吉林省长春市博硕学校2023-2024学年九年级下学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 下列各数中，正整数是（ ）
A B. C. D.
2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A. B. C. D.
4. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（ ）

A B. C. 1D. 3
5. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（ ）
A B. C. D.
7. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
8. 如图，O是坐标原点，点B位于第一象限，轴于点D，， C为的中点，连接， 过点B作交x轴于点A， 若反比例函数的图象经过的中点C， 与线段交于点E，则的长为 （ ）
A. 0.45B. C. 0.75D.
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 因式分解：____________．
10. 请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根．
11. 如图，，．若，则的度数为______．
12. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________．

13. 如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．

14. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．若对于，，都有，则的取值范围____________．
三、解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1．
16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
17. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．求乙同学的速度．
18. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点D作于点E，延长到点F，使，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，则的长度为_________．
19. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）．

信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______；
（2）下列结论正确的是_____；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
（1）在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形；
（2）在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形；
（3）在图③中在线段上找一点E，画一个面积为4的．
21. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：张强从体育场到文具店的速度为__________；
③当时，求张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
22. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得．
证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：；
运用：（2）如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长；
拓展：（3）如图4，⊙O是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，求线段的长．
23. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段的中点，点H在下方，，，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在边上运动时，
①线段的长为_______．用含t的代数式表示）
②若与重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边上时，求的长．
（3）取边的中点E，边的中点F，连结，当时，直接写出t的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的对称轴为直线，且函数的最大值为4，点在该抛物线上，它的横坐标为，设点坐标为．过点作直线轴于点，以和为一组邻边构造平行四边形．
（1）求该抛物线对应函数表达式；
（2）若平行四边形是矩形，求的值；
（3）当抛物线的对称轴分平行四边形的面积为的两部分时，求的值；
（4）若抛物线在四边形内部随着的增大而减小，直接写出的取值范围．（1）作的垂直平分线交于点O；

（2）连接，在的延长线上截取；

（3）连接，，则四边形即为所求．

分组
人数
2
m
10
9
6
2
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球
26
25
23
22
22
15
掷实心球
▲
7．8
7．8
▲
8．8
9．2
张强离开宿舍的时间
1
10
20
60
张强离宿舍的距离
12