新高考艺术生40天突破数学90分讲义第07讲比较大小(原卷版+解析)

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对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a＝lg0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c
例4．（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若，，，，则，，大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则，，的大小排序为（ ）
A．B．C．D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，试比较，，的大小为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））若实数，，互不相等，且满足，则（ ）
A．B．C．，D．，
6．（2022·全国·高三专题练习（理））若，b＝lg25，c＝ln3，则（ ）
A．b＞a＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
7．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·全国·高三专题练习（理））设正数，，满足，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系正确的为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2021·河南·模拟预测（理））已知，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2021·全国·贵阳一中一模（文））已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
22．（2021·全国全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2021·广东茂名·高三阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2021·四川资阳·一模（理））设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．C．D．
25．（2021·重庆·高三阶段练习）设，，均为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
26．（2022·全国·高三专题练习）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）若，，则（ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习）若实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
30．（2022·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
第07讲 比较大小
【知识点总结】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，，，
根据在上是增函数，所以，即.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
∵对任意，，均有成立，
∴此时函数为减函数，
∵是偶函数，
∴当时，为增函数，
，
，，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a＝lg0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c
【答案】A
【详解】
解：∵lg0.53＜lg0.51＝0，∴a＜0，
∵20.3＞20＝1，∴b＞1，
∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
例4．（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由，可得，所以，所以A不正确；
由，，
因为，可得，所以，所以B正确；
由函数为上的递减函数，因为，可得，所以C错误；
例如：当时，，此时，所以D错误.
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若，，，，则，，大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
；
，；
．
故选：．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
，，，
所以，
故选：C.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由，则，同理，，
令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
由图的对称性可知，.
故选：C
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则，，的大小排序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
方法一：设.
则，，，
又，所以，可得.
方法二：由.
得，即
，
可得.
故选：D
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，试比较，，的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数和指数函数的单调性将､､与0､1相比较，即可得到结论.
【详解】
解：∵，
，
，
∴，
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性判断的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出、的大小.
【详解】
因为，又因为指数函数的值大于0，所以；
因为在上单调递增，，所以，
因为在上单调递增，，所以，
所以.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】
，，
，，
，，
.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的运算性质，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
对于：构造函数，由于，则函数在上为减函数，
又因为，则有，所以错误；
对于：构造函数，由于，则函数在上为增函数，
又因为，则，所以B错误；
对于C：，
因为，所以，
所以，所以，所以正确;
对于D：，由于，
所以，所以，所以错误；
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习（理））若实数，，互不相等，且满足，则（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】D
【分析】
令，然后分别求解出，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.
【详解】
解：设，
则，，，
根据指数、对数函数图象易得：，，
即，，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））若，b＝lg25，c＝ln3，则（ ）
A．b＞a＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】B
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质判断可得；
【详解】
解：，，
所以，，，所以
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由对数函数的性可知，再根据三角函数的性质可知，由此即可求出结果.
【详解】
因为，所以，即，
又，所以；
又，所以，即.
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
运用比差法分别比较与，进而可得结果.
【详解】
因为，所以；
又，所以，
所以.
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．
【详解】
解：，
是奇函数，
，
，，
则，
当时，是增函数，
，
即，
故选：C．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先由对数的性质可得，，，然后利用作差法判断的大小即可
【详解】
首先，，
因为，，所以，所以，因为，所以.
故选：A.
11．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数的单调性得到0