黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2024届高三下学期第一次模拟考试 数学 Word版含答案

这是一份黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2024届高三下学期第一次模拟考试 数学 Word版含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合,,则 （ ）
A． B. C. D．
2. 5名应届毕业生报考3所不同院校，每人报考且仅报考1所院校，则不同的报名方法种数是( )
A. B. C. D.
3. 一份新高考数学试卷中有8道单项选择题，小李对其中5道题有思路，3道题完全没有思路。有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小李从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知为虚数单位，复数且满足，求点到直线距离的最大值为（ ）
A. 0 B. C. D.
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（结果取整数，参考数据：，）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知=是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式 +恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：
6，5，7，9，6，8，9，9，7，5, 这组数据的下四分位数为9
B.若随机变量100,，且20，则16
C.若随机变量,，且，则
D.对一组样本数据,,,进行分析，由此得到的线性回归方程为：
，至少有一个数据点在回归直线上
已知为函数的一个对称中心，则（ ）
A. B. 函数为奇函数
C. 曲线关于对称 D. 函数在单调递增
11.如图，已知正方体的棱长为，为底面内(包括边界)的动点，则下
列结论正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C.若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D.若点是的中点，点是的中点，过，作平面平
面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，则_____
13. 已知,则 (用数字作答)
14. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)设，若数列的前项和为，且是与的等差中项
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
16.(15分)某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从 类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题。第二轮答题从类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止。类题每答对一道得10分，类题每答对一道得20分，答错不扣分。以两轮总分和决定优胜者。总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖。某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响.
(Ⅰ) 求小张同学被终止比赛的概率；
(Ⅱ) 现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分
的分布列及期望；
(Ⅲ) 求小张同学获得三等奖的概率.
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求平面与平面夹角的余弦值.
(Ⅲ) 设点在上，且．判断直线
是否在平面内，说明理由
18.(17分)已知双曲线的左、右焦点分别为, ,双曲线的虚轴长为，有一条渐近线方程为, 如图，点是双曲线上位于第一象限内的点，过点作直线与双曲线的右支交于另外一点，连接并延长交双曲线左支于点，连接与，其中垂直于 的平分线，垂足为.
(Ⅰ) 求双曲线的标准方程；
(Ⅱ) 求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(Ⅲ) 求的最小值.


19.(17分)设 ,
(Ⅰ) 当时，求函数的最小值；
(Ⅱ) 当时,求证: ;
(Ⅲ) 求证: 数学试题 参考答案
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
13. 14.
三、解答题
15（13分）【解析】（1），由于是2与的等差中项；所以①，分
当时，解得；分 当时，②，①②得：，整理得，分
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），所以；分
（2）若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，或分
故①，②，分
①②得：；分
整理得分
16、（15分）解析：小张同学被终止比赛的概率为分
分
分布列如下
分
15分
17、（15分）（1）因为平面，又平面，则，
又，且，，平面，故平面；
,
分
（2）过点作的垂线交于点，
因为平面，且，平面，所以，，
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，..6分
则，
因为为的中点，则，所以，
又，所以，故，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，故，分
又因为平面的法向量为，
所以，
分
（3）直线不在平面内，分
因为点在上，且，又，故，
则，由（2）可知，平面的法向量为，所以，所以直线不在平面内．分
（第三问，通过共面向量基本定理且有一个公共点的证明方法，同样给分）
（17分）解析
(1)因为虚轴长为2, 即: 2b=2,所以 b=1.
又因为有一条渐近线方程为，所以
所以双曲线C的标准方程为. ’
(2)由题意，点 A 与点 P 关于原点对称. 设,则
由题意可知直线的斜率存在，设直线 的斜率为,
记，又直线为 ∠F₁PF₂的平分线，则 ’
因为 ，所以
所以 |PF1|=−2+x02+y02 =−2+x02+x023−1=233x0−3,
同理 |PF2|=233x0+3. ’
又，，代入得,
， 化简得
所以，即直线 OA与直线m 的斜率之积为定值. ’
(3)由(2)可知 x₀=3ky₀.又 x₀>0,y₀>0,所以k>0,
将 x₀=3ky₀代入 x023−y02=1,x0>3得, x0=3k3k2−1,y0=13k2−1,
所以 A3k3k2−113k2−1,P(−3k2k2−1, −13k2−1),k>33.
设直线m的方程为y=kx+n,将 P−3k3k2−1−13k2−1代 入 得 n =3k2−1,
所以直线m的方程为 y=kx+3k2−1,k>33.由点到直线距离公式得，
’
又直线 AB 的斜率为 −1k,设直线 AB 的方程为x=−ky+t,
将 A3k3k2−113k2−1代入得 t=4k3k2−1,所以直线AB的方程为 x=−ky+4k3k2−1.
将其与 x23−y2=1x0)联立得 k²−3y²− 8k23k2−1y+7k2+33k2−1=0。
设 Ax₁ y₁,Bx₂ y₂,则y₁+y₂= 8k2k2−33k2−1,y1y2=7k2+3k2−33k2−1. ’
由 y₁y₂1−sinx≥0,可知f(x)在 π2+∞上单调递增，
0≤x≤π2时，令 gx=f'x,当则 g'x=2π−csx,可知 g'x在 0π2上单调递增.
因为 00;所以g(x)在[0,x₀)上单调递减,在 x0π2上单调递增，且 g0=gπ2=0,
则 f'x=gx≤0在 0π2内恒成立，可知f(x)在 0π2上单调递减.
综上所述, f(x)在 0π2上单调递减，在 π2+∞上单调递增，
所以 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 fπ2= π4−1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(x) 在 R 内的最小值为 π4−1. ’
(2)由(1)可知 f(x)是定义在 R上的偶函数,下面取x≥0,
可知 f'x=2ax−sinx,令 φx=f'x=2ax−sinx.
因为 a≥12,则 ϕ'x=2a−csx≥1−csx≥0,则φ(x)在[ 0+∞上单调递增，可得 φx≥φ0=0,即 f'x≥0在 0+∞上恒成立，
可知 f(x)在[ 0+∞上单调递增，
所以 f(x)在0+∞上的最小值为f0=0,结合偶函数性质可知 fx≥0. ’
(3)由(2)可得,当 a=12 时, fx=12x2+csx-1≥0,当且仅当x=0时,等号成立,即 csx≥1−12x2.
令 x=1n,n≥2,n∈N∗,则 cs1n>1−12n2,
当n≥2 时, cs1n>1−12n2=1−24n2>1− 24n2−1=1−12n−1−12n+1,
即 cs1n>1−12n−1−12n+1,
则 cs12>1−13−15,cs13>1− 15−17,⋯,cs1n>1−12n−1−12n+1,
相加可得 cs12+cs13+⋯+cs1n>n−1 −13−12n+1=n−43+12n+1.
因为 n≥2,则 12n+1>0, 所以
即 ， ’
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
C
B
D
A
题号
9
10
11
答案
BC
BCD
ABD
X
40
60
80
100
P