Δ=(a+1)2−4<0,
解得−3故选:C.
根据运算法则得到x2+(a+1)x+1>0恒成立,由判别式得到不等式,求出答案.
本题属于新概念题,考查了一元二次不等式恒成立问题,属于基础题.
7.【答案】A
【解析】解:函数f(x)=( 2)x,x≤1,−lnx,x>1,,则y=f(2−x)=( 2)2−x,x≥1,−ln(2−x),x<1.
根据复合函数的单调性,
当x≥1时,函数f(2−x)单调递减;
当x<1时,函数f(2−x)单调递增,只有A符合.
故选:A.
根据题意,根据f(x),转换后得到y=f(2−x)=( 2)2−x,x≥1,−ln(2−x),x<1.,根据复合函数的单调性,可求得f(2−x)的单调性,进而可得正确选项.
本题考查了复合函数的单调性,考查了数形结合思想,属于中档题.
8.【答案】A
【解析】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(−∞,0]上单调递增,
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.
而c=f(lg124)=f(−2)=f(2),
∵0<0.21.1<1<1.10.2<2,
∴f(0.21.1)>f(1.10.2)>f(2),
即c故选:A.
由题意得到 f(x)在[0,+∞)上是减函数,再根据0<0.21.1<1<1.10.2<2判断.
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用,属于基础题.
9.【答案】ABD
【解析】解:由不等式的同向可加性知选项A正确;
因为a−b>0,−c>−d>0,所以ac>bd,故选项B正确;
因为c
故选:ABD.
结合不等式的性质检验各选项即可判断.
本题考查了不等式的性质的应用,属于基础题.
10.【答案】ABD
【解析】解:对于A,根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))=D(1)=1,D(D( 2))=D(0)=1,即A正确;
对于B,易知函数f(x)=|x|+x2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),
当x∈(−∞,0)时,f(x)=|x|+x2x=0;当x∈(0,+∞)时,f(x)=|x|+x2x=1;
即函数f(x)=|x|+x|2x的值域为{0,1},所以B正确;
对于C,易知函数D(x)的定义域关于原点对称,当x∈Q时,−x∈Q,则D(−x)=1=D(x);当x∉Q时,−x∉Q,则D(−x)=0=D(x),即D(x)为偶函数,所以C错误;
对于D,当x∈Q时,x+1∈Q,此时D(x+1)=D(x)=1;当x∉Q时,x+1∉Q,此时D(x+1)=D(x)=0,所以D正确.
故选:ABD.
分别对x∈Q和x∉Q进行分类讨论,结合函数的性质检验各选项即可判断.
本题以新定义为载体,主要考查了函数性质的应用,属于中档题.
11.【答案】AD
【解析】解:对于A,a>0,b>0,且 a+ b=4 ab,
所以 a+ b ab=4,得1 a+1 b=4,则( a+ b)(1 a+1 b)=2+ b a+ a b≥2+2 b a⋅ a b=4,
当且仅当 b a= a b,即a=b=14时取等号,所以 a+ b≥1,故A正确;
对于B,( a+ b)2=16ab,结合a+b+2 ab≥4 ab,得16ab≥4 ab,解得ab≥116,
当且仅当a=b=14时取等号,所以ab≥14不成立,B不正确;
对于C,由B的分析可知a+b≥2 ab≥12,当且仅当a=b=14时取等号,
所以a+b≤12不成立,故C不正确;
对于D,a2+b2≥12(a+b)2≥12×14=18,当且仅当a=b=14时取等号,故D正确.
故选:AD.
根据题意,利用不等式的性质与基本不等式,对各项中的结论逐一加以验证,即可得到本题的答案.
本题主要考查了基本不等式的应用、不等式的性质等知识,属于基础题.
12.【答案】CD
【解析】解:对A:令x2−2x>0,解得x>2或x<0,故f(x)的定义域为I=(−∞,0)∪(2,+∞),∵y=lg3u在定义域内单调递增,u=x2−2x在(−∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)在(−∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,A错误;
对B:f(x)=lg3(x2−2x)<1=lg33,且y=lg3x在定义域内单调递增,
可得0
对C:∵f(2−x)=lg3[(2−x)2−2(2−x)]=lg3(x2−2x)=f(x),即f(2−x)=f(x),故函数f(x)的图象关于x=1对称,C正确;
对D:∵x2−2x=(x−1)2−1≥−1,即y=x2−2x的值域M=[−1,+∞),∵(0,+∞)⊆M,故函数f(x)的值域是R,D正确.
故选:CD.
由题意利用复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.
本题主要考查复函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,属于中档题.
13.【答案】x12
【解析】解:设幂函数y=f(x)=xa,
其图象过点(12, 22),
∴(12)a= 22;
∴a=12,
∴f(x)=x12.
故答案为:x12.
设出幂函数y=f(x)的解析式,根据图象过点(12, 22),求出f(x)的解析式.
本题考查了用图象上的点求幂函数解析式的问题,是基础题目.
14.【答案】−3
【解析】解:根据题意,f(x)=−x,x≤0,g(2x+1),x>0,
令x=3可得:f(3)=g(7),
又f(x)是奇函数,
所以g(7)=f(3)=−f(−3)=−[−(−3)]=−3.
故答案为:−3.
根据题意,由函数的解析式分析可得f(3)=g(7),结合函数的奇偶性分析可得答案.
本题考查函数的奇偶性,涉及函数值的计算,属于基础题.
15.【答案】4
【解析】解:令x=0,
则f(1)=lg2|0+1|+20+f(2)=1+f(2),
故f(1)−f(2)=1,
令x=1,
则f(2)=lg22+21+f(3),即f(2)−f(3)=3,
故f(1)−f(3)=f(1)−f(2)+f(2)−f(3)=4.
故答案为:4.
根据已知条件,结合赋值法,结合函数解析式,即可求解.
本题主要考查函数的值,属于基础题.
16.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
【解析】解:由 8+x2−x≤a2+a,得8 8+x2+x≤a2+a,
设f(x)=8 8+x2+x,x∈[1,4],
因为函数y= 8+x2在[1,4]上单调递增,函数y=x在[1,4]上单调递增,
由函数单调性的性质可知f(x)=8 8+x2+x在[1,4]上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=8 8+1+1=84=2,所以2≤a2+a,解得a≤−2或a≥1,
故实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[1,+∞).
故答案为:(−∞,−2]∪[1,+∞).
依题可得8 8+x2+x≤a2+a,构造函数f(x)=8 8+x2+x,利用函数单调性求得最值,最后解一元二次不等式即可.
本题考查函数恒成立问题,利用函数的单调性求最值,属中档题.
17.【答案】解:(1)原式=a32b−32a32b−32=1,
(2)原式=lg5+lg2(lg2+lg5)+lg5lg2×2lg22lg5+5
=lg5+lg2+1+5=1+6=7.
【解析】(1)利用指数幂的性质和运算法则求解.
(2)利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.
本题考查指数幂,对数的性质、运算法则及换底公式,属于基础题.
18.【答案】解:(1)因为ax2+2bx−3<0,所以ax2+2bx−3=0的根为−1和2,且a>0,
所以−1+2=−2ba−1×2=−3a,解得a=32b=−34;
(2)不等式(ax+1)(−bx+m)>0可化为(32x+1)(34x+m)>0,
即(x+23)(x+4m3)>0,
①当−43m<−23,即m>12时,不等式的解集为(−∞,−43m)∪(−23,+∞);
②当−43m=−23,即m=12时,不等式的解集为(−∞,−23)∪(−23,+∞);
③当−43m>−23,即m<12时,不等式的解集为(−∞,−23)∪(−43m,+∞).
【解析】(1)根据不等式的解集对应方程的根,利用根与系数的关系列式求解即可;
(2)根据两根大小关系分类解不等式即可.
本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是基础题.
19.【答案】解:(1)B={x|2x2+x−3>0}={x|x<−32或x>1},
根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集,
所以m+1≤−32或m−12≥1,
解得m≤−52或m≥32,
故实数m的取值范围为(−∞,−52]∪[32,+∞).
(2)由(1)可知,∁RB={x|−32≤x≤1},则集合∁RB中含有整数元素−1,0,1,
由集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知−1≤m−12<0m+1>1,
解得0
【解析】(1)根据充分不必要条件的定义得到A是B的真子集,然后列不等式求解即可;
(2)根据集合∁RB得到整数元素为−1,0,1中的两个,然后根据集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负列不等式求解.
本题考查充分不必要条件的应用,属于中档题.
20.【答案】解:(1)函数f(x)=x2−abx满足f(1)=−14,f(3)=712,
则有12−ab=−14,32−a3b=712,解得a=2b=4,
故f(x)=x2−24x.
(2)由(1)可知f(x)=x2−24x,函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),
f(x)=x2−24x=x4−12x,
因为函数y=x4与y=−12x都在[2,4]上单调递增,
所以函数f(x)=x4−12x在[2,4]上是增函数.
因为f(2)=14,f(4)=78,
所以函数f(x)在[2,4]上的值域为[14,78].
【解析】(1)由f(1)=−14,f(3)=712,代入函数f(x),求出a,b得解析式;
(2)利用函数的单调性可得值域.
本题主要考查函数的解析式和函数的值域,属于中档题.
21.【答案】解:(1)由题意知0≤x≤50时,v=5公里/小时;
当50≤x≤250时,设v(x)=ax+b(a≠0),由v(50)=5,v(250)=0,
则50a+b=5250a+b=0,解得a=−140b=254,
所以v(x)=5,0≤x≤50−140x+254,50≤x≤250.
(2)由(1)可得f(x)=xv(x)=5x,0≤x≤50−140x2+254x,50≤x≤250,
当0≤x≤50时,f(x)=5x,此时f(x)max=50×5=250;
当50≤x≤250时,f(x)=−140x2+254x=−140(x−125)2+390.625,
当x=125时,f(x)max=390.625;
由于250<390.625,所以当游客密集度为125人/平方公里时,通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大值.
【解析】(1)0≤x≤50时,v(x)=5;当50≤x≤250时,设v(x)=ax+b(a≠0),由v(50)=5,v(250)=0,解出a,b可得函数v(x)的表达式;
(2)由f(x)=xv(x)解析式,利用函数单调性和配方法,求最大值.
本题考查了函数模型应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
22.【答案】解:(1)由f(2)=1,得lga(a2−b)=1,即a2−a−b=0,①
由f(lga6)=2,得lga(6−b)=2,即6−b=a2,②
由①②得2a2−a−6=0,解得a=2,或a=−32(舍),b=2,
所以f(x)=lg2(2x−2),
由2x−2>0得x>1,
故f(x)的定义域为(1,+∞);
(2)假设存在实数λ,n>m>1,使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ].
令u=2x−2,(u>0),则u在(1,+∞)上单调递增,
而y=lg2u在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以lg2(2m−2)=2m−λlg2(2n−2)=2n−λ,即2λ⋅2m−2×2λ=(2m)22λ⋅2n−2×2λ=(2n)2.
令t1=2m,t2=2n,t0=2λ(t1,t2>2),则t1,t2为方程t2−t0t+2t0=0的两个不等实数根且t1,t2>2,
令g(t)=t2−t0t+2t0,则Δ=t02−8t0>0t02>2g(2)>0,即{t0<0或t0>8t0>44−2t0+2t0>0,解得t0>8.
即2λ>8,λ>3,故存在实数λ符合条件,λ的取值范围是(3,+∞).
【解析】(1)由f(2)=1和f(lga6)=2求得a,b,得函数解析式,即可确定定义域;
(2)假设存在实数λ,n>m>1,判断出f(x)的单调性,由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根,再由二次方程根的分布知识可得结论.
本题考查函数解析式的求法及函数的定义域的求法,函数的单调性的应用,属于中档题.
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