湖北省武汉市第六中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 与垂直的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ）

A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，角、、所对边分别为、、，，，是内切圆的圆心，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
6. 在中，，，分别是内角，，所对的边，若，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
7. 在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是
A. B. C. D.
8. 向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ）
A. 点关于点O的对称点不一定为
B. A，B两点间的距离为
C. 若向量平行于向量，则的值不一定为0
D. 若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
二、多选题
9. 函数（）图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
10. 设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的形状为等边三角形
B. 若，则点M是边BC的中点
C. 过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D. 若，则点M在边BC的延长线上
11. 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则b取值范围是
D. 若D为边上的中点，则的最大值为
三、填空题
12. 如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为__________．

13. 已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．
14. 已知正的边长为1，中心为，过的动直线与边，分别相交于点M、N，，，．

（1）若，则________.
（2）与的面积之比的最小值为__________.
四、解答题
15. 已知向量，，函数.
（1）若，且，求的值；
（2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，∠BAC的平分线交BC于D．
（1）求∠BAC；
（2）若，求AD．
17. 如图，在平行四边形中，，令，.
（1）用表示，，；
（2）若，且，求.
18. 如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记．
（1）若点P是弧的中点，求三条街道的总长度；
（2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化；
（3）由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．