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    新高考艺术生40天突破数学90分讲义第33讲直线方程(原卷版+解析)
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    新高考艺术生40天突破数学90分讲义第33讲直线方程(原卷版+解析)

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    这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第33讲直线方程(原卷版+解析),共47页。

    一、基本概念
    斜率与倾斜角
    我们把直线中的系数()叫做这条直线的斜率,垂直于轴的直线,其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角,规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0,倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率,常用表示,即。
    当时,直线平行于轴或与轴重合;
    当时,直线的倾斜角为锐角,倾斜角随的增大而增大;
    当时,直线的倾斜角为钝角,倾斜角随的增大而减小;
    二、基本公式
    1. 两点间的距离公式
    2. 的直线斜率公式
    3.直线方程的几种形式
    (1)点斜式:直线的斜率存在且过,
    注:①当时,;②当不存在时,
    (2)斜截式:直线的斜率存在且过,
    (3)两点式:,不能表示垂直于坐标轴的直线。
    注:可表示经过两点的所有直线
    (4)截距式:不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
    (5)一般式:,能表示平面上任何一条直线(其中,向量是这条直线的一个法向量)
    三、两直线平行与垂直的判定
    两条直线平行与垂直的判定.
    四、三种距离
    1.两点间的距离
    平面上两点的距离公式为.
    特别地,原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
    2.点到直线的距离
    点到直线的距离
    特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
    3.两条平行线间的距离
    已知是两条平行线,求间距离的方法:
    (1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
    (2)设,则与之间的距离
    注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
    【典型例题】
    例1.(2022·全国·高三专题练习)直线经过点,在轴上的截距的取值范围是,则其斜率的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    例2.(2022·全国·高三专题练习(文))设,直线恒过定点A,则点A到直线的距离的最大值为( )
    A.1B.C.D.
    例3.(2022·全国·高三专题练习)已知点到直线的距离为,则等于( )
    A.B.C.D.
    例4.(2022·全国·高三专题练习)(多选)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),则有( )
    A.PQ∥SRB.PQ⊥PS
    C.PS∥QSD.PR⊥QS
    例5.(2022·全国·高三专题练习)已知直线,直线,若直线关于直线l的对称直线为,则直线的方程为_______________.
    例6.(2022·上海·高三专题练习)坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.
    例7.(2022·全国·高三专题练习)直线与直线之间的距离为__________.
    例8.(2022·全国·高三专题练习)已知两条直线和,试分别确定的值,使:
    (1)与相交于一点;
    (2)且过点;
    (3)且l1在y轴上的截距为.
    例9.(2022·全国·高三专题练习)已知的三个顶点分别为,,,BC中点为D点,求:
    (1)边所在直线的方程
    (2)边上中线AD所在直线的方程
    (3)边的垂直平分线的方程.
    例10.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.
    (1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;
    (2)求△OAB面积的最小值.
    【技能提升训练】
    一、单选题
    1.(2022·全国·高三专题练习)若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则有( )
    A.k1C.k32.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l的方程为,则直线l的倾斜角为( )
    A.30°B.60°C.120°D.150°
    3.(2022·全国·高三专题练习)已知直线的倾斜角为,直线经过点和,且直线与平行,则实数的值为( )
    A.0B.1C.6D.0或6
    4.(2022·全国·高三专题练习)若直线的斜率,则直线的倾斜角的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    5.(2022·全国·高三专题练习)已知,,,,且直线与平行,则的值为( )
    A.B.0C.1D.0或1
    6.(2022·全国·高三专题练习)已知两点A(-2,4),B(2,3),过点P(1,0)的直线与线段AB有公共点,则直线斜率的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    7.(2022·全国·高三专题练习)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
    A.B.
    C.或D.
    8.(2021·云南昆明·模拟预测(理))若等边三角形一边所在直线的斜率为,则该三角形另两条边所在直线斜率为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    9.(2022·全国·高三专题练习)直线的倾斜角为,经过点,,则直线与直线的位置关系是( )
    A.平行B.垂直C.重合D.平行或重合
    10.(2022·全国·高三专题练习)直线,,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    11.(2022·全国·高三专题练习)已知直线与直线平行,则实数的值是( )
    A.B.C.或D.不存在
    12.(2022·全国·高三专题练习)直线与直线平行,那么的值是( )
    A.B.C.或D.或
    13.(2022·全国·高三专题练习)已知直线与直线垂直,则实数a的值为( )
    A.B.C.或D.不存在
    14.(2022·全国·高三专题练习)设,则“”是“直线与直线垂直”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充分必要条件
    D.既不充分也不必要条件
    15.(2022·上海·高三专题练习)过点且与原点距离最大的直线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    16.(2022·全国·高三专题练习)过点且垂直于的直线方程为( )
    A.B.
    C.D.
    17.(2022·江苏·高三专题练习)已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是( )
    A.B.C.D.
    18.(2022·全国·高三专题练习)已知直线,当变化时,所有直线都恒过点( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    19.(2022·全国·高三专题练习)过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
    A.B.
    C.或D.或
    20.(2022·全国·高三专题练习)直线l经过点,与x轴、y轴分别交于A,B两点,当P为AB中点时,直线l的方程为( )
    A.B.
    C.D.
    21.(2022·全国·高三专题练习)经过两直线与的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
    A.或B.或
    C.D.
    22.(2022·江苏·高三专题练习)已知直线l1:3x﹣y﹣1=0,l2:x+2y﹣5=0,l3:x﹣ay﹣3=0不能围成三角形,则实数a的取值不可能为( )
    A.1B.C.﹣2D.﹣1
    23.(2022·全国·高三专题练习)点关于直线的对称点是( )
    A.B.C.D.
    24.(2022·全国·高三专题练习)已知直线,则点P(2,2)关于对称的点的坐标为( )
    A.(1,3)B.(-1,-1)C.(-1,5)D.(-2,-2)
    25.(2022·全国·高三专题练习)若入射光线所在直线的方程为,经x轴反射,则反射光线所在直线的方程是( )
    A.B.
    C.D.
    26.(2022·全国·高三专题练习)两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为( )
    A.B.C.D.
    27.(2022·全国·高三专题练习)直线关于点对称的直线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    二、多选题
    28.(2022·全国·高三专题练习)下列说法中,正确的有( )
    A.过点且在轴截距相等的直线方程为
    B.直线在y轴上的截距是;
    C.直线的倾斜角是
    D.过点并且倾斜角为的直线方程为
    29.(2022·全国·高三专题练习)对于直线:,下列说法错误的是( )
    A.时直线的倾斜角为B.直线斜率必定存在
    C.直线恒过定点D.时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
    30.(2022·全国·高三专题练习)关于直线,下列说法正确的有( )
    A.过点B.斜率为
    C.倾斜角为60°D.在轴上的截距为1
    31.(2022·江苏·高三专题练习)已知直线过,且,到直线的距离相等,则的方程可能是( )
    A.B.
    C.D.
    32.(2022·全国·高三专题练习)已知,,,则( )
    A.直线与线段有公共点
    B.直线的倾斜角大于
    C.的边上的中线所在直线的方程为
    D.的边上的高所在直线的方程为
    33.(2022·全国·高三专题练习)(多选)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则实数c的值是( )
    A.2B.-4
    C.5D.-6
    34.(2022·全国·高三专题练习)已知直线过点且与点、等距离,则直线的方程为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    35.(2022·全国·高三专题练习)过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
    A.B.C.D.
    36.(2022·全国·高三专题练习)与直线平行且到直线l的距离为2的直线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    三、填空题
    37.(2022·全国·高三专题练习)若直线经过点A(-,3),且倾斜角为直线x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为___________.
    38.(2022·江苏·高三专题练习)若经过,两点的直线的倾斜角为,则________.
    39.(2022·全国·高三专题练习)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______.
    40.(2022·全国·高三专题练习)已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围________
    41.(2021·上海市建平中学高二阶段练习)直线和直线夹角的余弦值为________.
    42.(2022·全国·高三专题练习)若点在直线上,则与的位置关系是________.
    43.(2022·上海·高三专题练习)已知直线则直线与的夹角是________.
    44.(2022·全国·高三专题练习)已知点和点,P是直线上的一点,则的最小值是__________.
    45.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是_________.
    46.(2020·全国·高三专题练习)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
    47.(2022·全国·高三专题练习)直线恒过定点,则直线关于点对称的直线方程为_________.
    48.(2022·上海·高三专题练习)直线关于直线对称的直线方程是__________.
    四、解答题
    49.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试)已知,,线段的垂直平分线为直线.
    (1)求直线的一般式方程;
    (2)若点在直线上,且,求点坐标.
    50.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l1:2x+y+3=0,l2:x﹣2y=0.
    (1) 求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程,并求l2与l3的交点P;
    (2)求过点P且与原点O(0,0)距离等于2的直线m的方程.
    51.(2022·上海·高三专题练习)两平行线,分别过点与.
    (1)若与距离为2,求两直线方程;
    (2)设与之间距离是,求的取值范围.
    52.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l:x+2y-2=0.
    (1)求直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
    (2)求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
    53.(2022·上海·高三专题练习)已知直线和直线,若直线被和截得的线段的中点恰为坐标原点,求直线的方程.
    两直线方程
    平行
    垂直
    (斜率存在)
    (斜率不存在)

    或中有一个为0,另一个不存在.
    第33讲 直线方程
    【知识点总结】
    一、基本概念
    斜率与倾斜角
    我们把直线中的系数()叫做这条直线的斜率,垂直于轴的直线,其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角,规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0,倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率,常用表示,即。
    当时,直线平行于轴或与轴重合;
    当时,直线的倾斜角为锐角,倾斜角随的增大而增大;
    当时,直线的倾斜角为钝角,倾斜角随的增大而减小;
    二、基本公式
    1. 两点间的距离公式
    2. 的直线斜率公式
    3.直线方程的几种形式
    (1)点斜式:直线的斜率存在且过,
    注:①当时,;②当不存在时,
    (2)斜截式:直线的斜率存在且过,
    (3)两点式:,不能表示垂直于坐标轴的直线。
    注:可表示经过两点的所有直线
    (4)截距式:不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
    (5)一般式:,能表示平面上任何一条直线(其中,向量是这条直线的一个法向量)
    三、两直线平行与垂直的判定
    两条直线平行与垂直的判定.
    四、三种距离
    1.两点间的距离
    平面上两点的距离公式为.
    特别地,原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
    2.点到直线的距离
    点到直线的距离
    特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
    3.两条平行线间的距离
    已知是两条平行线,求间距离的方法:
    (1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
    (2)设,则与之间的距离
    注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
    【典型例题】
    例1.(2022·全国·高三专题练习)直线经过点,在轴上的截距的取值范围是,则其斜率的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】
    设直线的斜率为,则直线方程为,直线在轴上的截距为1-,
    令-3<1-<3,解不等式得或.
    故选:D.
    例2.(2022·全国·高三专题练习(文))设,直线恒过定点A,则点A到直线的距离的最大值为( )
    A.1B.C.D.
    【答案】D
    【详解】
    恒过的点为,直线变形为,恒过点,所以点到直线的距离最大值即为的长,其中.
    故选:D
    例3.(2022·全国·高三专题练习)已知点到直线的距离为,则等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】
    解:由题意得.
    解得或.,.
    故选:C.
    例4.(2022·全国·高三专题练习)(多选)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),则有( )
    A.PQ∥SRB.PQ⊥PS
    C.PS∥QSD.PR⊥QS
    【答案】ABD
    【详解】
    依题意,直线PQ,SR,PS,QS,PR的斜率分别为:,,
    ,,,
    由得PQ∥SR,由得PQ⊥PS,由得PR⊥QS,而得PS与QS不平行,
    即选项ABD正确,选项C不正确.
    故选:ABD
    例5.(2022·全国·高三专题练习)已知直线,直线,若直线关于直线l的对称直线为,则直线的方程为_______________.
    【答案】.
    【详解】
    由题意知,设直线,在直线上取点,
    设点关于直线的对称点为,
    则, 解得,即,
    将代入的方程得,
    所以直线的方程为.
    故答案为:
    例6.(2022·上海·高三专题练习)坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.
    【答案】
    【详解】
    解:设原点关于直线对称的点的坐标是,
    则中点坐标为在直线上,直线的斜率为
    则,解得,.
    要求的对称的点的坐标是.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    例7.(2022·全国·高三专题练习)直线与直线之间的距离为__________.
    【答案】
    【详解】
    化简直线为,
    根据平行线间的距离公式,可得,
    即直线与直线之间的距离为.
    故答案为:.
    例8.(2022·全国·高三专题练习)已知两条直线和,试分别确定的值,使:
    (1)与相交于一点;
    (2)且过点;
    (3)且l1在y轴上的截距为.
    【解析】
    (1)解:由于与相交于一点,故把点代入的方程
    可得,联立解得.
    (2)解:当时,可得和,此时不满足;
    当时,因为且过点,可得,
    解得或.
    (3)解:由且l1在y轴上的截距为,可得,解得.
    例9.(2022·全国·高三专题练习)已知的三个顶点分别为,,,BC中点为D点,求:
    (1)边所在直线的方程
    (2)边上中线AD所在直线的方程
    (3)边的垂直平分线的方程.
    【解析】
    (1),故边所在直线的方程为:,
    化简得到.
    (2)中点为,即,故,
    故AD所在直线的方程为,即.
    (3),故垂直平分线的斜率为,中点为,
    故垂直平分线的方程为,即.
    例10.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.
    (1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;
    (2)求△OAB面积的最小值.
    【详解】
    解:(1)由题意可设直线的方程为,即,
    则,解得.
    故直线的方程为,即;
    (2)直线的方程为,
    ,,依题意,解得,
    则的面积为.
    则(当且仅当时,等号成立).
    故面积的最小值为.
    【技能提升训练】
    一、单选题
    1.(2022·全国·高三专题练习)若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则有( )
    A.k1C.k3【答案】D
    【分析】
    根据图像可知,,,再由与倾斜角的大小得到,进而得到结果.
    【详解】
    由图可知,,,且直线的倾斜角大于直线的倾斜角,所以.
    综上可知.
    故选:D.
    2.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l的方程为,则直线l的倾斜角为( )
    A.30°B.60°C.120°D.150°
    【答案】D
    【分析】
    由直线方程可得斜率,根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
    【详解】
    由题设,直线斜率,若直线的倾斜角为,则,
    ∵,
    ∴.
    故选:D
    3.(2022·全国·高三专题练习)已知直线的倾斜角为,直线经过点和,且直线与平行,则实数的值为( )
    A.0B.1C.6D.0或6
    【答案】C
    【分析】
    求出直线的与的斜率,利用两个斜率相等列方程即可求解.
    【详解】
    因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为,
    因为直线经过点和,所以直线斜率为,
    因为直线与平行,所以,解得:,
    故选:C.
    4.(2022·全国·高三专题练习)若直线的斜率,则直线的倾斜角的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】
    根据斜率的取值范围,结合来求得倾斜角的取值范围.
    【详解】
    设倾斜角为,因为,且,所以.
    故选:B
    5.(2022·全国·高三专题练习)已知,,,,且直线与平行,则的值为( )
    A.B.0C.1D.0或1
    【答案】D
    【分析】
    分直线与的斜率不存在与存在两类分别讨论,斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式,解之即可.
    【详解】
    当直线与的斜率不存在,即时,直线AB的方程为:,直线CD的方程为:,显然,满足题意.
    ②当直线与的斜率存在,即时,直线AB的斜率,直线CD的斜率
    要使直线与平行,须,即,解得:或(舍)
    当时,直线AB的方程为:,直线CD的方程为:,显然,满足题意.故.
    综上所述,或.
    故选:D.
    6.(2022·全国·高三专题练习)已知两点A(-2,4),B(2,3),过点P(1,0)的直线与线段AB有公共点,则直线斜率的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】
    根据直线的斜率,利用数形结合法求解.
    【详解】
    如图所示:
    由图象知:过点P(1,0)的直线为直线PA,PB之间任意一条直线,
    而,
    因为直线与线段AB有公共点,
    所以或,
    故选:D
    7.(2022·全国·高三专题练习)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
    A.B.
    C.或D.
    【答案】D
    【分析】
    直线经过定点,利用斜率计算公式可得:,,根据直线与线段相交,即可得出.
    【详解】
    解:直线经过定点,
    ,,
    又直线与线段相交,

    故选:.
    8.(2021·云南昆明·模拟预测(理))若等边三角形一边所在直线的斜率为,则该三角形另两条边所在直线斜率为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【分析】
    根据题意,设三角形另两条边所在直线的斜率为,且,由直线的到角公式即可求出.
    【详解】
    根据题意,设三角形另两条边所在直线的斜率为,且,
    则有,解得,,
    故另两条边所在直线斜率为,.
    故选:C.
    【点睛】
    关键点睛:解题的关键是正确利用直线的夹角公式.
    9.(2022·全国·高三专题练习)直线的倾斜角为,经过点,,则直线与直线的位置关系是( )
    A.平行B.垂直C.重合D.平行或重合
    【答案】D
    【分析】
    求出直线的斜率,根据,的斜率关系,即可求解.
    【详解】
    由点,,可求得直线的斜率,
    因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率,
    则有,则直线与直线平行或重合.
    故选: D.
    10.(2022·全国·高三专题练习)直线,,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】
    利用充分条件,必要条件和充要条件的定义判断.
    【详解】
    当时,直线,,,所以,故充分;
    当时,,解得或,故不必要;
    所以“”是“”的充分不必要条件,
    故选:A
    11.(2022·全国·高三专题练习)已知直线与直线平行,则实数的值是( )
    A.B.C.或D.不存在
    【答案】C
    【分析】
    先判断两条直线的斜率都存在,再根据两条直线平行的关系,得到的方程,从而解得的值.
    【详解】
    因为直线,互相平行
    则两直线的斜率都应存在,
    所以由两直线平行得到

    解得或,
    故选:C
    12.(2022·全国·高三专题练习)直线与直线平行,那么的值是( )
    A.B.C.或D.或
    【答案】B
    【分析】
    根据两直线平行的等价条件列方程组,解方程组即可求解.
    【详解】
    因为直线与直线平行,
    所以,解得:,
    故选:B.
    13.(2022·全国·高三专题练习)已知直线与直线垂直,则实数a的值为( )
    A.B.C.或D.不存在
    【答案】C
    【分析】
    分为直线斜率存在和不存在两种情况直接求解即可.
    【详解】
    当时,直线,直线,两直线垂直,符合题意;
    当时,由两直线垂直可得,解得或1(舍去),
    综上所述,或.
    故选:C
    14.(2022·全国·高三专题练习)设,则“”是“直线与直线垂直”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充分必要条件
    D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】
    根据两直线垂直,求的值,再根据充分必要条件的定义,判断选项.
    【详解】
    由题知,当时,直线的方程为,斜率,直线的方程为,斜率.因为,所以两直线垂直,故充分性成立;若直线与垂直,则有,解得或,故必要性不成立.
    故选:A.
    15.(2022·上海·高三专题练习)过点且与原点距离最大的直线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】
    结合图形可知,所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线,通过点斜式即可得结果.
    【详解】
    结合图形可知,所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线,其斜率为,直线方程为,即.
    故选:A.
    16.(2022·全国·高三专题练习)过点且垂直于的直线方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】
    求出直线l的斜率,再借助垂直关系的条件即可求解作答.
    【详解】
    直线的斜率为,而所求直线垂直于直线l,则所求直线斜率为,
    于是有:,即,
    所以所求直线方程为.
    故选:B
    17.(2022·江苏·高三专题练习)已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】
    把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程.
    【详解】
    把坐标代入两条直线和,得
    ,,
    ,
    过点,的直线的方程是:,
    ,则,
    ,,
    所求直线方程为:.
    故选 :A.
    18.(2022·全国·高三专题练习)已知直线,当变化时,所有直线都恒过点( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【分析】
    将直线方程整理为,从而可得直线所过的定点.
    【详解】
    可化为,∴直线过定点,
    故选:D.
    19.(2022·全国·高三专题练习)过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
    A.B.
    C.或D.或
    【答案】D
    【分析】
    分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
    【详解】
    当直线过原点时,满足题意,方程为,即2x-y=0;
    当直线不过原点时,设方程为,
    ∵直线过(1,2),∴,∴,∴方程为,
    故选:D﹒
    20.(2022·全国·高三专题练习)直线l经过点,与x轴、y轴分别交于A,B两点,当P为AB中点时,直线l的方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】
    设,,利用中点坐标公式即可得出a,b,利用截距式即可得出直线l的方程.
    【详解】
    解:设,,
    ∵P为AB中点,∴,
    解得,,
    ∴直线的方程为:,
    化为:,
    故选:D.
    21.(2022·全国·高三专题练习)经过两直线与的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
    A.或B.或
    C.D.
    【答案】B
    【分析】
    先求出两直线的交点为,再对直线是否经过原点分两种情况讨论得解.
    【详解】
    解:由,求得,
    可得两直线与的交点为.
    当要求的直线经过原点时,直线的方程为,即.
    当要求的直线不经过原点时,直线的方程为,
    把代入,可得,,此时,直线的方程为.
    综上可得,要求的直线方程为或,
    故选:B.
    22.(2022·江苏·高三专题练习)已知直线l1:3x﹣y﹣1=0,l2:x+2y﹣5=0,l3:x﹣ay﹣3=0不能围成三角形,则实数a的取值不可能为( )
    A.1B.C.﹣2D.﹣1
    【答案】A
    【分析】
    分析可得直线一定相交,联立两方程,求得交点坐标为,当时,直线为,分析可得不满足题意,当时,当直线l3分别与直线l1、l2平行时,以及过直线交点时,均满足题意,分别求解,即可得答案.
    【详解】
    因为直线l1的斜率为3,直线l2的斜率为,所以直线一定相交,交点坐标是方程组的解,解得交点坐标为:.
    当时,直线与x轴垂直,方程为:不经过点,所以三条直线能构成三角形;
    当时,直线的斜率为:.
    当直线l1与直线l3的斜率相等时,即,此时这两直线平行,因此这三条直线不能三角形;
    当直线l2与直线l3的斜率相等时,即,此时这两直线平行,因此这三条直线不能三角形;
    当直线l3过直线交点时,三条直线不能构成三角形,即有,所以实数a的取值不可能为1.
    故选:A
    23.(2022·全国·高三专题练习)点关于直线的对称点是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】
    设出对称点,根据对称 关系列出式子即可求解.
    【详解】
    解:设点关于直线的对称点是,
    则有,解得,,
    故点关于直线的对称点是.
    故选:B.
    【点睛】
    方法点睛:关于轴对称问题:
    (1)点关于直线的对称点,则有;
    (2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
    24.(2022·全国·高三专题练习)已知直线,则点P(2,2)关于对称的点的坐标为( )
    A.(1,3)B.(-1,-1)C.(-1,5)D.(-2,-2)
    【答案】C
    【分析】
    设点,根据对称得到,计算得到答案.
    【详解】
    设点,根据对称得到,解得:,所以(-1,5).
    故选:C.
    25.(2022·全国·高三专题练习)若入射光线所在直线的方程为,经x轴反射,则反射光线所在直线的方程是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】
    由题意可得已知直线过点,,由反射原理,反射光线必经过点和点关于轴的对称点,然后由求直线方程的方法可得答案.
    【详解】
    解:由已知直线方程,令可得,令可得,
    即入射光线所在直线与轴、轴分别相交于点,,
    由反射原理,反射光线必经过点和点关于轴的对称点,
    故可得其斜率为:,由斜截式方程可得,
    所求反射光线所在直线方程为:
    故选:.
    26.(2022·全国·高三专题练习)两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】
    先求出a,利用两平行线间的距离公式即可求解.
    【详解】
    因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行,
    所以,解得:a=6,所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0,即,
    由两平行线间的距离公式可得:
    两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为:.
    故选:B.
    27.(2022·全国·高三专题练习)直线关于点对称的直线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】
    设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
    【详解】
    设对称的直线方程上的一点的坐标为,
    则其关于点对称的点的坐标为,
    因为点在直线上,
    所以即.
    故选:D.
    二、多选题
    28.(2022·全国·高三专题练习)下列说法中,正确的有( )
    A.过点且在轴截距相等的直线方程为
    B.直线在y轴上的截距是;
    C.直线的倾斜角是
    D.过点并且倾斜角为的直线方程为
    【答案】BD
    【分析】
    求出截距相等的直线方程判断A,求出直线的纵截距判断B,由直线方程求得倾斜角判断C,根据倾斜角得出直线方程判断D.
    【详解】
    解:对A:过点且在x,y轴截距相等的直线方程,要分直线过原点和不过原点两种情况讨论,当直线过原点时,直线方程为;当直线不过原点时,直线方程为,所以A错误.
    对B:直线在y轴上的截距,令,得,所以直线在y轴上的截距为,所以B正确.
    对C:直线的斜率为,设倾斜角为,则,所以,所以C错误.
    对D:过点并且倾斜角为,斜率不存在,所以直线方程为,即,所以D正确.
    故选:BD.
    29.(2022·全国·高三专题练习)对于直线:,下列说法错误的是( )
    A.时直线的倾斜角为B.直线斜率必定存在
    C.直线恒过定点D.时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
    【答案】AB
    【分析】
    由斜率、倾斜角的定义判断AB,由方程可判断CD.
    【详解】
    当时,直线的倾斜角为,故A错误;
    当时,直线斜率不存在,故B错误;
    由直线方程可知直线恒过定点,故C正确;
    当时,直线与两坐标轴交点为,所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为,故D正确.
    故选:AB.
    30.(2022·全国·高三专题练习)关于直线,下列说法正确的有( )
    A.过点B.斜率为
    C.倾斜角为60°D.在轴上的截距为1
    【答案】BC
    【分析】
    A. 当时,,所以该选项错误;
    B. 直线的斜率为,所以该选项正确;
    C.直线的倾斜角为60°,所以该选项正确;
    D. 当时,,所以该选项错误.
    【详解】
    A. 当时,,所以直线不经过点,所以该选项错误;
    B. 由题得,所以直线的斜率为,所以该选项正确;
    C. 由于直线的斜率为,所以直线的倾斜角为60°,所以该选项正确;
    D. 当时,,所以直线在轴上的截距不为1,所以该选项错误.
    故选:BC
    31.(2022·江苏·高三专题练习)已知直线过,且,到直线的距离相等,则的方程可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AC
    【分析】
    由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时,利用点斜式求出直线方程;当直线经过线段的中点时,利用点斜式可得直线方程.
    【详解】
    由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,
    当直线时,的斜率为, 的方程是,
    即;
    当直线经过线段的中点时,的斜率为,
    的方程是,即,
    故选:AC
    32.(2022·全国·高三专题练习)已知,,,则( )
    A.直线与线段有公共点
    B.直线的倾斜角大于
    C.的边上的中线所在直线的方程为
    D.的边上的高所在直线的方程为
    【答案】BCD
    【分析】
    因为,,所以可以判断A错误;因为,所以直线的倾斜角大于,B正确;因为求出直线方程可判断C、D.
    【详解】

    因为,,所以直线与线段无公共点,A错误;
    因为,所以直线的倾斜角大于,B正确;
    因为线段的中点为,所以边上的中线所在直线的方程为,C正确;
    因为,所以上的高所在直线的方程为,即,D正确.
    故选:BCD
    33.(2022·全国·高三专题练习)(多选)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则实数c的值是( )
    A.2B.-4
    C.5D.-6
    【答案】AD
    【分析】
    根据两直线平行先计算参数a的值,再运用两平行线间的距离公式计算参数c的值即可.
    【详解】
    依题意知,,解得a=-4,c≠-2,
    即直线6x+ay+c=0可化为,
    又两平行线之间的距离为,根据两平行线间的距离公式可得:
    ,解得c=2或-6.选项AD正确,选项BC错误.
    故选:AD.
    34.(2022·全国·高三专题练习)已知直线过点且与点、等距离,则直线的方程为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】BC
    【分析】
    设所求直线的方程为,解方程 即得解.
    【详解】
    设所求直线的方程为,即,
    由已知及点到直线的距离公式可得,
    解得或,
    即所求直线方程为或,
    故选:BC.
    35.(2022·全国·高三专题练习)过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
    A.B.C.D.
    【答案】AC
    【分析】
    分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
    【详解】
    当截距为0时,过点和原点,直线方程为,即,
    当截距不为0时,设直线方程为,可得,
    ∴,所以直线方程为,
    故选:AC.
    36.(2022·全国·高三专题练习)与直线平行且到直线l的距离为2的直线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AB
    【分析】
    设所求直线方程为,由平行线间距离公式求得参数值,得直线方程.
    【详解】
    解:设所求直线方程为,由题意得,解得或.
    故选:AB.
    三、填空题
    37.(2022·全国·高三专题练习)若直线经过点A(-,3),且倾斜角为直线x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为___________.
    【答案】x-y+6=0.
    【分析】
    由题设可得已知直线的倾斜角为120°,即知所求直线的斜率,结合所过的点,应用点斜式写出直线方程.
    【详解】
    由x+y+1=0得此直线的斜率为-,
    ∴倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,
    故所求直线的斜率为,又直线过点A(-,3),
    ∴所求直线方程为y-3=(x+),即x-y+6=0.
    故答案为:x-y+6=0
    38.(2022·江苏·高三专题练习)若经过,两点的直线的倾斜角为,则________.
    【答案】2
    【分析】
    由斜率公式与斜率的定义求解即可
    【详解】
    由题意可得:,
    解得,
    故答案为:2
    39.(2022·全国·高三专题练习)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______.
    【答案】和.
    【分析】
    根据题意,设正方形一边所在直线的倾斜角为,得到,得出对角线所在直线的斜率为,结合两角和的正切公式,求得,再结合两直线的位置关系,即可求解.
    【详解】
    设正方形一边所在直线的倾斜角为,其斜率,
    则其中一条对角线所在直线的倾斜角为,其斜率为,
    根据题意值,可得,解得,
    即正方形其中一边所在直线的斜率为,
    又由相邻边与这边垂直,可得相邻一边所在直线的斜率为.
    故答案为:和.
    40.(2022·全国·高三专题练习)已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围________
    【答案】或
    【分析】
    求出的斜率,利用的斜率可求出结果.
    【详解】
    如图:
    ,,
    因为直线过点与线段相交,
    所以或.
    故答案为:或
    41.(2021·上海市建平中学高二阶段练习)直线和直线夹角的余弦值为________.
    【答案】
    【分析】
    由直线方程可得两直线斜率,,,利用求出夹角正切值,再结合同角三角函数可求其余弦值.
    【详解】
    设的斜率为,由得,
    设的斜率为,由得,
    设两直线夹角为,则,则.
    故答案为:
    42.(2022·全国·高三专题练习)若点在直线上,则与的位置关系是________.
    【答案】垂直
    【分析】
    由点在直线上,求出的值,再验证两直线的位置关系,可得答案.
    【详解】
    由点在直线上,得,解得
    所以直线,则
    又,则
    则,所以
    故答案为:垂直
    43.(2022·上海·高三专题练习)已知直线则直线与的夹角是________.
    【答案】
    【分析】
    将直线方程化为斜截式方程,进而求得倾斜角,再求解夹角即可.
    【详解】
    解:将直线方程化为斜截式方程得,
    所以直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,
    所以直线与的夹角是
    故答案为:
    44.(2022·全国·高三专题练习)已知点和点,P是直线上的一点,则的最小值是__________.
    【答案】3
    【分析】
    由题意可得两点在直线的同侧,求出点关于直线的对称点,所以当点为直线与直线的交点时,取得最小值为
    【详解】
    如图,可得两点在直线的同侧,设点关于直线的对称点,
    则,
    所以的最小值为,
    因为,直线为,所以,
    所以,
    所以的最小值是3
    故答案为:3
    45.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是_________.
    【答案】2
    【分析】
    求出关于直线和的对称点,由两个对称点间距离得结论.
    【详解】
    设点P关于直线AB的对称点为,
    直线方程为,
    因此.解得,即,
    关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程PMN的长为CD=2.
    故答案为:.
    46.(2020·全国·高三专题练习)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
    【答案】2x-3y-9=0
    【分析】
    在l上任取两点,求出其关于点A的对称点坐标,再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程.
    【详解】
    法一在l:2x-3y+1=0上任取两点,
    如M(1,1),N(4,3),
    则M,N关于点A的对称点M′,N′均在直线l′上,
    易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),
    由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.
    法二设P(x,y)为l′上任意一点,
    则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),
    ∵P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
    即2x-3y-9=0.
    故答案为:2x-3y-9=0.
    【点睛】
    本题考查直线关于点的对称直线,关键是对称点的求解,是基础题.
    47.(2022·全国·高三专题练习)直线恒过定点,则直线关于点对称的直线方程为_________.
    【答案】
    【分析】
    根据直线过定点的求法可求得点坐标,根据关于对称的两条直线平行,且到点距离相等可构造方程求得结果.
    【详解】
    由得:,当时,,;
    设直线关于点对称的直线方程为,
    ,解得:或(舍),
    直线关于点对称的直线方程为.
    故答案为:.
    48.(2022·上海·高三专题练习)直线关于直线对称的直线方程是__________.
    【答案】
    【分析】
    先求得两条直线的交点坐标,再在直线上取一个点,求得点关于直线的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程.
    【详解】
    因为直线与直线
    所以联立直线方程可得,解方程组可得
    即两条直线的交点的坐标为
    在直线上取一个点,设关于直线的对称点为,由中点坐标公式及斜率关系可得
    ,解方程组可得
    所以
    则直线方程的斜率为
    由点斜式可得直线的方程为
    化简可得
    即直线关于直线对称的直线方程为
    故答案为:
    【点睛】
    本题考查了直线交点坐标的求法,点关于直线的对称点求法,两条垂直直线的斜率关系点斜式方程的用法,属于基础题.
    四、解答题
    49.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试)已知,,线段的垂直平分线为直线.
    (1)求直线的一般式方程;
    (2)若点在直线上,且,求点坐标.
    【答案】
    (1)
    (2)或
    【分析】
    (1)由题意,求出线段的中点坐标及直线的斜率,然后利用点斜式写出直线方程,化简即可得答案;
    (2)设点坐标为,由题意,列出关于的方程组求解即可得答案.
    (1)
    解:因为,,所以线段的中点为,,
    又线段的垂直平分线为直线,所以,
    所以直线的方程为,即,
    所以直线的一般式方程为;
    (2)
    解:设点坐标为,
    由题意有,解得或,
    所以点坐标为或.
    50.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l1:2x+y+3=0,l2:x﹣2y=0.
    (1) 求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程,并求l2与l3的交点P;
    (2)求过点P且与原点O(0,0)距离等于2的直线m的方程.
    【答案】(1)2x﹣y+3=0,P(﹣2,﹣1);(2) 3x+4y+10=0或x=﹣2.
    【分析】
    (1)由对称关系求直线l3的方程,联立l2与l3的方程,求点P的坐标,(2)当直线m的斜率存在时,设直线m的点斜式方程,由点到直线距离公式列方程求斜率,由此可得直线m的方程,再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.
    【详解】
    (1)由题意,直线l3与直线l1的倾斜角互补,
    从而它们的斜率互为相反数,且l1与l3必过x轴上相同点,
    ∴直线l3的方程为2x﹣y+3=0,
    由解得
    ∴P(﹣2,﹣1).
    (2)当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y+1=k(x+2),
    即kx﹣y+2k﹣1=0,
    ∴原点O(0,0)到直线m距离为,解得,
    ∴直线m方程为3x+4y+10=0,
    当直线m的斜率不存在时,直线x=﹣2满足题意,
    综上直线m的方程为3x+4y+10=0或x=﹣2.
    51.(2022·上海·高三专题练习)两平行线,分别过点与.
    (1)若与距离为2,求两直线方程;
    (2)设与之间距离是,求的取值范围.
    【答案】(1),或,;(2)
    【分析】
    (1)根据直线的夹角的定义,结合点到直线的距离公式、直线的方向向量、锐角三角函数定义进行求解即可;
    (2)根据平行线的几何性质进行求解即可.
    【详解】
    (1),设直线与这两平行直线的夹角为,则
    ,设直线的一个方向向量为,
    取两平行线的一个方向向量为,
    则,
    当时,,;
    当时,取平行线的一个方向向量为,
    则,

    综上,,
    或,;
    (2)当平行线,与直线垂直时,两平行线的距离最大,即
    ,所以,.
    【点睛】
    本题考查了已知平行线间的距离求平行线问题,考查了平行线问题距离最值问题,考查了数学运算能力.
    52.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l:x+2y-2=0.
    (1)求直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
    (2)求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
    【答案】(1)7x-y-14=0;(2)x+2y-4=0.
    【分析】
    (1)先求出两直线的交点P(2,0),再求出,即得直线l2的方程;(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行,所以设所求的直线方程为x+2y+m=0,求出m的值即得解.
    【详解】
    (1)由解得交点P(2,0).
    在l1上取点M(0,-2),
    M关于l的对称点设为N(a,b),
    则,
    解得,所以,
    又直线l2过点P(2,0),
    所以直线l2的方程为7x-y-14=0.
    (2)直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行,
    所以设所求的直线方程为x+2y+m=0.
    在l上取点B(0,1),则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上,
    所以,所以m=-4,
    即所求的直线方程为x+2y-4=0.
    【点睛】
    本题主要考查点和直线的对称问题,考查直线方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
    53.(2022·上海·高三专题练习)已知直线和直线,若直线被和截得的线段的中点恰为坐标原点,求直线的方程.
    【答案】
    【分析】
    设交的交点为,则交的交点为,联立方程得到,根据直线的法向量得到答案.
    【详解】
    设交的交点为,则由条件交的交点为,
    则在上,在上,即,故.
    又过原点,则直线的一个方向向量为,则直线的一个法向量为.
    所以直线的方程为.
    两直线方程
    平行
    垂直
    (斜率存在)
    (斜率不存在)

    或中有一个为0,另一个不存在.
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