四川省广安市岳池县城关中学校2024年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1. 在下列四个图中，与是同位角的图是（ ）．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可．
【详解】解：图①与是同位角；
图②的两边所在的直线没有任何一条和的两边所在的直线公共，和不是同位角；
图③与同位角；
图④的两边所在的直线没有任何一条和的两边所在的直线公共，和不是同位角；
故选：B．
2. 在实数，0，，，，，，，（每个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根及立方根的求法，无理数与有理数的区分，理解无理数所包含的数的类型是解题关键．先根据立方根及算术平方根的求法将数进行化简，然后依据无理数是无限不循环小数进行判断即可得．
【详解】解：，，，
∴无理数有：，，（每个1之间依次多一个2），
∴无理数有3个，
故选：B．
3. 下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简：．根据分别对A、B、C、D进行判断即可．
【详解】解：A．，原计算正确，符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意．
故选：A．
4. 若，，则x的值为（ ）
A. 2370B. 237C. 2.37D. 0.237
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握小数点的移动规律，算术平方根的规律为：根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致．
根据根号内的小数点移动规律即可求解．
【详解】解：∵，，
，
故选：A．
5. 如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（ ）
A. ∠EOD比∠FOB大B. ∠EOD比∠FOB小
C. ∠EOD与∠FOB相等D. ∠EOD与∠FOB大小关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】分析题意可知：根据垂线的定义，可确定∠EOD+∠BOD=90°，∠FOB+∠BOD=90°，根据余角的性质可得出结论.
【详解】解：∵EO⊥AB，垂足为O，
∴∠EOB=90°．
∴∠EOD与∠BOD互余．
∵FO⊥CD，
∴∠FOB与∠BOD互余，∴∠EOD=∠FOB．
故选C
【点睛】此题属于基础题，较简单，主要考查的是余角的性质和垂线的定义，本题的关键是记住互为余角的两个角的和为90度，熟练掌握同角或等角的余角相等.
6. 下列说法正确的有（ ）
①在同一平面内，两条不重合的直线只有平行或相交这两种位置关系；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，所得同位角相等；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据平面内两直线位置关系、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，两条不重合的直线只有平行或相交这两种位置关系，故本小题命题是真命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题命题是真命题；
③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等故本小题命题是假命题；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，是假命题：
故选：B．
7. 如图所示，如果AB∥CD，那么（ ）
A. ∠1=∠4，∠2=∠5B. ∠2=∠3，∠4=∠5
C. ∠1=∠4，∠5=∠7D. ∠2=∠3，∠6=∠8
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要根据平行线的性质进行判断．
【详解】解：A、∠1与∠4不是由两平行线形成的内错角，∠2与∠5不是三线八角中的角，故错误；
B、∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∵∠4与∠5不是三线八角中的角，故错误；
C、∠1与∠4，∠5与∠7不是由两平行线形成的内错角，故错误；
D、∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∠6=∠8（两直线平行，内错角相等），故正确．
故选D．
【点睛】注意：必须由平行线构成的角之间才有特殊关系．此题未指明AD和BC之间的关系．
8. 如图，，垂足为，P是线段上一点，连接的长不可能是（ ）
A 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂线段的性质和三角形中的等面积法，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案．
【详解】解：在中，，垂足为，
∵当时，的值最小，
中，由等面积法可得：，
即：，
，
∴线段的值不可能是4．
故选：A．
9. 如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A. y＝x+zB. x+y﹣z＝90°C. x+y+z＝180°D. y+z﹣x＝90°
【答案】B
【解析】
【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【详解】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
10. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案.
【详解】解：由题意得：

故①符合题意；

故②符合题意；
如图，延长交于



故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④
故选D
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解．
【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
12. 比较大小：______，_____1，________．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可得到；根据可得，进而得到；根据积的乘方计算法则得到，，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
根据积的乘方计算法则可得，，
∵，且，
∴
故答案为：；；．
13. 若，则的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质，求一个数的平方根，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，，
则，
1的平方根是，
故的平方根是．
故答案为：．
14. 已知x，y为实数，且，的算术平方根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平方根有意义的条件、平方根的概念，掌握平方根的被开方数是非负数是解题的关键．
根据平方根有意义的条件求出，进而得到的值，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】解：要使有意义，则，
解得，，
要使有意义，则，
解得，，
所以，
则，
∴，，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
15. 已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和二次根式的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
详解】解：由数轴可知：，，，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是实数与数轴，二次函数的性质，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质是解题的关键．
16. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________．
【答案】##125度
【解析】
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
根据长方形的性质和，可以得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质得出的度数，根据折叠重合的角相等得出，最后利用平行线的性质和折叠的性质即可得出答案．
【详解】解：四边形为长方形，
，．
在直角三角形中，，
，
，
根据折叠重合的角相等，得．
，
，
再根据折叠的性质得到．
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值，实数混合运算法则，正确使用实数的混合运算法则是解题的关键．
（1）利用绝对值，整数指数和平方根的性质的运算法则计算即可；
（2）利用平方根和立方根的性质的运算法则，实数混合运算法则计算即可；
小问1详解】
．
【小问2详解】
．
18. 求解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先移项合并同类项，然后开平方，最后解一元一次方程，即可得出方程的解；
（2）先移项，然后开立方，最后解一元一次方程，即可得出方程的解．
【小问1详解】
解：，
移项合并同类项得：，
开平方得：，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
移项得：，
开立方得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算．
19. 如图，直线相交于点O，于点O，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，先由垂直的定义得到，再由得到，据此根据平角的定义得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，无理数的估算，根据平方根的定义求出的值，再根据算术平方根的定义求出的值，根据估算得到值，代入所求代数式求出代数式的值，再根据算术平方根计算即可求解，掌握算术平方根、平方根、立方根的定义及无理数的估算是解题的关键．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵是的立方根，
∴
∴，
∴，
∵，是的整数部分，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
21. 如图，已知，，求证：．
证明：
∵（已知），
∴∠ =∠ （两直线平行，内错角相等）．
∵，（已知），
∴（ ）
∴∠ =∠ （ ）
∴（等式性质）．
【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
根据平行于同一条直线的两条直线平行，得到；然后根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等得出；再利用等式的性质即可得出．
【详解】证明：∵(已知)，
∴(两直线平行，内错角相等)，
∵，(已知)，
∴(平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴(两直线平行，内错角相等)，
∴(等式性质)．
故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等．
22. △ABC在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图：
（1）过点C作AB的平行线；
（2）过点A作BC的垂线段，垂足为D；
（3）将△ABC先向下平移3格，再向右平移2格得到△EFG（点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点G）
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】
【分析】(1)平移AB，使它经过点C，则可得到直线l满足条件；
(2)利用网格特点作AD⊥BC于D；
(3)根据图形平移的性质画出△EFG即可．
【详解】(1)如图，直线l为所作；
(2)如图，AD为所作；
(3)如图，△EFG为所作．
【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
（1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由，
（2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．
【答案】（1），，这三个数是“完美组合数”，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可；
（2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可．
【小问1详解】
解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵，，，且4，6，12都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
【小问2详解】
解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12，
∴这两个数的乘积为144，
当时，则，
∵，
∴，此时符合题意；
当时，则不符合题意；
综上所述，．
24. 已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出∠B+∠BCE=180°，∠B=∠BCD，再根据CM平分∠BCE可知∠1=∠2，再由CN⊥CM可知，∠2+∠3=90°，故∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4，故可得出结论．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B+∠BCE=180°，∠B=∠BCD，
∵CM平分∠BCE，
∴∠1=∠2，
∵CN⊥CM，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠4=∠BCD，
∴∠B=2∠DCN．
25. 如图，点E，F分别在上，，垂足为点O，，，试说明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证得，由以及利用平角定义得出，结合可以得出，从而得证．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（等量代换），
∵（平角的定义），
∴（等式性质），
∵（已知），
∴（同角或等角的余角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
26. 如图，已知AM∥BN，∠A=80°，点P是射线AM上的动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB∶∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】（1）50°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1，理由详见解析；（3）∠ABC=25°．
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质求出∠ABN，然后再根据角平分线的定义即可求出∠CBD；
（2）先根据平行线性质可得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，然后再由角平分线的定义即可发现规律；
（3）由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN=50°+∠DBN，再结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，即可求解．
【详解】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
又∵∠A=80°，
∴∠ABN=180°－80°=100°，
∴∠ABP+∠PBN=100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=100°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°，
∴∠ABC+∠DBN=50°，
∴∠ABC=25°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定是解题的关键，即：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角相等两直线平行．