新高考艺术生40天突破数学90分讲义第22讲解三角形(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第22讲解三角形(原卷版+解析)，共60页。
1.角的关系
2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
例3．（2022·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为.且， 在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求；
（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的内角所对的边分别为满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则等于（ ）
A．或B．或C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
7．（2022·全国·高三专题练习）已知中，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知的外接圆半径为的周长为则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在中，.则的面积为（ ）
A．B．6C．D．
10．（2022·浙江·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，其中，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
13．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则( )
A．B．C．D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为( )
A．B．C．4D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（ ）
A．B．1C．2D．4
16．（2022·浙江·高三专题练习）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）
A．3B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，分别为内角，，的对边，，的面积为，则（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
18．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（ ）．
A．20 mB．30 mC．40 mD．50 m
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
23．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则___________
24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
25．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则外接圆的面积为__________.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知外接圆的直径为d，，，，则___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，若，则最大角等于_________．
29．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
30．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于__________
31．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则________.
32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.
33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.
四、解答题
34．（2022·全国·高三专题练习）在中， 分别为内角的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断 的形状．
35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a＝8，b＝6，csA，求：
（1）角B；
（2）BC边上的高．
36．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
37．（2022·全国·高三专题练习）在中，分别为角的对边，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
38．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知角，，所对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
39．（2022·天津北辰·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知
（1）若，求角A的大小；
（2）若，求的面积．
40．（2022·上海·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
（1）求的值；
（2）若，，求B和c.
41．（2022·全国·高三专题练习）从①，②，③，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，______．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
42．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角中，角，，所对的边分别是，，，.
（1）求的值.
（2）若，，求的面积.
44．（2022·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积，，求.
45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
46．（2022·全国·高三专题练习）中，，点在边上，平分.
（1）若，求；
（2）若，且的面积为，求.
47．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足，若
（1）求角B；
（2）若周长为6，求的面积.
48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
49．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面积为，求边b．
50．（2022·全国·模拟预测）在△中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）是边上的中点，求的长.
51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，，，，，.
（1）求；
（2）求.
53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，．
（1）求；
（2）若，求四边形的面积．
56．（2022·全国·高三专题练习）如图，中，角成等差数列，，，为的中点.
（1）若，求；
（2）若，记，且，求的值．
57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，米，又在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.
第22讲 解三角形
【知识点总结】
1.角的关系
2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为这个三角形有两解，故满足，
即，解得.
故选：B
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】C
【详解】
因为，
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以或，
即(舍去)或，
故为直角三角形，
故选：C
例3．（2022·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为.且， 在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求；
（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
【解析】
（1）由正弦定理及
得，即，
由余弦定理得，
由于，所以
（2）选①:由的周长为，得，
由（1）得
所以，
所以的面积为.
选②:由正弦定理及得，
由余弦定理得，，即，解得
所以，
所以的面积为.
选③:由正弦定理及，得，
因为，所以，
所以，即，整理可得，
因为，则，所以为等边三角形，
所以的面积为.
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
【详解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项.
【详解】
由知：，即，
∴，即或，
∴或，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据面积公式及余弦定理求出，以及根据正弦定理变形，进一步求出答案.
【详解】
∴
∴，
∴
∴.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的内角所对的边分别为满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.
【详解】
由题，,
又，，，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则等于（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【详解】
由正弦定理知，
∴，
∵，，∴或.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分别在，及应用正弦定理求解.
【详解】
在中，则
在中，因为，
所以
因为，所以，故.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【答案】A
【分析】
根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合△ABC中A