新高考艺术生40天突破数学90分讲义第03讲函数的概念(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第03讲函数的概念(原卷版+解析)，共37页。
一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3B．1C．0D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子可表示自变量为、因变量为的函数
B．函数的图象与直线的交点最多有个
C．若，则
D．与是同一函数
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f(＋1)＝x＋2；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝的定义域是（ ）
A．B．C．D．．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y的定义域为（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，则（ ）
A．0B．2C．3D．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．，D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．D．3
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
三、双空题
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若，则________，若方程有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若，则______；若关于的方程有两个不同零点，则实数的取值范围是______.
四、填空题
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则______.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的实数，满足，且恒大于，若，则____．
28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，分别由下表给出
则的值为________________；满足的的值是______________．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则________．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且满足，求 _____．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
33．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式是________．
35．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为_________．
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围是_______________.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.
五、解答题
39．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
40．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知是二次函数且，，求；
（2）已知，求.
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
第03讲 函数的概念
【知识点总结】
一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3B．1C．0D．
【答案】A
【详解】
根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则，故；
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【详解】
由题意可得的定义域为，
在上单调递增，在上单调递增，
若，所以，可得，
由可得，解得：，
所以，
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，
故选：B.
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子可表示自变量为、因变量为的函数
B．函数的图象与直线的交点最多有个
C．若，则
D．与是同一函数
【答案】BCD
【详解】
对于A选项，对于函数，有，此不等式组无解，A错；
对于B选项，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，
当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有个交点，
所以，函数的图象与直线的交点最多有个，B对；
对于C选项，因为，则，故，C对；
对于D选项，函数与的定义域均为，且对应关系相同，
故与是同一函数，D对.
故选：BCD.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】③
【详解】
①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．
故答案为：③
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】
依题意，
所以的定义域为.
故答案为：
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【详解】
（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f(＋1)＝x＋2；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【详解】
(1)(方法1)(换元法)：设t＝＋1，，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(方法2)(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.
(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝
【答案】B
【分析】
根据函数的定义，要求集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，对选项逐一分析得到结果.
【详解】
A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，
C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，
D中，M＝R，N＝R，f：x→y＝，
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
故选：B．
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
试题分析：A中，B中，C中，D中
考点：函数关系判断
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝的定义域是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】A
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】
依题意，
所以的定义域为.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y的定义域为（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）
【答案】B
【分析】
解不等式组即得解.
【详解】
解：由题意得，
解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义域以及对数的真数为正数、分母不为零可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】
已知函数的定义域为，对于函数，有，
即，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根据函数的定义域为，求出，再令即可求求解.
【详解】
因为函数的定义域为，
所以，
所以，
解得：，
所以的定义域为，
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解.
【详解】
令，则 ，
所以，
所以，
故选：A.
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由当两个函数的定义域相同，对应关系相同时，这两个函数是同一个函数进行分析判断
【详解】
对于A，的定义域为，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以B错误，
对于C，两个函数的定义域为，而，两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误，
对于D，两个函数的定义域为，，两函数的对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，所以D正确，
故选：D
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】
根据函数的定义域是否相同，定义域相同的情况下取相同值看计算出来的结果是否相同即可.
【详解】
A中，的定义域为，的定义域为.A错.
B中，的定义域为，的定义域为.B错.
C中，函数与轴的交点为，函数的零点为.C错.
D中，函数，函数，两函数定义域相同值也相同.D正确.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，则（ ）
A．0B．2C．3D．
【答案】D
【分析】
由可得，得到方程组，可解，代入可求出.
【详解】
由，可得，
联立两式可得，代入可得.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.
11．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】
判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解.
【详解】
由题意可得的定义域为，
在上单调递增，在上单调递增，
若，所以，可得，
由可得，解得：，
所以，
故选：D.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
【答案】C
【分析】
由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】
依题意，当x