2023-2024学年湖南省部分学校高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省部分学校高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|x≥4}，N={x|x−1≤8}，则M∩N=( )
A. [−9,4]B. (9,+∞)C. [4,9]D. [4,7]
2.“α=π2”是“sinα=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件
3.已知弧长为π的扇形面积也为π，则该扇形的圆心角(正角)为( )
A. π4B. π3C. 2π2D. π2
4.已知a2+b2=4ab−1，则ab的最小值为( )
A. 12B. 13C. 2D. 3
5.已知a=20.45，b=40.22，c=lg8，则( )
A. cc.
故选：A.
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：对于函数f(x)=4x+x2−2x−20(x>1)，
∵f(2)=16+4−4−20=−40，f(2)f(3)1)的零点所在的区间为(2,3).
故选：B.
由于连续函数f(x)满足f(2)0，根据函数零点的判定定理求得零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为α2∈(−π2,0)，sinα2=−2 55，
所以csα2= 55，tanα2=−2，
所以tanα=tan(2×α2)=−41−(−2)2=43.
故选：A.
根据正切与正、余弦的的关系求出tanα2，再结合正切二倍角公式求得结果．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：80℃的物块经过tmin后的温度θ1=20+60e−t4，
60℃的物块经过tmin后的温度θ2=20+10e−t4.
要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则20+60e−t4−(20+40e−t4)≤10，
即e−t4≤12，
解得t≥4ln2=2.76.
故选：A.
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故A错误；
对于B：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故B正确；
对于C：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，由选项C的函数图象都为单调递减函数，故C错误；
对于D：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故D正确．
故选：BD.
直接利用指数函数和对数函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：∵函数f(x)=lg2(mx−7)在[3,4]上单调递增，
∴t=mx−7在[3,4]上大于零且单调递增，∴m>03m−7>0，求得m>73.
则m的取值可以为4或5，
故选：CD.
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，求得m的取值范围，从而得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意知，函数h(t)=Asin(π15t+θ)+h中，h(0)=−A+h=Asinθ+h，所以sinθ=−1，因为|θ|0时，令g(x)=0，
得f(x)=12|lg2x|，
画出函数y=12|lg2x|的图象，
因为12|lg217|>12|lg216|=2，
所以f(x)与y=12|lg2x|在(0,+∞)上的图象只有8个零点，
根据函数奇偶性可得g(x)恰有16个零点，
即选项D错误．
故选：AC.
对于选项A，由已知可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)；对于选项B，由已知条件作出f(x)的部分图象可判断；对于选项C，结合函数的周期性可判断；对于选项D，结合函数的性质，作出y=f(x)与y=12|lg2x|在(0,+∞)上的图象，观察两者的交点个数即可．
本题考查了函数的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】2 55
【解析】解：∵角α的终边经过点(π,2π)，
∴sinα=2π π2+4π2=2 55，
则cs(π2−α)=sinα=2 55.
故答案为：2 55.
由题意，利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
14.【答案】(6,1)
【解析】解：令6+x2x=1，得x=6，此时y=1，
所以点A的坐标为(6,1).
故答案为：(6,1).
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】2π3
【解析】解：根据题意，可得f(x)=cs(3x+φ)+a的周期T=2π3，作出函数y=f(x)的草图，如下图所示，
由于f(x)在[0,π]上有32个周期，若f(x)在[0,π]上恰有3个零点x1、x2、x3，则x3−x1=T=2π3.
故答案为：2π3.
求得f(x)的周期T=2π3，可知f(x)在[0,π]上有32个周期，结合图象的特征求出x3−x1的值．
本题主要考查三角函数的周期性、余弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、图象的理解能力，属于基础题．
16.【答案】[−12,0)∪(0,12]
【解析】解：令g(x)=f(x)x3(x≠0)，
因为f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
所以g(−x)=f(−x)(−x)3=−f(x)−x3=g(x)，
所以g(x)为偶函数，由题知∀x1，x2∈(0,+∞)，
不妨设x1>x2>0，即x1−x2>0，
因为(x1−x2)[f(x1)x12−f(x2)x23]1，解得1f(−1)，即可求解；
方法二：根据题意，转化为ax+x≤30对x∈[−1,3]恒成立，令g(x)=ax+x，x∈[−1,3]，结合函数的单调性，得到a3+3≤30，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由函数f(x)= 3−2 3sin2x+(sinx+csx)2= 3(1−2sin2x)+1+2sinxcsx
= 3cs2x+sin2x+1=1+2sin(2x+π3).
令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,(k∈Z)，可得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z).
所以f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ],k∈Z.
(2)解：由函数f(x)=2sin(2x+π3)+1，
令2x+π3=kπ,k∈Z，解得x=−π6+kπ2,k∈Z，
所以f(x)图象的对称中心的坐标为(−π6+kπ2,1),k∈Z.
(3)解：由f(α2)=32，可得1+2sin(α+π3)=32，则sin(α+π3)=14，
因为α∈(π6,2π3)，所以α+π3∈(π2,π)，所以cs(α+π3)=− 154，
所以csα=cs[(α+π3)−π3]=cs(α+π3)csπ3+sin(α+π3)sinπ3=− 154×12+14× 32= 3− 158.
【解析】(1)根据题意，化简得到f(x)=2sin(2x+π3)+1，结合三角函数的性质，即可求解；
(2)由(1)中函数f(x)的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
(3)由f(α2)=32，求得sin(α+π3)=14，得到cs(α+π3)=− 154，结合两角差的余弦公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)F(x)=f(x)−g(x)=2lg3(x+3)−lg3(3x+3)，F(x)的定义域为(−1,+∞).
(2)f(x)=lga(x+a)2.
因为a>0且a≠1，x∈(1,+∞)，所以x+a>03x+a>0恒成立．
若a>1，则函数y=lgax是增函数．
因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2>3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a>0.
设h(x)=x2+(2a−3)x+a2−a，要使x∈(1,+∞)时，h(x)>0恒成立，
只需−2a−32>1Δ1符合题意．
若0