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2023-2024学年河南省许昌市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)
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这是一份2023-2024学年河南省许昌市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−3x+2<0}，B={x|0A. (1,2)B. (0,2)C. (2,6)D. (1,6)
2.已知a∈R，则“a<1”是“1a>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.已知a=20.3，b=lg0.32，c=tan40∘，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
4.已知P(1,3)为角α终边上一点，则2sinα−csαsinα+2csα=( )
A. −17B. 1C. 2D. 3
5.关于实数a，b，c，下列结论正确的有( )
A. 如果a>b>c，那么ac>bcB. 如果a>b，那么a+c>b+c
C. 如果a>b>0，那么ac2>bc2D. 如果a6.为了得到函数y=3sin(x−π5)的图象，只要把y=3sin(x+π5)上所有的点( )
A. 向右平行移动π5的单位长度B. 向左平行移动π5的单位长度
C. 向右平行移动2π5的单位长度D. 向左平行移动2π5的单位长度
7.函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A⋅h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=In⋅t，其中n=lg322为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=57h，则当放电电流I=15A时，放电时间为( )
A. 28hB. 28.5hC. 29hD. 29.5h
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 式子f(x)=|x|，φ(t)= t2表示同一个函数
B. y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数
C. 已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1),ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是[−3,−1]
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
10.下列命题正确的是( )
A. 若α是第二象限角，则α2是第一象限角
B. 扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为48cm2
C. x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴
D. 若sinα+csα=15，且0<α<π，则sin4α−cs4α=725
11.已知函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(1)=0，则下列命题正确的是( )
A. f(2)=1B. f(x+1)为奇函数
C. f(x)为周期函数D. ∃x0∈R，使得f(x0)+2=0成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=xm−lg(x+7)的图象经过点(3,5)，则m=______.
13.若函数y=ax(a>1)在[2,3]上的最大值比最小值大a22，则a=______.
14.已知函数f(x)=sin(x+π3)，若关于x的方程f(x)=m在区间[−π6,π]上有两个不同实根x1，x2，则cs(x1−x2)−2 3m的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求值：
(1)sin570∘；
(2)62514+2lg23+lg23⋅lg34；
(3)已知sinα=−35，α是第四象限角，求cs(π4+α)的值.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x+9x.
(1)判断函数f(x)奇偶性，并用定义法证明；
(2)写出函数f(x)的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
(3)求函数f(x)在[2,9]上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)+1−2cs2(ωx+φ2)(ω>0,|φ|<π2)为奇函数，且f(x)的最小正周期是π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈(0,π)时，求满足方程f2(x)+f(x)−2=0的x的值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=a⋅2x+1+12x−1为奇函数.
(1)求a的值；
(2)若f(x)>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，求实数k的取值范围；
(3)设g(x)=mcs(2x−π3)+2，若∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，集合A={x|x2−3x+2<0}=(1,2)，
B={x|0则A∩B=(1,2).
故选：A.
根据题意，求出集合A、B，进而计算可得答案．
本题考查集合交集的计算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
根据a<1，不一定能得到 1a>1(如a=−1时)；但当1a>1，一定能推出a<1，从而得到答案．
【解答】
解：由a<1，不一定能得到 1a>1(如a=−1时)；
但当1a>1时，有0则“a<1”是“1a>1”的必要不充分条件，
故选B.
3.【答案】D
【解析】解：a=20.3>1，b=lg0.32<0，c=tan40∘∈(0,1)，
所以a>c>b.
故选：D.
由已知结合指数函数及对数函数单调性即可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为P(1,3)为角α终边上一点，
所以tanα=31=3，
则2sinα−csαsinα+2csα=2tanα−1tanα+2=2×3−13+2=1.
故选：B.
由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，当c<0时，∵a>b，∴ac对于B，由不等式的加法法则可得如果a>b，那么a+c>b+c，故B成立；
对于C，c=0时，ac2=bc2=0，故C不成立；
对于D，由不等式的倒数法则可得：如果a1b，故D不成立．
故选：B.
由c<0时，不成立可以判断A；由c=0时，不成立可以判断C；由不等式的基本性质可以判断B，D.
本题考查了不等式的基本性质，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：平移后的函数的初相是：−π5，
平移前的初相是π5，
∵−π5−π5=−2π5.
∴为了得到函数y=3sin(x−π5)的图象，只要把y=3sin(x+π5)上所有的点：向右平行移动2π5的单位长度．
故选：C.
利用平移后的初相减去平移前的初相，即可得到平移的方向与平移的单位．
本题考查函数的图象的平移变换，解题方法需要注意，必须是函数同名，ω相同，平移后与平移前的初相差值为负，函数的图象向右平移，差值为正，向左平移．
7.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的定义域为R，f(−x)=2|−x|+1(−x)2+1−1=2|−x|+1x2+1−1=f(x)，
因此f(x)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D不满足；
又f(1)=12>0，所以选项B不满足，选项A符合题意．
故选：A.
利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项．
本题考查根据函数性质确定函数图象问题，考查数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可得C=57⋅10n，
则当I=15A时，57⋅10n=15n⋅t，
所以t=57⋅(23)n=57⋅(23)lg322=57⋅(23)lg2312=57×12=28.5h，
即当放电电流I=15A时，放电时间为28.5h，
故选：B.
根据题意求出蓄电池的容量C，再把I=15A时代入，结合指数与对数的运算性质即可求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数与对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵f(x)=|x|的定义域为R，φ(t)= t2=|t|，定义域为R，
∴式子f(x)=|x|，φ(t)= t2表示同一个函数，故A正确；
对于B，y= 1+x⋅ 1−x的定义域为[−1,1]，
y= 1−x2的定义域为[−1,1]，
且y= 1+x⋅ 1−x= (1+x)(1−x)= 1−x2，
∴y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数，故B正确；
对于C，∵函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，
当x>1时，f(x)=ax单调递增，∴a<0，
当x≤1时，f(x)=−x2−ax−5(对称轴为x=−a2)单调递增，
则−a2≥1，即a≤−2，
若要保证函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，
还需要满足−12−a×1−5≤a1，即a≥−3，
∴实数a的取值范围是[−3,−2]，故C错误；
对于D，由函数的定义得：
若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有唯一一个元素对之相对应，故D正确．
故选：ABD.
利用同一函数的定义判断AB；利用分段函数的单调性判断C；利用函数的定义判断D.
本题考查同一函数的定义、分段函数的单调性、函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，当α=−240∘时，α是第二象限角，但是α2=−120∘是第三象限角，故A不正确；
对于B，扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则该扇形的弧长l=18cm，半径r=6cm，
可知此扇形的面积S=12lr=36cm2，故B不正确；
对于C，函数f(x)=2cs(2x+π3)满足f(π3)=2csπ=−2，取到最小值，
故x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴，C项正确；
对于D，当sinα+csα=15时，平方得sin2α+cs2α+2sinαcsα=125，1+2sinαcsα=125，
即2sinαcsα=−2425<0，结合0<α<π可得α为钝角，
因此sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα= 4925=75，
可得sin4α−cs4α=(sin2α+cs2α)(sin2α−cs2α)=sin2α−cs2α=(sinα+csα)(sinα−csα)=725，故D正确．
故选：CD.
根据象限角的定义，通过举反例判断出A项的正误；利用扇形的周长与面积公式加以验证，判断出B项的正误；计算出f(π3)的值，与f(x)的最值加以比较，从而判断出C项的正误；利用同角三角函数的基本关系进行验证，判断出D项的正误．
本题主要考查余弦函数的图象与性质、三角函数的定义与同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，
所以令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=2f(x)f(1)=0，
即f(x+1)+f(x−1)=0，即f(x+1)=−f(x−1)，
所以f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故C正确；
令x=y=0，则2f(0)=2[f(0)]2，
解得：f(0)=0或f(0)=1，
当f(0)=0时，令y=0，则2f(x)=2f(x)f(0)=0，所以f(x)=0，故A，D不正确；
此时f(x+1)=0，其函数图像关于原点对称，是奇函数；
当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(−y)=2f(0)f(y)=2f(y)，
所以f(y)=f(−y)，所以函数f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
又因为f(x+2)=−f(x)，所以f(x+2)=−f(−x)，所以f(x+1)=−f(−x+1)，
所以f(x+1)为奇函数．
综上可得：f(x+1)是奇函数，故B正确．
故选：BC.
根据已知恒等式，令y=1即可判断函数的周期性，进而得出选项C的正误；再令x=y=0，求出f(0)，分两种情况讨论并判断出函数的奇偶性，进而判断A，B，D的正误即可．
本题考查抽象函数的性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
12.【答案】2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=xm−lg(x+7)的图象经过点(3,5)，
则f(3)=3m−lg10=3m−1=5，解可得m=2.
故答案为：2.
根据题意，由函数的解析式可得f(3)=3m−lg10=3m−1=5，解可得m的值，即可得答案．
本题考查函数值的计算，注意函数的解析式，属于基础题．
13.【答案】32
【解析】解：函数y=ax(a>1)在[2,3]上的最大值比最小值大a22，
函数y在[2,3]上单调递增，
则a3−a2=a22，解得a=32.
故答案为：32.
结合指数函数的单调性，列出等式，即可求解．
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】−52
【解析】解：方程f(x)=m在[−π6,π]上有两个不同的实根等价于y=f(x)与y=m的图象在[−π6,π]上有两个交点，
如图为函数f′(x)=sin(x+π3)在[−π6,π]上的图象：
由图中可以看出当y=f(x)与y=m有两个交点时，
有12≤m<1,x1+x2=π6×2=π3且−π6≤x1<π6，此时m=sin(x1+π3)，
所以cs(x1−x2)−2 3m=cs(2x1−π3)−2 3sin(x1+π3)=2cs2(x1−π6)−2 3cs(x1−π6)−1令t=cs(x1−π6)，因为−π6≤x1<π6，则x1−π6∈[−π3,0),所以t∈[12,1),
记g(t)=2t2−2 3t−1,t∈[12,1),因为函数g(t)=2t2−2 3t−1开口向上，且对称轴为t= 32，所以当t= 32时，g(t)min=2×( 32)2−2 3× 32−1=−52，
所以cs(x1−x2)−2 3m的最小值为−52.
故答案为：−52.
画出函数f(x)=sin(x+π3)的图象，结合图象得12≤m<1,−π6≤x1<π6，根据对称性把cs(x1−x2)−2 3m转化为cs(2x1−π3)−2 3sin(x1+π3)，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可．
本题主要考查三角函数的单调性和最值，属于中档题．
15.【答案】解：(1)sin570∘=sin(360∘+210∘)=sin210∘=sin(180∘+30∘)=−sin30∘=−12；
(2)原式=54×14+3+lg3lg2⋅lg4lg3=5+3+2=10；
(3)已知sinα=−35，α是第四象限角，
所以csα=45，
cs(π4+α)=csπ4csα−sinπ4sinα= 22×45− 22×(−35)=7 210.
【解析】(1)直接利用诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值求解即可；
(2)由已知结合对数的换底公式及对数恒等式进行化简即可求解；
(3)由已知可得csα=45，α是第四象限角，由两角和与差的余弦函数公式即可求cs(π4+α)的值．
本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，对数的换底公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数公式的应用，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)f(x)=x+9x为奇函数，
证明：f(x)=x+9x的定义域为{x|x≠0}，
有f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数；
(2)f(x)=x+9x，
在区间(3,+∞)上为增函数，
在区间(0,3)上为减函数，
在区间(−3,0)上为减函数，
在区间(−∞,−3)上为增函数，
证明：f(x)在(0,3)上为减函数，
设0f(x1)−f(x2)=x1+9x1−x2−9x2=(x1−x2)+(9x1−9x2)=(x1−x2)(x1x2−9x1x2)，
又由0则x1x2<9，x1−x2<0，
故f(x1)−f(x2)>0，则f(x)在(0,3)上为减函数，
(3)根据题意，由(2)的结论，f(x)在区间(3,+∞)上为增函数，在区间(0,3)上为减函数，
则f(9)=10，f(2)=2+92=132，
f(3)=3+93=6，
故f(x)在[2,9]上的最大值为10，最小值为6.
【解析】(1)根据题意，利用奇偶性分定义分析可得答案；
(2)由对号函数的性质分析f(x)的单调性，利用作差法证明可得答案；
(3)根据题意，由函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数的最值，属于基础题．
17.【答案】解：在Rt△OBC中，OB=csα，BC=sinα.
在Rt△OAD中，DAOA=tan60∘= 3.
OA= 33DA= 33BC= 33sinα，
AB=OB−OA=csα− 33sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AB⋅BC
=(csα− 33sinα)sinα
=sinαcsα− 33sin2α
=12sin2α− 36(1−cs2α)
=12sin2α+ 36cs2α− 36
=1 3( 32sin2α+12cs2α)− 36
=1 3sin(2α+π6)− 36.
由0<α<π3，得π6<2α+π6<5π6，
所以当2α+π6=π2，即α=π6时，
S最大=1 3− 36= 36.
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 36.
【解析】利用直角三角形的边角关系表示出OB、BC、OA和AB，写出矩形ABCD的面积，利用三角函数的性质求出它的最大值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
18.【答案】解：(1)根据题意，可得f(x)= 3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，
因为f(x)的最小正周期是π，且ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，
又因为f(x)为奇函数，所以φ−π6=kπ,k∈Z，结合|φ|<π2，取k=0得φ=π6.
综上所述，f(x)的解析式为f(x)=2sin2x.
(2)方程f2(x)+f(x)−2=0，即[f(x)+2][f(x)−1]=0，解得f(x)=1或f(x)=−2.
当x∈(0,π)时，2x∈(0,2π)，
若f(x)=2sin2x=1，则sin2x=12，可得2x=π6或5π6，所以x=π12或5π12；
若f(x)=2sin2x=−2，则sin2x=−1，可得2x=3π2，所以x=3π4.
综上所述，x的值为π12或5π12或3π4.
【解析】(1)利用二倍角的三角函数公式与两角差的正弦公式，化简得f(x)=2sin(ωx+φ−π6)，再利用f(x)为奇函数且周期为π，算出ω与φ的值，可得f(x)的解析式；
(2)先化简方程f2(x)+f(x)−2=0得到f(x)=1或f(x)=−2，再根据正弦函数的图象与性质，算出满足条件的x的值．
本题主要考查三角恒等变换及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
所以f(1)=4a+1，f(−1)=a+1−12=−2(a+1)，
又因为函数y=f(x)为奇函数，
所以f(−1)=−f(1)，
即−2a−2=−4a−1，
解得a=12，
当a=12时，f(x)=2x+12x−1(x≠0)，
所以f(−x)=2−x+12−x+1=12x+112x−1=2x+11−2x=−2x+12x−1=−f(x)，满足函数y=f(x)为奇函数，
所以a=12；
(2)由(1)可知f(x)=2x+12x−1(x≠0)，
所以f(x)>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，
即2x+12x−1>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，
所以k<(2x)2+2x2x−1在x∈(0,1]上成立，
令t=2x−1∈(0,1],则2x=t+1，
所以k<(t+1)2+t+1t=t+2t+3，
令g(t)=t+2t+3，t∈(0,1],
由对勾函数的性质可知g(t)在(0,1]上单调递减，
所以g(t)min=g(1)=6，
所以k<6，
所以实数k的取值范围为(−∞,6)；
(3)因为对∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立，
所以函数g(x)在[0,π2]上的值域为函数f(x)在[1,+∞)上值域的子集，
因为f(x)=2x+12x−1=1+22x−1，
故f(x)在[1,+∞)上单调递减，
所以f(x)≤f(1)=3，又f(x)>1，
所以函数f(x)在[1,+∞)上值域为(1,3]；
因为0≤x≤π2，
所以−π3≤2x−π3≤2π3，
所以−12≤cs(2x−π3)≤1，
当m>0时，2−m2≤g(x)≤m+2，
则有[2−m2,m+2]⊆(1,3],
所以2−m2>1m+2≤3m>0，解得0当m<0时，m+2≤g(x)≤2−m2，
则有[m+2,2−m2]⊆(1,3],
所以m+2>12−m2≤3m<0，解得−1当m=0时，g(x)=2，满足题意．
综上，实数m的取值范围为(−1,1].
【解析】(1)求出函数的定义域，再由f(−1)=−f(1)求解后检验即可；
(2)由题意可得k<(2x)2+2x2x−1在x∈(0,1]上成立，令t=2x−1，则k(3)由题意可得函数g(x)在[0,π2]上的值域为函数f(x)在[1,+∞)上值域的子集，根据指数函数的性质可得f(x)在[1,+∞)上值域为(1,3],分m>0、m<0及m=0求出g(x)的值域，代入求解即可．
本题考查了指数函数、余弦函数及对勾函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
1.已知集合A={x|x2−3x+2<0}，B={x|0
2.已知a∈R，则“a<1”是“1a>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.已知a=20.3，b=lg0.32，c=tan40∘，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
4.已知P(1,3)为角α终边上一点，则2sinα−csαsinα+2csα=( )
A. −17B. 1C. 2D. 3
5.关于实数a，b，c，下列结论正确的有( )
A. 如果a>b>c，那么ac>bcB. 如果a>b，那么a+c>b+c
C. 如果a>b>0，那么ac2>bc2D. 如果a
A. 向右平行移动π5的单位长度B. 向左平行移动π5的单位长度
C. 向右平行移动2π5的单位长度D. 向左平行移动2π5的单位长度
7.函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A⋅h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=In⋅t，其中n=lg322为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=57h，则当放电电流I=15A时，放电时间为( )
A. 28hB. 28.5hC. 29hD. 29.5h
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 式子f(x)=|x|，φ(t)= t2表示同一个函数
B. y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数
C. 已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1),ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是[−3,−1]
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
10.下列命题正确的是( )
A. 若α是第二象限角，则α2是第一象限角
B. 扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为48cm2
C. x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴
D. 若sinα+csα=15，且0<α<π，则sin4α−cs4α=725
11.已知函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(1)=0，则下列命题正确的是( )
A. f(2)=1B. f(x+1)为奇函数
C. f(x)为周期函数D. ∃x0∈R，使得f(x0)+2=0成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=xm−lg(x+7)的图象经过点(3,5)，则m=______.
13.若函数y=ax(a>1)在[2,3]上的最大值比最小值大a22，则a=______.
14.已知函数f(x)=sin(x+π3)，若关于x的方程f(x)=m在区间[−π6,π]上有两个不同实根x1，x2，则cs(x1−x2)−2 3m的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求值：
(1)sin570∘；
(2)62514+2lg23+lg23⋅lg34；
(3)已知sinα=−35，α是第四象限角，求cs(π4+α)的值.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x+9x.
(1)判断函数f(x)奇偶性，并用定义法证明；
(2)写出函数f(x)的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
(3)求函数f(x)在[2,9]上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)+1−2cs2(ωx+φ2)(ω>0,|φ|<π2)为奇函数，且f(x)的最小正周期是π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈(0,π)时，求满足方程f2(x)+f(x)−2=0的x的值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=a⋅2x+1+12x−1为奇函数.
(1)求a的值；
(2)若f(x)>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，求实数k的取值范围；
(3)设g(x)=mcs(2x−π3)+2，若∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，集合A={x|x2−3x+2<0}=(1,2)，
B={x|0
故选：A.
根据题意，求出集合A、B，进而计算可得答案．
本题考查集合交集的计算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
根据a<1，不一定能得到 1a>1(如a=−1时)；但当1a>1，一定能推出a<1，从而得到答案．
【解答】
解：由a<1，不一定能得到 1a>1(如a=−1时)；
但当1a>1时，有0
故选B.
3.【答案】D
【解析】解：a=20.3>1，b=lg0.32<0，c=tan40∘∈(0,1)，
所以a>c>b.
故选：D.
由已知结合指数函数及对数函数单调性即可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为P(1,3)为角α终边上一点，
所以tanα=31=3，
则2sinα−csαsinα+2csα=2tanα−1tanα+2=2×3−13+2=1.
故选：B.
由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，当c<0时，∵a>b，∴ac
对于C，c=0时，ac2=bc2=0，故C不成立；
对于D，由不等式的倒数法则可得：如果a
故选：B.
由c<0时，不成立可以判断A；由c=0时，不成立可以判断C；由不等式的基本性质可以判断B，D.
本题考查了不等式的基本性质，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：平移后的函数的初相是：−π5，
平移前的初相是π5，
∵−π5−π5=−2π5.
∴为了得到函数y=3sin(x−π5)的图象，只要把y=3sin(x+π5)上所有的点：向右平行移动2π5的单位长度．
故选：C.
利用平移后的初相减去平移前的初相，即可得到平移的方向与平移的单位．
本题考查函数的图象的平移变换，解题方法需要注意，必须是函数同名，ω相同，平移后与平移前的初相差值为负，函数的图象向右平移，差值为正，向左平移．
7.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=2|x|+1x2+1−1的定义域为R，f(−x)=2|−x|+1(−x)2+1−1=2|−x|+1x2+1−1=f(x)，
因此f(x)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D不满足；
又f(1)=12>0，所以选项B不满足，选项A符合题意．
故选：A.
利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项．
本题考查根据函数性质确定函数图象问题，考查数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可得C=57⋅10n，
则当I=15A时，57⋅10n=15n⋅t，
所以t=57⋅(23)n=57⋅(23)lg322=57⋅(23)lg2312=57×12=28.5h，
即当放电电流I=15A时，放电时间为28.5h，
故选：B.
根据题意求出蓄电池的容量C，再把I=15A时代入，结合指数与对数的运算性质即可求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数与对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵f(x)=|x|的定义域为R，φ(t)= t2=|t|，定义域为R，
∴式子f(x)=|x|，φ(t)= t2表示同一个函数，故A正确；
对于B，y= 1+x⋅ 1−x的定义域为[−1,1]，
y= 1−x2的定义域为[−1,1]，
且y= 1+x⋅ 1−x= (1+x)(1−x)= 1−x2，
∴y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数，故B正确；
对于C，∵函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，
当x>1时，f(x)=ax单调递增，∴a<0，
当x≤1时，f(x)=−x2−ax−5(对称轴为x=−a2)单调递增，
则−a2≥1，即a≤−2，
若要保证函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，
还需要满足−12−a×1−5≤a1，即a≥−3，
∴实数a的取值范围是[−3,−2]，故C错误；
对于D，由函数的定义得：
若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有唯一一个元素对之相对应，故D正确．
故选：ABD.
利用同一函数的定义判断AB；利用分段函数的单调性判断C；利用函数的定义判断D.
本题考查同一函数的定义、分段函数的单调性、函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，当α=−240∘时，α是第二象限角，但是α2=−120∘是第三象限角，故A不正确；
对于B，扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则该扇形的弧长l=18cm，半径r=6cm，
可知此扇形的面积S=12lr=36cm2，故B不正确；
对于C，函数f(x)=2cs(2x+π3)满足f(π3)=2csπ=−2，取到最小值，
故x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴，C项正确；
对于D，当sinα+csα=15时，平方得sin2α+cs2α+2sinαcsα=125，1+2sinαcsα=125，
即2sinαcsα=−2425<0，结合0<α<π可得α为钝角，
因此sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα= 4925=75，
可得sin4α−cs4α=(sin2α+cs2α)(sin2α−cs2α)=sin2α−cs2α=(sinα+csα)(sinα−csα)=725，故D正确．
故选：CD.
根据象限角的定义，通过举反例判断出A项的正误；利用扇形的周长与面积公式加以验证，判断出B项的正误；计算出f(π3)的值，与f(x)的最值加以比较，从而判断出C项的正误；利用同角三角函数的基本关系进行验证，判断出D项的正误．
本题主要考查余弦函数的图象与性质、三角函数的定义与同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，
所以令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=2f(x)f(1)=0，
即f(x+1)+f(x−1)=0，即f(x+1)=−f(x−1)，
所以f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故C正确；
令x=y=0，则2f(0)=2[f(0)]2，
解得：f(0)=0或f(0)=1，
当f(0)=0时，令y=0，则2f(x)=2f(x)f(0)=0，所以f(x)=0，故A，D不正确；
此时f(x+1)=0，其函数图像关于原点对称，是奇函数；
当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(−y)=2f(0)f(y)=2f(y)，
所以f(y)=f(−y)，所以函数f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
又因为f(x+2)=−f(x)，所以f(x+2)=−f(−x)，所以f(x+1)=−f(−x+1)，
所以f(x+1)为奇函数．
综上可得：f(x+1)是奇函数，故B正确．
故选：BC.
根据已知恒等式，令y=1即可判断函数的周期性，进而得出选项C的正误；再令x=y=0，求出f(0)，分两种情况讨论并判断出函数的奇偶性，进而判断A，B，D的正误即可．
本题考查抽象函数的性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
12.【答案】2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=xm−lg(x+7)的图象经过点(3,5)，
则f(3)=3m−lg10=3m−1=5，解可得m=2.
故答案为：2.
根据题意，由函数的解析式可得f(3)=3m−lg10=3m−1=5，解可得m的值，即可得答案．
本题考查函数值的计算，注意函数的解析式，属于基础题．
13.【答案】32
【解析】解：函数y=ax(a>1)在[2,3]上的最大值比最小值大a22，
函数y在[2,3]上单调递增，
则a3−a2=a22，解得a=32.
故答案为：32.
结合指数函数的单调性，列出等式，即可求解．
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】−52
【解析】解：方程f(x)=m在[−π6,π]上有两个不同的实根等价于y=f(x)与y=m的图象在[−π6,π]上有两个交点，
如图为函数f′(x)=sin(x+π3)在[−π6,π]上的图象：
由图中可以看出当y=f(x)与y=m有两个交点时，
有12≤m<1,x1+x2=π6×2=π3且−π6≤x1<π6，此时m=sin(x1+π3)，
所以cs(x1−x2)−2 3m=cs(2x1−π3)−2 3sin(x1+π3)=2cs2(x1−π6)−2 3cs(x1−π6)−1令t=cs(x1−π6)，因为−π6≤x1<π6，则x1−π6∈[−π3,0),所以t∈[12,1),
记g(t)=2t2−2 3t−1,t∈[12,1),因为函数g(t)=2t2−2 3t−1开口向上，且对称轴为t= 32，所以当t= 32时，g(t)min=2×( 32)2−2 3× 32−1=−52，
所以cs(x1−x2)−2 3m的最小值为−52.
故答案为：−52.
画出函数f(x)=sin(x+π3)的图象，结合图象得12≤m<1,−π6≤x1<π6，根据对称性把cs(x1−x2)−2 3m转化为cs(2x1−π3)−2 3sin(x1+π3)，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可．
本题主要考查三角函数的单调性和最值，属于中档题．
15.【答案】解：(1)sin570∘=sin(360∘+210∘)=sin210∘=sin(180∘+30∘)=−sin30∘=−12；
(2)原式=54×14+3+lg3lg2⋅lg4lg3=5+3+2=10；
(3)已知sinα=−35，α是第四象限角，
所以csα=45，
cs(π4+α)=csπ4csα−sinπ4sinα= 22×45− 22×(−35)=7 210.
【解析】(1)直接利用诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值求解即可；
(2)由已知结合对数的换底公式及对数恒等式进行化简即可求解；
(3)由已知可得csα=45，α是第四象限角，由两角和与差的余弦函数公式即可求cs(π4+α)的值．
本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，对数的换底公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数公式的应用，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)f(x)=x+9x为奇函数，
证明：f(x)=x+9x的定义域为{x|x≠0}，
有f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数；
(2)f(x)=x+9x，
在区间(3,+∞)上为增函数，
在区间(0,3)上为减函数，
在区间(−3,0)上为减函数，
在区间(−∞,−3)上为增函数，
证明：f(x)在(0,3)上为减函数，
设0
又由0
故f(x1)−f(x2)>0，则f(x)在(0,3)上为减函数，
(3)根据题意，由(2)的结论，f(x)在区间(3,+∞)上为增函数，在区间(0,3)上为减函数，
则f(9)=10，f(2)=2+92=132，
f(3)=3+93=6，
故f(x)在[2,9]上的最大值为10，最小值为6.
【解析】(1)根据题意，利用奇偶性分定义分析可得答案；
(2)由对号函数的性质分析f(x)的单调性，利用作差法证明可得答案；
(3)根据题意，由函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数的最值，属于基础题．
17.【答案】解：在Rt△OBC中，OB=csα，BC=sinα.
在Rt△OAD中，DAOA=tan60∘= 3.
OA= 33DA= 33BC= 33sinα，
AB=OB−OA=csα− 33sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AB⋅BC
=(csα− 33sinα)sinα
=sinαcsα− 33sin2α
=12sin2α− 36(1−cs2α)
=12sin2α+ 36cs2α− 36
=1 3( 32sin2α+12cs2α)− 36
=1 3sin(2α+π6)− 36.
由0<α<π3，得π6<2α+π6<5π6，
所以当2α+π6=π2，即α=π6时，
S最大=1 3− 36= 36.
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 36.
【解析】利用直角三角形的边角关系表示出OB、BC、OA和AB，写出矩形ABCD的面积，利用三角函数的性质求出它的最大值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
18.【答案】解：(1)根据题意，可得f(x)= 3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，
因为f(x)的最小正周期是π，且ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，
又因为f(x)为奇函数，所以φ−π6=kπ,k∈Z，结合|φ|<π2，取k=0得φ=π6.
综上所述，f(x)的解析式为f(x)=2sin2x.
(2)方程f2(x)+f(x)−2=0，即[f(x)+2][f(x)−1]=0，解得f(x)=1或f(x)=−2.
当x∈(0,π)时，2x∈(0,2π)，
若f(x)=2sin2x=1，则sin2x=12，可得2x=π6或5π6，所以x=π12或5π12；
若f(x)=2sin2x=−2，则sin2x=−1，可得2x=3π2，所以x=3π4.
综上所述，x的值为π12或5π12或3π4.
【解析】(1)利用二倍角的三角函数公式与两角差的正弦公式，化简得f(x)=2sin(ωx+φ−π6)，再利用f(x)为奇函数且周期为π，算出ω与φ的值，可得f(x)的解析式；
(2)先化简方程f2(x)+f(x)−2=0得到f(x)=1或f(x)=−2，再根据正弦函数的图象与性质，算出满足条件的x的值．
本题主要考查三角恒等变换及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
所以f(1)=4a+1，f(−1)=a+1−12=−2(a+1)，
又因为函数y=f(x)为奇函数，
所以f(−1)=−f(1)，
即−2a−2=−4a−1，
解得a=12，
当a=12时，f(x)=2x+12x−1(x≠0)，
所以f(−x)=2−x+12−x+1=12x+112x−1=2x+11−2x=−2x+12x−1=−f(x)，满足函数y=f(x)为奇函数，
所以a=12；
(2)由(1)可知f(x)=2x+12x−1(x≠0)，
所以f(x)>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，
即2x+12x−1>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，
所以k<(2x)2+2x2x−1在x∈(0,1]上成立，
令t=2x−1∈(0,1],则2x=t+1，
所以k<(t+1)2+t+1t=t+2t+3，
令g(t)=t+2t+3，t∈(0,1],
由对勾函数的性质可知g(t)在(0,1]上单调递减，
所以g(t)min=g(1)=6，
所以k<6，
所以实数k的取值范围为(−∞,6)；
(3)因为对∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立，
所以函数g(x)在[0,π2]上的值域为函数f(x)在[1,+∞)上值域的子集，
因为f(x)=2x+12x−1=1+22x−1，
故f(x)在[1,+∞)上单调递减，
所以f(x)≤f(1)=3，又f(x)>1，
所以函数f(x)在[1,+∞)上值域为(1,3]；
因为0≤x≤π2，
所以−π3≤2x−π3≤2π3，
所以−12≤cs(2x−π3)≤1，
当m>0时，2−m2≤g(x)≤m+2，
则有[2−m2,m+2]⊆(1,3],
所以2−m2>1m+2≤3m>0，解得0
则有[m+2,2−m2]⊆(1,3],
所以m+2>12−m2≤3m<0，解得−1
综上，实数m的取值范围为(−1,1].
【解析】(1)求出函数的定义域，再由f(−1)=−f(1)求解后检验即可；
(2)由题意可得k<(2x)2+2x2x−1在x∈(0,1]上成立，令t=2x−1，则k
本题考查了指数函数、余弦函数及对勾函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
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