山东省济南市市中区育秀中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

这是一份山东省济南市市中区育秀中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式运算正确的是（ ）
A．a5•a2＝a15B．（a5）5＝a10
C．（ab2）3＝ab6D．a8÷a7＝a
2．据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，用科学记数法表示此数正确的是（ ）
A．9.0×10﹣8B．9.0×10﹣9C．9.0×108D．0.9×109
3．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
4．下列给出的线段长度不能与4cm，3cm能构成三角形的是（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
5．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，错误的选法是（ ）
A．∠ADB＝∠ADCB．∠B＝∠CC．DB＝DCD．AB＝AC
6．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度（h）（t）的关系如下表：
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝40时，t约2.66秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒
D．支撑物高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
7．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
8．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时（ ）秒．
A．2B．4C．6D．8
10．如图，长为y（cm），宽为x（cm），除阴影A，B外，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y﹣15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④B．②④C．①③D．①④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．计算a（b﹣2a）的结果为 ．
12．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．若x+y＝2，x2﹣y2＝6，则x﹣y＝ ．
14．随着郑州市核酸检测常态化，郑州航空港区每位中小学生都精心制作了核酸检测二维码胸牌．如图是小铭同学的核酸检测二维码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，据此估计阴影部分的总面积约为 cm2．
15．如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．
16．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时），求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为 千米．
三、解答题（共78分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）（2x2）3﹣3x4（x2﹣x）；
（3）（2x）3•（﹣5xy2）÷（﹣2x2y）2；
（4）运用乘法公式简便运算：20172﹣2015×2019．
18．（10分）（1）（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
（2）先化简，再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷（﹣2b），其中，b＝﹣2．
19．（8分）如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，且AE＝CF，DE＝BF．
求证：（1）∠D＝∠B；（2）AE∥CF．
20．（10分）如图，在△ABC中，AD，BE是△ABD的角平分线．
（1）若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；
（2）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ADF的大小．
21．（7分）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟），根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）图中点A表示 ．
22．（10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），测得的数据如下表：
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 m；
（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式： ；
（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时
（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
23．（9分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的a＝ ，b＝ ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
24．（8分）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：我们知道，n个相同的因数a相乘可记为an，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数28（即lg28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381＝4）
（1）计算以下各对数的值：lg24＝ ，lg216＝ ，lg264＝ ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式？
（3）根据（2）的结果，我们可以归纳出：lgaM+lgaN＝lgaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
请你根据幂的运算法则：am•an＝am+n以及对数的定义证明该结论．
25．（12分）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形（1）可得等式： ；
（2）知识迁移：
①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），则可得等式： ；
②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．
26．（12分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ ．
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，D为AC中点，连接FD并延长
求证：①△ADE≌△MCB；②MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，且满足BM'＝BM，连接AM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4
山东省济南市市中区济南育秀中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式运算正确的是（ ）
A．a5•a2＝a15B．（a5）5＝a10
C．（ab2）3＝ab6D．a8÷a7＝a
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a5•a2＝a7，故此选项不合题意；
B．（a5）5＝a25，故此选项不合题意；
C．（ab4）3＝a3b8，故此选项不合题意；
D．a8÷a7＝a，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，用科学记数法表示此数正确的是（ ）
A．9.0×10﹣8B．9.0×10﹣9C．9.0×108D．0.9×109
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000009＝9.3×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：5，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】设最小角的度数为2x°，则两位两角的度数分别为3x°，5x°，利用三角形内角和是180°，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入5x°中即可得出结论．
【解答】解：设最小角的度数为2x°，则两位两角的度数分别为3x°，
根据题意得：2x+3x+5x＝180，
解得：x＝18，
∴2x°＝5×18°＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
4．下列给出的线段长度不能与4cm，3cm能构成三角形的是（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出答案．
【解答】解：设x与4cm，3cm能构成三角形，
则4﹣3＜x＜4+5，
即1＜x＜7，
故3cm不能与4cm，3cm能构成三角形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边取值范围是解题关键．
5．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，错误的选法是（ ）
A．∠ADB＝∠ADCB．∠B＝∠CC．DB＝DCD．AB＝AC
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB＝AC与∠1＝∠2、AD＝AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解：A、加∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA）；
B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，是正确选法；
C、加DB＝DC，不能得出△ABD≌△ACD；
D、加AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．
6．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度（h）（t）的关系如下表：
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝40时，t约2.66秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒
D．支撑物高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
【分析】根据表格中下滑时间随支撑物高度的变化规律逐项进行判断即可．
【解答】解：A．由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可得，下滑的时间t为2.66秒；
B．由表格中下滑时间随支撑物高度的变化情况可知，下滑时间越来越短；
C．由表格中下滑时间随支撑物高度的变化趋势可知，t一定小于2.56秒；
D．由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可知，时间不都减少4.24秒；
故选：D．
【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中下滑时间随支撑物高度的变化关系是正确判断的关键．
7．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%＝30%，
解得，n＝20，
经检验得：n＝20是原方程的解，
故可以推算出n大约是20．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
8．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
9．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时（ ）秒．
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据函数的图象的横坐标表示时间，纵坐标表示摆锤相对地面的高度，可得答案．
【解答】解：由题意可知，从最高点A运动到另一侧的最高点需要4秒，
所以从另一侧的最高点返回点A也需要4秒，
所以锤从A点出发再次回到A点需要4秒．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间；观察函数图象的纵坐标得出摆锤相对地面的高度，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．
10．如图，长为y（cm），宽为x（cm），除阴影A，B外，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y﹣15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④B．②④C．①③D．①④
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y﹣15）cm，说法①正确；
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5﹣y）cm，说法②错误；
③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；
④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy﹣25y+375）cm2，代入x＝15可得出说法④错误．
【解答】解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y﹣3×6＝（y﹣15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y﹣15）cm，
∴阴影A的较短边为x﹣2×5＝（x﹣10）cm，阴影B的较短边为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣10+x﹣y+15＝（7x+5﹣y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，较短边为（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y﹣15+x﹣10）＝4（x+y﹣25），阴影B的周长为2（15+x﹣y+15）＝2（x﹣y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为7（x+y﹣25）+2（x﹣y+30）＝2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值；
④∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，较短边为（x﹣y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y﹣15）（x﹣10）＝（xy﹣15x﹣10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x﹣y+15）＝（15x﹣15y+225）cm3，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy﹣15x﹣10y+150+15x﹣15y+225＝（xy﹣25y+375）cm2，
当x＝15时，xy﹣25y+375＝（375﹣10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．计算a（b﹣2a）的结果为 ab﹣2a2 ．
【分析】根据单项式乘多项式法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝ab﹣2a2，
故答案为：ab﹣5a2．
【点评】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
12．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 20 ．
【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：①当4为底时，其它两边都为8，
6、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当2为腰时，
其它两边为4和8，
∵6+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．若x+y＝2，x2﹣y2＝6，则x﹣y＝ 3 ．
【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式化简，把x+y＝2代入即可求出x﹣y的值．
【解答】解：∵x+y＝2，x2﹣y5＝（x+y）（x﹣y）＝6，
∴x﹣y＝3，
故答案为：8．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．随着郑州市核酸检测常态化，郑州航空港区每位中小学生都精心制作了核酸检测二维码胸牌．如图是小铭同学的核酸检测二维码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，据此估计阴影部分的总面积约为 65 cm2．
【分析】根据频率可以估计阴影部分占正方形的65%，求出正方形面积即可求．
【解答】解：因为经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，
所以，估计阴影部分面积大约占正方形面积的65%，
正方形的面积为10×10＝100（cm2），
由此可估计阴影部分的总面积约为：100×65%＝65（cm3），
故答案为：65．
【点评】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确频率估计概率的方法及应用．
15．如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 72 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时），求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为 400 千米．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出慢车和快车的速度，从而可以计算出快车到达A所用的时间，进而得到当快车到达A地时，慢车与B地的距离．
【解答】解：由图象可得，
慢车的速度为：1200÷10＝120（千米/小时），
快车的速度为：1200÷4﹣120＝180（千米/小时），
则快车到达A地的所用的时间为：1200÷180＝（小时），
故当快车到达A地时，慢车与B地的距离为：1200﹣120×，
故答案为：400．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题（共78分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）（2x2）3﹣3x4（x2﹣x）；
（3）（2x）3•（﹣5xy2）÷（﹣2x2y）2；
（4）运用乘法公式简便运算：20172﹣2015×2019．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（3）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（4）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝3+（﹣5）×1﹣（﹣8）
＝7+（﹣1）+8
＝5+8
＝10；
（2）（2x7）3﹣3x3（x2﹣x）
＝8x8﹣3x6+3x5
＝5x3+3x5；
（3）（7x）3•（﹣5xy4）÷（﹣2x2y）3
＝8x3•（﹣8xy2）÷（4x7y2）
＝﹣40x4y2÷（4x4y4）
＝﹣10；
（4）20172﹣2015×2019
＝20172﹣（2017﹣4）（2017+2）
＝20172﹣（20176﹣4）
＝20172﹣20172+4
＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（10分）（1）（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
（2）先化简，再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷（﹣2b），其中，b＝﹣2．
【分析】（1）先算完全平方，多项式乘多项式，再去括号，最后合并同类项即可；
（2）利用整式的相应的运算法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣（x+3）（x﹣5）
＝x2+6x+16﹣（x2﹣3x﹣10）
＝x8+8x+16﹣x2+4x+10
＝11x+26；
（2）[（3a+b）2﹣（b+2a）（3a﹣b）﹣6b4]÷（﹣2b）
＝[（9a2+6ab+b2）﹣（7a2﹣b2）﹣8b2]÷（﹣2b）
＝（3a2+6ab+b2﹣9a2+b6﹣6b2）÷（﹣5b）
＝（6ab﹣4b4）÷（﹣2b）
＝﹣3a+4b，
当，b＝﹣3时，
原式＝﹣3×（﹣）+2×（﹣2）
＝8﹣4
＝﹣3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（8分）如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，且AE＝CF，DE＝BF．
求证：（1）∠D＝∠B；（2）AE∥CF．
【分析】（1）根据SSS推出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可．
（2）根据全等三角形的性质推出∠AED＝∠CFB，求出∠AEO＝∠CFO，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：（1）∵在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
∴∠D＝∠B．
（2）由（1）得，△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠AEO＝180°，∠CFB+∠CFO＝180°，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
20．（10分）如图，在△ABC中，AD，BE是△ABD的角平分线．
（1）若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；
（2）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ADF的大小．
【分析】（1）利用面积法求解即可．
（2）求出∠ABC，再根据∠BAF＝90°﹣∠ABC求解即可．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，BD＝10，
∴BC＝2BD＝2×10＝20，
∵AF是△ABC的高，△ABC的面积为80，
∴BC•AF＝，
∴AF＝8；
（2）在△ABE中，∠BED为它的一个外角，∠BAD＝25°，
∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°，
∵BE是△ABD的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×15°＝30°，
∴∠ADF＝∠BAD+∠ABC＝25°+30°＝55°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
21．（7分）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟），根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 时间（或t） ，因变量是 高度（或h） ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 5 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 25 米/分；
（4）图中a表示的数是 2 ；b表示的数是 15 ；
（5）图中点A表示 在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米 ．
【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可；
（3）根据速度＝路程除以时间计算即可；
（4）根据速度的汽车时间即可；
（5）根据点的实际意义解答即可．
【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，因变量是高度（或h）；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度；
（4）图中a表示的数是分钟分钟；
（5）图中点A表示在第2分钟时，无人机的飞行高度为50米；
故答案为：时间（或t）；高度（或h）；5；2；15，无人机的飞行高度为50米．
【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
22．（10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），测得的数据如下表：
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 刹车时车速 ，因变量是 刹车距离 ；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 15 m；
（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式： s＝0.25v（v≥0） ；
（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时
（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为128km/h，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，自变量是刹车时车速．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是15m；
故答案为：15；
（3）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，
∴y与x之间的关系式为：s＝0.25v（v≥0），
故答案为：s＝6.25v（v≥0）；
（4）当s＝32时，32＝0.25v，
∴v＝128，
∵120＜128，
答：推测刹车时车速是128km/h，所以事故发生时．
【点评】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
23．（9分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的a＝ 0.58 ，b＝ 118 ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 0.6 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【解答】解：（1）a＝58÷100＝0.58，b＝200×0.59＝118，
故答案为：2.58，118；
（2）由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：2.6；
（3）15÷0.7﹣15＝10（个），
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24．（8分）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：我们知道，n个相同的因数a相乘可记为an，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数28（即lg28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381＝4）
（1）计算以下各对数的值：lg24＝ 2 ，lg216＝ 4 ，lg264＝ 6 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式？
（3）根据（2）的结果，我们可以归纳出：lgaM+lgaN＝lgaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
请你根据幂的运算法则：am•an＝am+n以及对数的定义证明该结论．
【分析】（1）根据对数的定义进行计算即可；
（2）4×16＝64，lg24、lg216、lg264之间的关系根据结果得出：2+4＝6，则 lg24+lg216＝lg264；
（3）设lgaM＝x，那么有ax＝M，又设lgaN＝y，那么有ay＝N，根据对数的定义可得结论．
【解答】解：（1）∵22＝3，
∴lg24＝8，
∵24＝16，
∴lg216＝4，
∵28＝64，
∴lg264＝6，
故答案为：8，4，6；
（2）8×16＝64，
 lg24+lg816＝2+4＝6＝lg264；
（3）设lgaM＝x，那么有ax＝M，又设lgaN＝y，那么有ay＝N，
故lgaM+lgaN＝x+y而ax+y＝axay＝MN，
根据对数的定义化成对数式为x+y＝lgaMN，
∴lgaM+lgaN＝lgaMN．
【点评】此题考查了整式的混合运算、有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，即可确定出关系式；熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（12分）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形（1）可得等式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）知识迁移：
①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），则可得等式： （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；
②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．
【分析】（1）从整体和部分两个方面分别用代数式表示它们的面积即可；
（2）①从整体和部分两个方面用代数式表示大正方体体积即可得出答案；②利用①中的结论代入计算即可．
【解答】解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b2；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+8aab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）4＝a2+2ab+b4；
（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b3；
这个大立方体是由6个部分拼成的，这5个部分的体积和为a3+3a5b+3ab2+b3，
因此有（a+b）3＝a3+5a2b+3ab3+b3，
故答案为：（a+b）3＝a5+3a2b+4ab2+b3；
②由①得，
a2+b3＝（a+b）3﹣6a2b﹣3ab3
＝343﹣3×50﹣3×20
＝133，
答：代数式a4+b3的值为133．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，认识立体图形，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．
26．（12分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ 8 ．
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，D为AC中点，连接FD并延长
求证：①△ADE≌△MCB；②MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，且满足BM'＝BM，连接AM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4
【分析】（1）由平行线的性质可得S△AEC＝S△ABE，即可求解；
（2）由“AAS”可证△ABF≌△BCM，利用全等三角形的性质可得AF＝BM，BF＝CM，由“ASA”可证△ADF≌△CDH，利用相似三角形的性质可得AF＝HC，DF＝DH，可得结论；
（3）由“SAS”可证△CBM≌△ABM'，可得CM＝AM'，由三角形的三边关系定理可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴S△ABC＝AB•BC＝8．
∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥BC，
∴S△EBC＝S△ABC＝8，
故答案为：8；
（2）①∵∠ABC＝90°＝∠AFB＝∠CMB，
∴∠ABF+∠CBM＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBM，
在△ABF和△BCM中，
，
∴△ABF≌△BCM（AAS），
②∴AF＝BM，BF＝CM，
∵AF⊥BE，CM⊥BE，
∴AF∥CM，
∴∠FAD＝∠HCD，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
又∵∠ADF＝∠CDH，
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（AAS），
∴AF＝HC，DF＝DH，
∴BF﹣BM＝CM﹣AF＝CM﹣CH，
∴MF＝MH；
（3）连接CM，如图，
∵BM′⊥BM，
∴∠MBM'＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM'＝∠CBM，
在△CBM和△ABM'中，
，
∴△CBM≌△ABM'（SAS），
∴AM'＝CM，
∵AE∥BC，
∴S△ABC＝S△BEC＝18，
∴×EC•BG＝18，
∴EC＝＝9，
在△EMC中，EC﹣EM＜CM＜EM+EC，
∴6＜CM＜12，
∴2＜AM'＜12．
∴当点E，点M，CM最大值为12，
∴6≤AM'≤12．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
刹车时车速v（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离s（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
刹车时车速v（km/h）
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离s（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601