广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三下学期港澳班2月开学考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三下学期港澳班2月开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设复数（其中i为虚数单位）,则( )
A.B.C.D.
3．数列满足,,则( )
A.2B.C.-2D.
4．已知函数在定义域上是增函数,且,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．为提升学生的身体素质,某校进行50米短跑训练,下面是甲、乙两名学生6次50米短跑训练的测试成绩（单位：秒）的折线图,则下列说法正确的是( )
A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的众数小于于乙成绩的众数
C.甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
6．已知点是角的终边上一点,则（ ）
A.2B.C.2或D.-2或
7．已知某圆锥的底面半径为2,其体积与半径为1的球的体积相等,则该圆锥的母线长为( )
A.1B.2C.D.5
8．已知F为抛物线焦点,过F的直线与C交于A,B两点,则( )
A.B.C.D.
9．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.4B.C.D.2
10．已知非零向量,的夹角正切值为,且,则( )
A.2B.C.D.1
11．某人进行年度体检,有A,B,C,D,E五个检查项目,为了体检数据的准确性,A项目必须作为第一个项目完成,而B和C两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有( )
A.6种B.12种C.18种D.24种
12．已知是曲线的一条切线,则的最小值为( )
A.B.C.D.-1
二、填空题
13．已知向量,,若,则实数x的值为____________．
14．若的展开式中二项式系数的和为64,则该展开式中的常数项是___________．
15．已知双曲线的离心率为,则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为_____________．
16．已知函数为偶函数,则___________.
17．已知正四面体,M、N分别为棱、的中点,P是线段上的动点,记直线与直线所成的角为,则的最小值是_____________．
三、双空题
18．古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城,在其辉煌的职业生涯中,最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球,则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）.现有球O与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图）,若圆柱又是球的内接圆柱,设球,圆柱的表面积分别为,,体积分别为,,则___________;____________.
四、解答题
19．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求角A;
（2）若,,求的面积．
20．某学校组织了党的二十大知识竞赛（满分100分）,随机抽取200份试卷,将得分制成如下表：
（1）估计这200份试卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;
（2）在这200份试卷中,从成绩在内的试卷中采用分层抽样的方法抽取5份试卷,再从这5份试卷中随机抽取2份试卷,求这2份试卷来自不同成绩区间的概率.
21．曲线C上任意一点P到点的距离与它到直线的距离之比等于,过点且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A,B．
（1）求C的方程;
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．
22．已知函数(a为实常数）．
（1）若,求证：在上是增函数;
（2）当时,求函数在上的最大值与最小值及相应的x值;
（3）若存在,使得成立,求实数的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：集合,则,
故选：D.
2．答案：A
解析：方法一：,所以
方法二：由复数的性质可知
故选：A.
3．答案：A
解析：因为,
所以,,,
故选：A.
4．答案：C
解析：因为函数在定义域上是增函数,且,
则有,则,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
5．答案：C
解析：甲成绩的极差为秒,乙成绩的极差为秒,显然A错误;
甲成绩的众数为8.9秒,乙成绩的众数为8.6秒,B错误;
甲成绩的平均数为,
乙成绩的平均数为,
所以,C正确;
甲成绩的波动性大,相对于甲的平均值比较分散,而乙成绩波动小,相对于乙的平均值比较集中,
所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差,D错误.
故选：C．
6．答案：B
解析：因为点是角的终边上一点,
所以,,
则.
故选：B.
7．答案：C
解析：设圆锥的高为h,则,解得,
所以母线长为.
故选：C.
8．答案：A
解析：易知抛物线的焦点,
将点代入得,,
由得,
设,,则,
所以,
故选：A．
9．答案：D
解析：由图可知,点在图象上,所以,则,
又知点在的增区间上,所以;
由五点作图法可知,,解得,
所以,
则,
故选：D．
10．答案：D
解析：设,的夹角为,由得.
因为,所以,
得,解得或（舍去）.
故选：D.
11．答案：B
解析：依题意,将D,E两个项目全排列,有种情况,
再将B,C两个项目排在D,E排列所形成的3个空位中,有种情况,
最后将A项目放在第一位,有1种情况,
所以共有种情况.
故选：B.
12．答案：B
解析：因为,所以,
设切点为,则,
所以切线方程,即,
所以,则,
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增;
则.
故选：B．
13．答案：
解析：因为,,,
所以,解得.
故答案为：.
14．答案：-320
解析：由已知可得,解得,
的展开式通项为,
令,可得,因此,展开式中的常数项为.
故答案为：-320.
15．答案：
解析：因为双曲线C的离心率为,所以,即,
所以,则,
又双曲线的两条渐近线方程为,
故双曲线两条渐渐近线的斜率为,设其中斜率为2的渐近线的倾斜角为,
则,所以,
所以双曲线两条渐近线所成的锐角的余弦值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因函数在R上为偶函数,且是奇函数,
故在R上为奇函数,则,解得;
验证：当时,,,
由可得为奇函数,
故是偶函数.
故答案为：．
17．答案：
解析：根据题意,将正四面体放置到如图的正方体中,设正方体的边长为2,
如图,以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,
则,,
所以,
所以直线与直线所成的角为的余弦值为,
则
下面采用两种方法求解：
方法一：令,
令,,
所以,
当且仅当取得最大值,时,取得最小值,
所以.
所以的最小值是
故答案为：
方法二：
求导得
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
由于,
所以当时,有最小值
所以的最小值是,
故答案为：.
18．答案：①.;②..
解析：设球O的半径为r,体积为,表面积为,
则圆柱的底面半径为r,高为,球半径为,
由阿基米德得出的结论,
又球O与球的半径比为,
,,
.
故答案为:;.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理,又,
,即,由,得.
（2）由余弦定理知,
即,则,解得（负值舍去）,
.
20．答案：（1）76
（2）
解析：（1）这200份试卷成绩的平均值估计为
．
（2）这200份试卷中按成绩低于80分的有120份,不低于80分的有80份,
因此采用分层抽样的方法抽取的5份试卷中成绩在内有2份,记为,;成绩在内有3份,记为,,．
从这5份试卷中随机抽取2份试卷的总的基本事件有：,,,,,,,
,,,共10个;
其中2份试卷来自不同成绩区间的有,,,,,,共6个;
故这2份试卷来自不同成绩区间的概率为．
21．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）设,由题意：,
化简得：,即C的方程为：.
（2）设直线,,
将l代入C得：,
设直线AF与BF的斜率分别为,,
则
.
,则,直线平分,而三角形内心在的角平分线上, 内切圆的圆心在定直线上.
22．答案：（1）见解析
（2）当时,函数有最小值为,
当时,函数有最大值为.
（3）
解析：（1）由题可知函数的定义域,
因为,所以,所以,
令解得,
所以在上是增函数.
（2）因为,所以,所以,
令解得,令解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,函数有最小值为,
因为,,
所以当时,函数有最大值为.
（3）由得,即,
因为,所以,,所以,
且当时,所以在恒成立,所以,
即存在时,,
令,,
令,,
令,解得,
令,解得,
所以在单调递减,单调递增,
所以,
所以时,恒成立,
所以,
所以实数a的取值范围是.
分数
频数
20
40
60
60
20